Borelmaß

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum $(X,\tau )$ mit borelscher σ-Algebra ${\mathcal {B}}=\sigma (\tau )$. Ein Maß

$\mu :{\mathcal {B}}\to [0,\infty ]$

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes $x\in X$ eine offene Umgebung $U_{x}$ von $x$ existiert mit $\mu (U_{x})<\infty$.

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Manchmal werden auch

• äußere Maße, bezüglich derer alle Borelmengen Carathéodory-messbar sind
• beliebige Maße auf der borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes

• das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf $\mathbb {R}$, das jedem Intervall $[a,b]$ das Maß $b-a$ zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist $x\in X$, so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung $U_{x}$ ein kompaktes $K_{x}$ und eine offene Umgebung $O_{x}$ von $x$ mit $O_{x}\subset K_{x}\subset U_{x}$. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann $\mu (O_{x})\leq \mu (K_{x})<\infty$ und $O_{x}$ ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge $K$ endliches Maß hat: Für $x\in K$ sei $O_{x}$ eine offene Umgebung von $x$ mit $\mu (O_{x})<\infty$. Dann ist $(O_{x})_{x\in K}$ eine offene Überdeckung von $K$. Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung $(O_{x_{i}})_{i\in I},\;|I|<\infty$ existiert; damit ist $\mu (K)\leq \sum _{i\in I}\mu (O_{x})<\infty$.

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte

Moderate Maße

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen $(O_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ existiert, so dass

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }O_{n}$

ist und $\mu (O_{n})<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

$\mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid K\subset A,\ K\ {\textrm {kompakt}}\}$

für alle $A\in {\mathcal {B}}$. Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.