Blockmatrix

Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 und 8

In der Mathematik bezeichnet eine Blockmatrix eine Matrix, die so interpretiert wird, als sei sie in mehrere Teile, genannt Blöcke, zerlegt worden. Eine Blockmatrix kann auf intuitive Art und Weise als die Originalmatrix mit einer bestimmten Anzahl an horizontalen und vertikalen Trennstrichen dargestellt werden. Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in Untermatrizen auf.

Definition

Sei $\mathbf {M}$ eine Matrix der Größe $m\times n$. Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels $m=m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{q}$ und $n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}$ ganzzahlig zerlegt, wobei $q$ und $r$ die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich $\mathbf {M}$ darstellen als

$\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {M} _{11}&\mathbf {M} _{12}&\cdots &\mathbf {M} _{1r}\\\mathbf {M} _{21}&\mathbf {M} _{22}&\cdots &\mathbf {M} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {M} _{q1}&\mathbf {M} _{q2}&\cdots &\mathbf {M} _{qr}\end{bmatrix}}$

mit Untermatrizen $\mathbf {M} _{ij}$ der Größe $m_{i}\times n_{j}$. Jede $(m\times n)$-Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die $m$ Zeilen und $n$ Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit $mn$ Blöcken der Größe $1\times 1$ aufgefasst werden.

Beispiel

Die Matrix

$\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$

kann in vier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2 \times 2)} -Blöcke zerlegt werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \mathbf{M}_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2\end{bmatrix}, \mathbf{M}_{21} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}, \mathbf{M}_{22} = \begin{bmatrix} 4 & 4\\ 4 & 4\end{bmatrix}.}

Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M} = \begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12}\\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22}\end{bmatrix}.}

Multiplikation von Blockmatrizen

Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen

Das Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (m \times n)} -Matrix mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} Zeilenzerlegungen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} Spaltenzerlegungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1r}\\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qr}\end{bmatrix}}

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{B}} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n \times p)} -Matrix mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} Zeilenzerlegungen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} Spaltenzerlegungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1s}\\ \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2s}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \mathbf{B}_{r1} & \mathbf{B}_{r2} & \cdots &\mathbf{B}_{rs}\end{bmatrix},}

dann gilt, dass das Produkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B} }

blockweise berechnet werden kann, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (m \times p)} -Matrix mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} Zeilenzerlegungen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} Spaltenzerlegungen ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}} sind gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}_{ik} = \sum^r_{j=1}\mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}. }

Oder, mithilfe der Einsteinschen Summenkonvention, welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}_{ik} = \mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}. }

Blockdiagonalmatrix

Eine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix, deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blöcke Nullmatrizen sind. Eine Blockdiagonalmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} hat die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} \end{bmatrix}, }

wobei die Untermatrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_k} quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} die direkte Summe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_1, \dotsc, \mathbf{A}_n} , das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \mathbf{A}_1 \oplus \mathbf{A}_2 \oplus \dotsb \oplus \mathbf{A}_n}

oder mit dem Formalismus von Diagonalmatrizen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \operatorname{diag}(\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \dotsc, \mathbf{A}_n)} .

Für die Determinante und die Spur einer Blockdiagonalmatrix gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}_1 \cdot \det \mathbf{A}_2 \dotsm \det \mathbf{A}_n}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Spur}(\mathbf{A}) = \operatorname{Spur}(\mathbf{A}_1) + \dotsb +\operatorname{Spur}(\mathbf{A}_n)} .

Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2}^{-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}^{-1} \end{bmatrix}. }

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \dotsc, \mathbf{A}_{n}} .

Beispiel

Wichtige Beispiele für Blockdiagonalmatrizen sind Matrizen in Jordanscher Normalform. Die Blöcke sind in diesem Fall sogenannte Jordanblöcke, das sind Bidiagonalmatrizen, auf deren Hauptdiagonalen der Eigenwert des Blocks steht, während alle Elemente auf der Nebendiagonalen 1 sind.

Blocktridiagonalmatrix

Eine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) Nebendiagonalen. Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix, allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren. Eine Blocktridiagonalmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} hat die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1} & \mathbf{C}_{1} & & & \cdots & & 0 \\ \mathbf{A}_{2} & \mathbf{B}_{2} & \mathbf{C}_{2} & & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & \vdots \\ & & \mathbf{A}_{k} & \mathbf{B}_{k} & \mathbf{C}_{k} & & \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & & \mathbf{A}_{n-1} & \mathbf{B}_{n-1} & \mathbf{C}_{n-1} \\ 0 & & \cdots & & & \mathbf{A}_{n} & \mathbf{B}_{n} \end{bmatrix} }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_k} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{B}_k} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}_k} jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.

Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der numerischen Strömungsmechanik). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR-Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix. Der Thomas-Algorithmus, welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.

Block-Toeplitz-Matrix

Eine Block-Toeplitz-Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die Toeplitz-Matrix wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält. Eine Block-Toeplitz-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} hat die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & & \cdots & \mathbf{A}_{(1,n-1)} & \mathbf{A}_{(1,n)} \\ \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & & & \mathbf{A}_{(1,n-1)} \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & \vdots \\ & & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ \mathbf{A}_{(n-1,1)} & & & & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} \\ \mathbf{A}_{(n,1)} & \mathbf{A}_{(n-1,1)} & \cdots & & & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} \end{bmatrix}. }

Siehe auch

• Kronecker-Produkt

Literatur

• Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43949-8. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Block matrix. In: MathWorld (englisch).
• Cam McLeman, matte: Partitioned matrix. In: PlanetMath. (englisch)