Abzählbare Menge

In der Mengenlehre wird eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}} . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen $A$ und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Elemente der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} also „durchnummeriert“ werden können.

Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen Mengen auch die endlichen Mengen. Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten.

Eine nichtleere Menge, die weder endlich noch abzählbar unendlich ist, wird als überabzählbar bezeichnet.

Die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge wird – als Kardinalzahl – mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \aleph_0} (gesprochen: alef null) bezeichnet, etwa gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\N\right|=\aleph_0} . Zu dieser Bezeichnung siehe auch Aleph-Funktion.

Beispiele abzählbar unendlicher Mengen

Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}} ist per Definition abzählbar unendlich, da sie dieselbe Mächtigkeit wie sie selbst besitzt.

Primzahlen

Die Menge der Primzahlen $\mathbb {P}$ ist ebenfalls abzählbar unendlich, da sie eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und nach dem Satz von Euklid auch unendlich ist.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	…
$f(n)$	02	03	05	07	11	13	17	19	…

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist abzählbar unendlich, eine Abzählung ist beispielsweise gegeben durch

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	…
$f(n)$	0	+1	−1	+2	−2	+3	−3	+4	−4	…

Die Beispiele Primzahlen und ganze Zahlen zeigen, dass sowohl echte Teilmengen als auch Obermengen dieselbe Mächtigkeit besitzen können wie die Grundmenge, im Gegensatz zu den Verhältnissen bei endlichen Mengen.

Paare natürlicher Zahlen

Auch die Menge aller Paare Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} } von zwei natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Die Unendlichkeit ist wiederum offensichtlich. Schwieriger ist die Frage der Abzählbarkeit. Dafür nutzt man die Cantorsche Paarungsfunktion, die jedem Zahlenpaar $(i,j)$ bijektiv eine natürliche Zahl $k$ zuordnet. Damit kann man alle Zahlenpaare eindeutig nummerieren und somit abzählen.

$n$		1		2	3		4	5	6		7	8	9	10		11	12	…
$f(n)$		1,1		1,2	2,1		1,3	2,2	3,1		1,4	2,3	3,2	4,1		1,5	2,4	…
		i+j=2		i+j=3			i+j=4				i+j=5					i+j=6

n-Tupel natürlicher Zahlen

Die Menge aller $n$-Tupel $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ natürlicher Zahlen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {N} ^{n}} ist ebenfalls abzählbar unendlich. Das zeigt man wiederum durch $(n-1)$-malige Anwendung der Cantorschen Paarungsfunktion.

Rationale Zahlen

Georg Cantor zeigte mit dem so genannten ersten Diagonalargument, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ebenso jede Menge der Gestalt $\mathbb {Z} ^{n}$ (Tupel ganzer Zahlen).

Die Abbildung $\mathbb {N} _{0}^{3}\rightarrow \mathbb {Q}$, $(i,j,k)\mapsto {\frac {i-j}{1+k}}$ ist surjektiv, also ist die Mächtigkeit von $\mathbb {Q}$ höchstens so groß wie die von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{3}} . Da es einerseits unendlich viele Brüche gibt und andererseits die Menge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{3}} abzählbar unendlich ist, ist auch $\mathbb {Q}$ abzählbar unendlich.

Mit der Stern-Brocot-Folge kann in einfacher Weise eine Bijektion zwischen ℕ und ℚ angegeben werden, was die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen ebenfalls beweist.

Algebraische Zahlen

Eine algebraische Zahl ist Nullstelle eines Polynoms $P(x)=a_{0}+\dots +a_{n}x^{n}$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Die Höhe von $P$ sei definiert als $h(P)=|a_{0}|+\dots +|a_{n}|+n$.

Zu jeder vorgegebenen Höhe $k>0$ gibt es nur endlich viele Polynome, welche wiederum nur endlich viele Nullstellen besitzen; für jedes dieser k hat mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a_{0}=k-1} das Polynom Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(x)=-a_{0}+x^{1}} die Nullstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=a_0 \in \mathbb{N} } . Wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(k)} als die Menge aller dieser Nullstellen gesetzt, dann ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{A}} der algebraischen Zahlen die Vereinigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb N\setminus\{0\}} {Q(k)} } .

Als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{A}} daher abzählbar. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{A}} andererseits Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}} enthält, ist $\mathbb {A}$ abzählbar unendlich.

Wörter über einem Alphabet

Durch die Anwendung der sogenannten Standardnummerierung über das Alphabet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} kann man auch die Wörter einer Sprache im Sinne der Mathematik abzählen.

Berechenbare Zahlenfunktionen

Die Menge aller berechenbaren Zahlenfunktionen ist abzählbar unendlich. Man kann eine Standardnummerierung aller denkbaren Bandprogramme angeben. Da die Menge der Bandprogramme größer als die Menge der berechenbaren Funktionen ist (es könnte ja zwei unterschiedliche Programme geben, die dieselbe Funktion berechnen), sind damit die Zahlenfunktionen abzählbar unendlich.

Beispiel einer überabzählbaren unendlichen Menge

Die Menge der reellen Zahlen ist dagegen überabzählbar. Das bedeutet, dass es keine bijektive Abbildung gibt, die jede reelle Zahl auf je eine natürliche Zahl abbildet, siehe Cantors zweites Diagonalargument.

Eigenschaften

• Jede Teilmenge einer (höchstens) abzählbaren Menge ist (höchstens) abzählbar.
• Die Vereinigung zweier (höchstens) abzählbarer Mengen ist (höchstens) abzählbar.
• Allgemeiner ist jede Vereinigung einer abzählbaren Anzahl von (höchstens) abzählbaren Mengen wieder (höchstens) abzählbar.
• Das kartesische Produkt zweier (höchstens) abzählbaren Mengen ist (höchstens) abzählbar.
• Gibt es eine Surjektion von der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}} der natürlichen Zahlen auf die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} höchstens abzählbar.
• Jede aufzählbare Menge ist höchstens abzählbar.

Siehe auch

• In der Topologie erfüllen „kleine“ topologische Räume ein Abzählbarkeitsaxiom.
• Kardinalzahl (Mathematik)