Riemannsches Produkt

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie ist das riemannsche Produkt das Produkt $M\times N$ zweier riemannscher Mannigfaltigkeiten mit der Produktmetrik.

Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise.

Definition

Sind $(M,g)$ und $(N,h)$ zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und $M\times N$ ihr kartesisches Produkt mit der Produkttopologie und den Projektionen $p\colon M\times N\to M$ und $q\colon M\times N\to N$ auf die beiden Faktoren, so definiert

$(g\oplus h)_{m,n}(u,v)=g_{m}(Dp(u),Dp(v))+h_{n}(Dq(u),Dq(v))$

für $m\in M,n\in N,u,v\in T_{(m,n)}(M\times N)$ eine riemannsche Metrik $g\oplus h$ auf $M\times N$. Die Mannigfaltigkeit $M\times N$ mit der riemannschen Metrik $g\oplus h$ wird als riemannsches Produkt von $(M,g)$ und $(N,h)$ bezeichnet.

Beispiele

Das Produkt zweier Kreise ist ein Torus mit einer flachen Metrik. Allgemeiner gibt es in jedem riemannschen Produkt Ebenen der Schnittkrümmung 0: Wenn $k$ eine Geodäte in $M$ und $l$ eine Geodäte in $N$ ist, dann ist $k\times l$ eine flache Untermannigfaltigkeit von $M\times N$.

Literatur

• W. Klingenberg: Riemannian Geometry, de Gruyter 1982; Section 1.8