Komplexe Differentialform

Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der (reellen) Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra. Eine komplexe Differentialform vom Grad $k$ (oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad $p$ beziehungsweise $q$ mit $p+q=k$ haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von (p,q)-Formen. Bei dieser kurzen Sprechweise wird auch klar, dass es sich um komplexe Differentialformen handelt, denn reelle Formen besitzen keine solche Zerlegung. Eine wichtige Rolle spielt der Kalkül der komplexen Differentialformen in der Hodge-Theorie.

Komplexe Differentialformen

Sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension $n$. Wähle

$\{\mathrm {d} z^{j}=dx^{j}+idy^{j},\ \mathrm {d} {\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j};\ 1\leq j\leq n\}$

als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Die Kovektoren haben die lokale Darstellung

$\sum _{j=1}^{n}f_{j}\mathrm {d} z^{j}+g_{j}\mathrm {d} {\overline {z}}^{j}.$

Die Räume in denen nur Basisvektoren der Form $\textstyle \mathrm {d} z^{j}$ vorkommen werden verbal als (1,0)-Formen und formelmäßig mit ${\mathcal {A}}^{1,0}(M)$ bezeichnet. Analog dazu ist ${\mathcal {A}}^{0,1}(M)$ der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form $\textstyle \mathrm {d} {\overline {z}}^{j}$ haben. Diese beiden Räume sind stabil, das heißt unter holomorphen Koordinatenwechseln werden diese Räume in sich selbst abgebildet. Aus diesem Grund sind die Räume ${\mathcal {A}}^{1,0}(M)$ und ${\mathcal {A}}^{0,1}(M)$ komplexe Vektorbündel über $M$.

Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der $(p,q)$-Formen durch

${\mathcal {A}}^{p,q}(M):=\bigwedge _{j=1}^{p}{\mathcal {A}}^{1,0}(M)\wedge \bigwedge _{j=1}^{q}{\mathcal {A}}^{0,1}(M)$

definieren. Weiter definiert man noch den Raum ${\mathcal {E}}^{r}(M)$ als die direkte Summe

${\mathcal {E}}^{r}(M):=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q}(M)$

der $(p,q)$-Formen mit $r=p+q$. Dies ist isomorph zur direkten Summe ${\mathcal {E}}^{r}(M)\cong {\mathcal {A}}^{r}(M)\oplus i{\mathcal {A}}^{r}(M)$ der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für $p+q=r$ eine Projektion

$\pi _{p,q}\colon {\mathcal {E}}^{r}(M)\to {\mathcal {A}}^{p,q}(M)$

definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad $r$ ihre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p,q)} -Zerlegung zuordnet.

Eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p,q)} -Form hat also in lokalen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1, \ldots , z_n} die eindeutige Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = \sum_{\stackrel{1\leq i_1<\ldots<i_p\leq p}{1\leq j_1<\ldots<j_q\leq q}} f_{i_1, \ldots i_p, j_1, \ldots j_q} \mathrm{d}z_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}z_{i_p} \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_q}.}

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J := \sum^{}_{\stackrel{1\leq i_1<\ldots<i_p\leq p}{1\leq j_1<\ldots<j_q\leq q}} f_{i_1, \ldots i_p, j_1, \ldots j_q} \mathrm{d}z_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}z_{i_p} \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_q}}

zu vereinbaren.

Dolbeault-Operatoren

Definition

Die äußere Ableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d} : \mathcal{E}^{r}(M) \to \mathcal{E}^{r+1}(M),}

was gleichbedeutend ist mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d} : \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p,q}(M) \to \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p+1,q}(M) \oplus \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p,q+1}(M),}

kann in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d} = \partial + \overline{\partial}} aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial : \mathcal{A}^{p,q}(M) \to \mathcal{A}^{p+1,q}(M)}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial} : \mathcal{A}^{p,q}(M) \to \mathcal{A}^{p,q+1}(M)}

sind definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \partial &:= \pi_{p+1,q} \circ \mathrm{d}\\ \overline{\partial} &:= \pi_{p,q+1} \circ \mathrm{d}. \end{align}}

In lokalen Koordinaten bedeutet dies

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J\right) = \sum_{I,J} \sum_{l=1}^n \frac{\partial f_{I,J}}{\partial z^l} \mathrm{d} z^l \wedge \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J }

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial} \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J\right) = \sum_{I,J} \sum_{l=1}^n \frac{\partial f_{I,J}}{\partial \overline{z}^l} \mathrm{d} \overline{z}^l \wedge \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J. }

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}} auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.

Holomorphe Differentialformen

Erfüllt eine Differentialform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \mathcal{A}^{p,0}(M)} die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}\omega = 0} , so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{I} f_I \mathrm{d} z^I }

darstellen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_I} holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Formen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega^p(M)} notiert.

Eigenschaften

• Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \mathcal{A}^{p,q}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu \in \mathcal{A}^{r,s}} , dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial(\omega \wedge \nu) = \partial \omega \wedge \nu + (-1)^{p+q}\, \omega \wedge \partial \nu }

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}(\omega \wedge \nu) = \overline{\partial} \omega \wedge \nu + (-1)^{p+q}\, \omega \wedge \overline{\partial} \nu .}

• Aus der Identität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = \mathrm{d}^2 = (\partial + \overline{\partial})^2 = \partial^2 + (\overline{\partial} \partial + \partial \overline{\partial}) + \overline{\partial}^2}

folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial^2 = 0} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial \overline{\partial} + \overline{\partial} \partial = 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}^2 = 0} , denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}} eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.

• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,g)} eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann'schen Metrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\partial}^*} bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta := \overline{\partial}\, \overline{\partial}^* + \overline{\partial}^*\overline{\partial}} ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.

Literatur

• Eric W. Weisstein: Complex Form. In: MathWorld (englisch).
• Raymond O. Wells: Differential analysis on complex manifolds. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1973, ISBN 0-13-211508-5.
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.