Produkttopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition

Für jedes $i$ aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge $I$ sei $X_{i}$ ein topologischer Raum. Sei $X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$ das kartesische Produkt der Mengen $X_{i}$. Für jeden Index $i\in I$ bezeichne $p_{i}\colon X\to X_{i}$ die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf $X$ definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen $p_{i}$ stetig sind. Man nennt $X$ mit dieser Topologie den Produktraum der $X_{i}$.

Explizite Beschreibung

Man kann die Topologie auf $X$ explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume $X_{i}$ unter den kanonischen Projektionen $p_{i}\colon X\to X_{i}$ bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d. h. eine Teilmenge $Y\subset X$ ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen $Y^{(\alpha )}$ ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen $Y_{i,k}^{(\alpha )}:=p_{i}^{-1}(Y_{k}^{(\alpha )})$ dargestellt werden können. Dabei liegt $i$ in $I$ und $Y_{k}^{(\alpha )}$ sind offene Teilmengen von $X_{i}$. Daraus folgt nicht, dass im Allgemeinen alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn $I$ endlich ist.

Universelle Eigenschaft

Der Produktraum $X$ zusammen mit den kanonischen Projektionen $p_{i}$ wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} ein topologischer Raum und für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \in I} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i\colon Y \to X_i} stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon Y \to X} , so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i\circ f = f_i} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \in I} gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele

• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_1,d_1), (X_2,d_2)} zwei metrische Räume sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1, q_1 \in X_1} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2, q_2 \in X_2} , dann erhält man die Produkttopologie auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1\times X_2} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_1,p_2)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (q_1,q_2)\in X_1\times X_2} mit der Produktmetrik

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d((p_1,p_2),(q_1,q_2)):=\sqrt{d_1(p_1,q_1)^2+d_2(p_2,q_2)^2}.}

• Die Produkttopologie auf dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -fachen kartesischen Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.

• Die Produkttopologie auf einem Funktionenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^{M}} ist die Topologie der punktweisen Konvergenz.

• Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums {0, 1}.

• Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

• Der Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z_p} der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/p^n\Z} versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z_p} .

Eigenschaften

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X= \textstyle \prod_{i\in I} X_i} konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} konvergieren. Insbesondere ist für den Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^I} aller Funktionen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon Y \to X} stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist stetig genau dann, wenn alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i\circ f} stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon X \to Z} stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i} auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges

• Ein verwandter Begriff ist die Summentopologie.
• Die Produkttopologie ist eine spezielle Initialtopologie.

Siehe auch

• Eingeschränktes direktes Produkt
• Faserbündel – ein Raum, der lokal wie ein Produkt aussieht

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.