Volumenstarrheit

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Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

und Gleichheit nur dann, wenn eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension mit

für eine Konstante ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

und Gleichheit nur dann, wenn eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei eine geschlossene hyperbolische Fläche und eine Darstellung. Dann gilt

und Gleichheit nur dann, wenn diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension und eine Darstellung. Dann gilt

und Gleichheit nur dann, wenn diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit ohne - oder -Faktor, und eine Darstellung. Dann gilt

und Gleichheit nur dann, wenn diskret und treu ist.

Literatur

  • W. Goldman: Topological components of spaces of representations. Invent. Math. 93, 1988, S. 557–607.
  • G. Besson, G. Courteois, S. Gallot: Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement negative. G.A.F.A. 5, 1995, S. 731–799.
  • N. Dunfield: Cyclic surgery, degrees of maps of character curves, and volume rigidity for hyperbolic manifolds. Invent. Math. 136, 1999, S. 623–657.
  • J. Boland, C. Connell, J. Souto: Volume rigidity for finite volume manifolds. Amer. J. Math. 127, 2005, S. 535–550.
  • S. Francaviglia, B. Klaff: Maximal volume representations are Fuchsian. Geom. Dedic. 117, 2006, S. 111–124.