Kotangentialraum

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In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Kotangentialraum ein Vektorraum, der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zugeordnet wird. Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums.

Definition

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ihr Tangentialraum am Punkt . Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von . Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum .

Alternative Definition

Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.

Diesem Zugang liegt folgende Idee zugrunde. Man legt eine Kurve in die Mannigfaltigkeit und macht Aussagen darüber, wie sich Werte einer Funktion, die ebenfalls auf der Mannigfaltigkeit definiert ist, beim Durchlaufen der Kurve, speziell in der Umgebung eines Punktes p, verändern. Man betrachtet das Geschehen im Bildbereich einer Kartenabbildung.

Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien die Menge aller glatten Kurven durch

und die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung von definiert sind:

.

Bezeichnet man mit folgende Äquivalenzrelation auf

Umgebung von mit ,

dann ist der Faktorraum der Vektorraum der Keime über . Über

wird dann eine formale Paarung definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist

ein linearer Unterraum von , genauer gesagt der Nullraum bzgl. und

ist der -dimensionale Kotangentialraum im Punkt . Für den Kotangentialvektor schreibt man auch .

Zusammenhang zum Tangentialraum

Mit der obigen Definition kann man auf eine Äquivalenzrelation wie folgt definieren:

Der Faktorraum beschreibt gerade den -dimensionalen Tangentialraum.

Bilden nun eine Basis von , so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten auswählen. ist eine differenzierbare Karte und für jedes kann man eine Kurve

definieren, wobei der -te Einheitsvektor im ist. Wegen

sind und dual zueinander und man schreibt für auch .

Rechtfertigung der Schreibweisen

Sei , , eine beliebige Funktion und für die Kurven , wobei die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:

Somit ist die Schreibweise gerechtfertigt.

Weiter ist mit die lineare Abbildung gerade das totale Differential . Somit ist also auch die Schreibweise gerechtfertigt.

Literatur

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.