Supremumsnorm

Die Supremumsnorm der reellen Arkustangens-Funktion ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi/2} . Auch wenn die Funktion diesen Wert betragsmäßig nirgendwo annimmt, so bildet er dennoch die kleinste obere Schranke.

Die Supremumsnorm (auch Unendlich-Norm genannt) ist in der Mathematik eine Norm auf dem Funktionenraum der beschränkten Funktionen. Im einfachsten Fall einer reell- oder komplexwertigen beschränkten Funktion ist die Supremumsnorm das Supremum der Beträge der Funktionswerte. Allgemeiner betrachtet man Funktionen, deren Zielmenge ein normierter Raum ist, und die Supremumsnorm ist dann das Supremum der Normen der Funktionswerte. Für stetige Funktionen auf einer kompakten Menge ist die Maximumsnorm ein wichtiger Spezialfall der Supremumsnorm.

Die Supremumsnorm spielt insbesondere in der Funktionalanalysis beim Studium normierter Räume eine zentrale Rolle.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine nichtleere Menge und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y, \|\cdot\|_Y)} ein normierter Raum, dann bezeichnet $B(M,Y)$ den Funktionenraum der beschränkten Funktionen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} . Die Supremumsnorm auf diesem Funktionenraum ist dann die Abbildung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }\colon B(M,Y)\rightarrow \mathbb {R} }

mit

$\|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in M}\|f(x)\|_{Y}$.

Die Supremumsnorm einer Funktion ist also das Supremum der Normen aller Funktionswerte und damit eine nichtnegative reelle Zahl. Hierbei ist es wichtig, dass die Funktion beschränkt ist, weil sonst das Supremum unendlich ist. Der Raum $B(M,Y)$ wird auch als Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \ell ^{\infty }(M,Y)} bezeichnet.

Beispiel

Wählt man als Menge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M=(0,1)} das offene Einheitsintervall und als Zielraum $Y=\mathbb {R}$ die Menge der reellen Zahlen mit der Betragsnorm $|\cdot |$, dann ist $B(M,Y)$ der Raum der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall und die Supremumsnorm ist durch

$\|f\|_{\infty }=\sup _{0<x<1}|f(x)|$

gegeben. So ist etwa die Supremumsnorm der linearen Funktion $f(x)=x$ in diesem Intervall gleich $1$. Die Funktion nimmt diesen Wert zwar innerhalb des Intervalls nicht an, kommt ihm jedoch beliebig nahe. Wählt man stattdessen das abgeschlossene Einheitsintervall Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M=[0,1]} , dann wird der Wert $1$ angenommen und die Supremumsnorm entspricht der Maximumsnorm.

Eigenschaften

Normaxiome

Die Supremumsnorm erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt für $f\in B(M,Y)$ aus der Definitheit der Norm Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \|\cdot \|_{Y}} über

$\|f\|_{\infty }=0\;\Leftrightarrow \;\sup _{x\in M}\|f(x)\|_{Y}=0\;\Rightarrow \;\forall x:\;\|f(x)\|_{Y}=0\;\Rightarrow \;\forall x:\;f(x)=0\;\Rightarrow \;f=0$,

da, wenn das Supremum einer Menge nichtnegativer reeller oder komplexer Zahlen null ist, alle diese Zahlen null sein müssen. Die absolute Homogenität folgt für reelles oder komplexes $\alpha$ aus der absoluten Homogenität der Norm Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \|\cdot \|_{Y}} über

$\|\alpha f\|_{\infty }=\sup _{x\in M}\|\alpha f(x)\|_{Y}=\sup _{x\in M}|\alpha |\|f(x)\|_{Y}=|\alpha |\sup _{x\in M}\|f(x)\|_{Y}=|\alpha |\,\|f\|_{\infty }$.

Die Subadditivität (oder Dreiecksungleichung) folgt für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f,g\in B(M,Y)} aus der Subadditivität der Norm $\|\cdot \|_{Y}$ über

$\|f+g\|_{\infty }=\sup _{x\in M}\|f(x)+g(x)\|_{Y}\leq \sup _{x\in M}(\|f(x)\|_{Y}+\|g(x)\|_{Y})\leq \sup _{x\in M}\|f(x)\|_{Y}+\sup _{x\in M}\|g(x)\|_{Y}=\|f\|_{\infty }+\|g\|_{\infty }$,

wobei zudem genutzt wurde, dass das Supremum der Summe zweier Funktionen durch die Summe der Suprema beschränkt ist, was durch punktweise Betrachtung der Funktionswerte ersichtlich ist.

Weitere Eigenschaften

• Ist der Bildraum vollständig, also ein Banachraum, so ist es auch der gesamte Funktionenraum $B(M,Y)$.
• Ist $M$ endlich, so ist jede Funktion von $M$ nach $Y$ beschränkt, es gilt also $B(M,Y)=\mathrm {Abb} (M,Y)$. Wählt man insbesondere $M=\{1,...,n\}$, für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N} , so erhält man durch die natürliche Identifizierung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Abb}(M, Y)} mit $Y^{n}$ eine Definition der Supremumsnorm auf diesem kartesischen Produkt.
• Insbesondere kann man die Supremumsnorm also auf dem Euklidischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} betrachten. Sie wird in diesem Fall auch als Maximumsnorm bezeichnet.
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} nicht endlich oder $Y$ unendlichdimensional, so ist nicht jede abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(M, Y)} automatisch kompakt.
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} nicht endlich oder $Y$ unendlichdimensional, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\cdot\|_\infty} nicht zu allen Normen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(M, Y)} äquivalent.
• Die Supremumsnorm induziert auf einem Raum beschränkter Funktionen gerade die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz.
• Ist der Zielraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\mathbb{R}} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\mathbb{C}} , dann lassen sich Funktionen in $B(M,Y)$ nicht nur punktweise addieren, sondern auch multiplizieren. Die Supremumsnorm ist dann submultiplikativ, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|f\cdot g\|_\infty \leq \|f\|_\infty\cdot \|g\|_\infty} . Der Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(M, Y)} wird mit der punktweisen Multiplikation zu einer kommutativen Banachalgebra. Im Falle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\mathbb{C}} ist diese sogar eine C*-Algebra.
• Man kann den Begriff der beschränkten Funktion und der Supremumsnorm in natürlicher Weise verallgemeinern auf Vektorbündel, bei denen jede Faser ein normierter Raum ist. Die Supremumsnorm ist dann eine Norm auf dem Raum der beschränkten Schnitte dieses Vektorbündels.

Siehe auch

• Wesentliches Supremum

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.