Volumenstarrheit

Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn $f\colon M_{1}\to M_{2}$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

$deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn $f\colon (M_{1},g_{1})\to (M_{2},g_{2})$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ mit

$Ric(g_{1})\geq -(n-1)g_{1},-a\leq K(g_{2})\leq -1$

für eine Konstante $a\geq 1$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

$deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei $\Sigma _{g}$ eine geschlossene hyperbolische Fläche und $\rho \colon \pi _{1}\Sigma _{g}\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{2})=PSL(2,\mathbb {R} )$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\leq vol(\Sigma _{g})$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei $M$ eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension $n\geq 3$ und $\rho \colon \pi _{1}M\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{n})=SO(n,1)_{0}$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\leq vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei $M=\Gamma \backslash G/K$ ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit $G$ ohne $SO(n,1)$- oder $SU(n,1)$-Faktor, und $\rho \colon \Gamma \to G$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\leq vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Literatur

• W. Goldman: Topological components of spaces of representations. Invent. Math. 93, 1988, S. 557–607.
• G. Besson, G. Courteois, S. Gallot: Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement negative. G.A.F.A. 5, 1995, S. 731–799.
• N. Dunfield: Cyclic surgery, degrees of maps of character curves, and volume rigidity for hyperbolic manifolds. Invent. Math. 136, 1999, S. 623–657.
• J. Boland, C. Connell, J. Souto: Volume rigidity for finite volume manifolds. Amer. J. Math. 127, 2005, S. 535–550.
• S. Francaviglia, B. Klaff: Maximal volume representations are Fuchsian. Geom. Dedic. 117, 2006, S. 111–124.