Ungleichungen von Weierstraß

Die Ungleichungen von Weierstraß (englisch Weierstrass’ inequalities) gehören zu den elementaren Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis. Sie gehen auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurück.

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.

Formulierung

Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:

Gegeben seien zu einer natürlichen Zahl $N>0$ im offenen reellen Intervall $(0,1)$ die $N$ reellen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)$.

Dann gelten:

(W1a) $\quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

(W1b) $\quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$

(W2a) $\quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

(W2b) $\quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$  , sofern $\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1$

Anmerkung

Die obigen Ungleichungen (W1a) und (W2a) beinhalten eine Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung.

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).