Satz von Kunugui

Der Satz von Kunugui besagt, dass sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.

Formulierung

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Falls $X=\emptyset$ leer ist, so lässt sich $X$ trivial einbetten, andernfalls sei $s\in X$ ein fest gewählter Punkt. Für jedes $x\in X$ sei nun durch $f_{x}(y):=d(x,y)-d(y,s)$ eine reelle Funktion auf $X$ erklärt. Dann ist die Abbildung $x\mapsto f_{x}$ eine Isometrie von $(X,d)$ in den Banachraum $B(X)=\{f\colon X\to \mathbb {R} \mid f{\mbox{ beschränkt}}\}$ der beschränkten Funktionen.

Anmerkungen

Die obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die $f_{x}$ alle (bzgl. der Supremumsnorm) beschränkt sind und, dass die Zuordnung $x\mapsto f_{x}$ tatsächlich eine Isometrie ist. Beides folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung. Es gilt per Definition

$\|f_{x}\|=\sup _{y\in X}|f_{x}(y)|=\sup _{y\in X}|d(x,y)-d(y,s)|$.

Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens $d(x,s)$ und da $s\in X$ fest gewählt ist, ist $f_{x}$ beschränkt. Außerdem gilt für zwei Punkte $x,x'\in X$, dass

$\|f_{x}-f_{x'}\|=\sup _{y\in X}|(d(x,y)-d(y,s))-(d(x',y)-d(y,s))|=\sup _{y\in X}|d(x,y)-d(x',y)|$.

Der letzte Term ist höchsten $d(x,x')$ und wenn man für $y$ z. B. den Punkt $x$ einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit $\|f_{x}-f_{x'}\|=d(x,x')$ gilt.

Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand $d(x,y)$ den Term $d(y,s)$ abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung $f_{x}\colon X\to \mathbb {R}$ zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist. Beispielsweise ist der Raum $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ mit der euklidischen Metrik unvollständig – unter anderem konvergiert die Cauchy-Folge $(1/n)_{n\geq 1}$ nicht – aber er lässt sich dennoch durch die Inklusion isometrisch in den vollständigen Raum $\mathbb {R}$ einbetten.

Literatur

• Kinjirô Kunugui: Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles. In: Proceedings of the Imperial Academy. 11, 9, 1935, ISSN 0369-9846, S. 351–353.