Aleph-Funktion

Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\aleph$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse $\mathbf {On}$ der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl $\kappa$ mit der kleinsten zu $\kappa$ gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus $\aleph$ von $\mathbf {On}$ auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von $\aleph$ an der Stelle $\alpha$ bezeichnet man mit $\aleph _{\alpha }$, das heißt, $\aleph _{\alpha }$ ist die $\alpha$-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

• $\aleph _{0}=|\omega |$ ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
• $\aleph _{\alpha +1}=\min _{\kappa >\aleph _{\alpha }}\kappa$, also die kleinste Kardinalzahl, die größer als $\aleph _{\alpha }$ ist,
• $\aleph _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }$ für Limes-Ordinalzahlen $\lambda$.

Eigenschaften

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist $\aleph _{0}$, die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph _{0}$, ist $\aleph _{1}$, und so weiter. Die Frage, ob $\aleph _{1}$ gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist $\aleph _{\alpha }$ eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls $\alpha$ eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet $\omega$ die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich $\aleph _{0}$, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. $\aleph _{\omega }$ ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als $\sup _{n<\omega }\aleph _{n}$ geschrieben werden.

Es gilt stets $\alpha \leq \aleph _{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen $\alpha$, für die $\alpha =\aleph _{\alpha }$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge $\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots$, der informal als $\aleph _{\aleph _{\ddots }}$ dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch

• Anfangszahl
• Beth-Funktion
• Gimel-Funktion

Literatur

• Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
• Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.