Benutzer:Blaues-Monsterle/Multipolstrahlung

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Verallgemeinerung: Multipolstrahlung

Definitionen

Die Zuführung eines Wechselstroms der Kreisfrequenz $\omega$ zu einer Antenne der Länge $l$ erzeugt also einen periodisch oszillierenden elektrischen Dipolvektor mit der Antennenrichtung (z-Richtung) als Dipolrichtung. (Das elektrische Dipolmoment ist $\propto Q(t)\cdot l,$ wobei Q(t) die periodisch oszillierende elektrische Ladung ist.)

Ebenso wird durch ein in der (x,y)-Ebene auf einem Kreis mit Radius $\Delta R$ umlaufendes Teilchen mit der konstanten Ladung Q₀ ein magnetischer Dipolvektor erzeugt, der per Konvention ebenfalls die z-Richtung hat und entsprechend dem Umlaufsinn zirkular polarisiert ist. (Das magnetische Dipolmoment ist $\propto \pi (\Delta R)^{2}\cdot Q_{0}\ ;$ die Kreisfrequenz des Umlaufs ist $\omega$.)

Magnetische Dipolstrahlung ist also wegen der quadratischen Abhängigkeit des Momentes von der (im Vergleich zu λ) kleinen Länge $\Delta R$ von vornherein eine Größenordnung schwächer als elektrische Dipolstrahlung. Für diese gilt dagegen die schon bekannte lineare Beziehung.

Zwei geringfügig gegeneinander verschobene entgegensetzt-gleiche Dipolvektoren ergeben einen sog. „Quadrupoltensor“, zwei geringfügig gegeneinander verschobene entgegengesetzt-gleiche Quadrupole einen „Oktupol“ usw. Die Zahl der Freiheitsgrade erhöht sich dabei jedes Mal um zwei, nicht um drei, weil bei der Richtung der Verschiebung nur die beiden Winkelkoordinaten senkrecht zur z-Achse involviert sind.

Anstelle der kartesischen Koordinaten (x, y, z) werden im Folgenden Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ benutzt, die in der üblichen Weise miteinander zusammenhängen.

Formel

Die zugehörige Verallgemeinerung der Hertzschen Dipolstrahlung ist die sogenannte Multipolstrahlung. Anstelle des Dipolvektors treten elektrische plus magnetische Multipolmomente $a_{\ell m}^{(E)}$ bzw. $a_{\ell m}^{(M)}$ auf, wobei die Indizes $\ell$ und $m$ sich auf die polaren bzw. azimutalen Winkelvariablen $\theta$ bzw. $\varphi$ der Kugelkoordinaten beziehen. Die allgemeine Formel ist nach John David Jackson

${\begin{aligned}{\vec {E}}({\vec {x}},t)&=\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr){\vec {X}}_{\ell m}(\theta ,\varphi )+{\frac {\mathrm {i} Z_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}{\vec {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr){\vec {X}}_{\ell m}(\theta ,\varphi ))\right]\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\\{\vec {H}}({\vec {x}},t)&=\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr){\vec {X}}_{\ell m}(\theta ,\varphi )-{\frac {\mathrm {i} }{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}{\vec {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr){\vec {X}}_{\ell m}(\theta ,\varphi ))\right]\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\end{aligned}}$

Dies entspricht ungefähr der Vertauschung von ${\vec {E}}$ und ${\vec {H}}$ unter Berücksichtigung des Vorzeichens ( +iZ₀ → -i/Z₀), analog zur formalen Vertauschungssymmetrie der freien Maxwellschen Gleichungen im cgs-System (Vakuum, ${\vec {B}}={\vec {H}}$, ${\vec {D}}={\vec {E}}$):

$\operatorname {rot} {\vec {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=0,\quad \operatorname {rot} {\vec {H}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0.$

$Z_{0}$ ist die Vakuumimpedanz $\textstyle {\sqrt {\mu _{0}/\varepsilon _{0}}}.$ Die ${\vec {X}}_{\ell m}$ sind wie folgt definiert:

${\vec {X}}_{\ell m}={\frac {1}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}{\vec {L}}Y_{\ell m}$

mit den Kugelflächenfunktionen $Y_{\ell m}$ und dem Drehimpulsoperator ${\vec {L}}=-\mathrm {i} {\vec {r}}\times {\vec {\nabla }}$.

Die Gewichtsfaktoren $a_{\ell m}^{(E)}$ bzw. $a_{\ell m}^{(M)}$ beschreiben für $\ell =1$ elektrische bzw. magnetische Dipolstrahlung bzw. für $\ell =2$ Quadrupolstrahlung, jeweils mit $2\ell +1$ verschiedenen $m$-Werten. Man hat also für die aufeinander folgenden $\ell$-Werte drei bzw. fünf $m$-Werte. Im Fernbereich kann die Radialfunktion $h_{\ell }^{(1)}(kr),$ eine sphärische Besselfunktion, vereinfacht werden zu $\textstyle h_{\ell }^{(1)}(kr)\cong (-\mathrm {i} )^{\ell +1}{\frac {\exp(\mathrm {i} kr)}{kr}},$ in Übereinstimmung mit den obigen Formeln. Die Größe k schließlich ist gleich ω/c.

Nah- und Fernfeld

Im Nahbereich sind die Feldkomponenten jetzt – bei komplizierter Richtungsabhängigkeit, gegeben durch die Kugelflächenfunktionen $Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )$ –  proportional zu $r^{-(\ell +2)}.$  Im Fernbereich sind dagegen nach wie vor alle Komponenten $\propto 1/r\ ,$ und die elektrischen bzw. magnetischen Felder sowie der Radiusvektor sind wie bei ebenen elektromagnetischen Wellen paarweise orthogonal zueinander.

Monopolstrahlung würde $\ell =0$ entsprechen. Diese kann nicht auftreten, da das Außenfeld einer kleinen geladenen Kugel unabhängig vom oszillierenden Kugelradius nach dem Satz von Gauß nur durch die konstante Gesamtladung gegeben ist. Dies muss nicht als zusätzliche Annahme gefordert werden, denn insbesondere ist ${\vec {X}}_{00}=0$.

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. 3. Auflage. deGruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.

Einzelnachweise und Fußnoten

[[Kategorie:Elektrodynamik]]