Kugelflächenfunktionen

Darstellung des Betrags des Realanteils der ersten Kugelflächenfunktionen als Radius in kartesischen Koordinaten. Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflächenfunktion an (rot entspricht positiv, grün entspricht negativ).

Veranschaulichung des Realanteils einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend) auf der Einheitskugel. Dargestellt ist $Y_{l,m}$, wobei $l$ der Zeile und $m$ der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert.

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$, dabei sind $N_{lm}$ Normierungsfaktoren und $P_{lm}(z)$ die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):

$Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }$ $\quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}$

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet.

Zusammenhang mit dem Laplace-Operator

Der Winkelanteil des Laplace-Operators zeigt sich, wenn dieser in Kugelkoordinaten geschrieben wird:

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=\Delta _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }$

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil $\Delta _{\vartheta ,\varphi }$ bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta _{\vartheta ,\varphi }$.

Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten

$\Delta f(r,\vartheta ,\varphi )\ =0$

hat neben der trivialen Lösung, $f=0$, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.

Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei $R_{l}(r)$ nur vom Radius und $Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:

$f(r,\vartheta ,\varphi )=R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

Dies ergibt eingesetzt:

$\Delta R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R_{l}(r)+{\frac {R_{l}(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=0$

Multiplikation von $r^{2}$ und Division durch $R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ liefert:

${\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}=0$

Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu $l(l+1)$ gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):

${\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}=l(l+1)=-{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}$

Durch dieses Verfahren, welches Separationsansatz genannt wird, wurde also das ursprüngliche Problem, nämlich die Lösung der Laplace-Gleichung (partielle Differentialgleichung mit drei unabhängigen Variablen), auf das einfachere Problem der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Radialgleichung)

$\Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)$

und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), die gerade von den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.

$\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:

$f(r,\vartheta ,\varphi )\ =\sum _{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.

Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt.

Lösung der Eigenwertgleichung

Die Eigenwertgleichung

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$

wird mit folgendem Produktansatz separiert:

$Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )$

Umsortieren liefert:

$\underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )(l(l+1))} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi _{m}(\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )} _{m^{2}}$

Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als $m^{2}$ gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung

${\frac {1}{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )={\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}-l(l+1)$

und die Azimutalgleichung.

${\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )=-m^{2}\Phi _{m}(\varphi )$

Die Azimutalgleichung wird durch $\Phi _{m}(\varphi )=A\exp(\mathrm {i} m\varphi )$ gelöst, wobei die $m$ wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche $\Phi _{m}(\varphi +2\pi )=\Phi _{m}(\varphi )$ eingeschränkt sind auf ganze Zahlen $\exp(\mathrm {i} m2\pi )=1$. Mit $\int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi {\overset {!}{=}}1$ erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:

$\Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(\mathrm {i} m\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z}$

Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen sind nur dann endlich, eindeutig und stetig, wenn

$l\in \mathbb {N} _{0},\quad |m|\leq l$.

Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{lm}(\cos\vartheta)} und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{0}^{\pi}|\Theta_{lm}(\vartheta)|^{2}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\overset{!}{=}1} erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_{lm}(\vartheta)= \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta)}

Die Gesamtlösung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich die Kugelflächenfunktionen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta)\Phi_{m}(\varphi)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta) \exp(\mathrm im\varphi)}

Darstellung

3D Plot der Kugelflächenfunktionen (hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vartheta} ) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{nm}(\theta,\varphi)\propto P_{nm}(\cos\theta)\exp(i m \varphi)} für Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=5}

Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}: S^2\rightarrow \mathbb C } ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}N_{lm} P_{lm}(\cos \vartheta)e^{\mathrm im \varphi}}

Dabei sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{lm} (x):=\frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-x^2)^{\frac m2} \frac{\mathrm d^{l+m}}{\mathrm dx^{l+m}}(x^2-1)^l}

die zugeordneten Legendrepolynome und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_{lm} := \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}}

sind Normierungsfaktoren. Mitunter ist die Berechnung über:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{lm} (x)=(-1)^m(1-x^2)^{\frac{m}{2}} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^m P_l(x)}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_l (x)=\frac {1}{2^l}\sum_{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!} x^{l-2k}}

vorteilhafter (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lfloor l/2\rfloor:={\mathrm{abrunden}}(l/2)} ), da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} -faches Ableiten entfällt.

Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r^n} schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r^n } die Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \frac{}{}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos{\varphi} \sin \vartheta = \Re{(e^{\mathrm i\varphi})} \sin \vartheta } ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin \varphi \sin \vartheta = \Im{(e^{\mathrm i\varphi})} \sin \vartheta } ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \vartheta \frac{}{}} .

Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-y^2, xy, x^2+y^2-2 z^2\frac{}{} } wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Eigenschaften

Darstellung der Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

• Orthonormalitätsrelation: (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_{ij}} ist das Kronecker-Delta)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} &\int Y_{lm}^{*}(\vartheta,\varphi) \, Y_{l'm'}(\vartheta,\varphi) \mathrm d\Omega \\ &\quad = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} Y_{lm}^{*}(\vartheta,\varphi) \, Y_{l'm'}(\vartheta,\varphi) \, \sin{\vartheta} \, \mathrm d\vartheta \,\mathrm d\varphi \\ &\quad = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'}\\ \end{align}}

• Vollständigkeit: (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(x)} ist die Delta-Distribution)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ') \, Y_{lm}(\vartheta,\varphi) = \delta(\varphi-\varphi ')\delta(\cos{\vartheta} -\cos{\vartheta '})}

• Parität: Der Übergang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r \rightarrow -\vec r} sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r,\vartheta,\varphi) \rightarrow (r,\pi-\vartheta,\pi+\varphi)} . Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}(\pi-\vartheta,\pi+\varphi)=(-1)^l\cdot Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}

• Komplexe Konjugation: Die jeweiligen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{l,-m}} erhält man aus den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}} durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta,\varphi)=(-1)^m\cdot Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)}

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\vartheta,\varphi)} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vartheta} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\vartheta,\varphi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^{+l}c_{lm}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}

Die Entwicklungskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{lm}} berechnen sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{lm}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\vartheta=0}^\pi Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)\cdot f(\vartheta,\varphi)\cdot\sin \vartheta \, \mathrm d\vartheta \, \mathrm d\varphi}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)} das komplex-konjugierte zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi)} . Die Darstellung einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin} - und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos} -Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\vartheta,\varphi)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi)} auf einer Kugeloberfläche.

Additionstheorem

Ein Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}'} durch Kugelkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vartheta,\,\varphi)} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vartheta',\,\varphi')} dargestellt. Für den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos\gamma=\cos\vartheta\cos\vartheta' + \sin\vartheta\sin\vartheta'\cos(\varphi-\varphi')\,.}

Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_l(\cos\gamma) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\vartheta,\varphi)Y_{lm}^*(\vartheta',\varphi'). }

Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflächenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{lm}} mit den zugeordneten Legendrefunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{lm}} geschrieben werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_l(\cos\gamma) = P_l(\cos \vartheta) P_l(\cos \vartheta') + 2 \sum_{m=1}^l\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{lm}(\cos\vartheta)P_{lm}(\cos\vartheta')\cos(m(\varphi-\varphi')). }

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma=0} erhält man aus dem Additionstheorem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{m=-l}^l|Y_{lm}(\vartheta,\varphi)|^2=\frac{2l+1}{4\pi}.}

Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos^2\vartheta + \sin^2 \vartheta = 1 } auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsöld-Theorem (nach Albrecht Unsöld) bekannt.

Die ersten Kugelflächenfunktionen

Die ersten Kugelflächenfunktionen

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = −3				Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{-3\mathrm i \varphi}}
m = −2			Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{-2\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{-2\mathrm i \varphi}}
m = −1		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, e^{-\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{-\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{21}{64 \pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{-\mathrm i \varphi}}
m = 0	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{1}{4 \pi}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{3}{4 \pi}} \cos{\vartheta}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{5}{16 \pi}} \left( 3 \cos^{2}{\vartheta} - 1 \right)}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{7}{16 \pi}} \left( 5 \cos^{3}{\vartheta} - 3 \cos{\vartheta}\right)}
m = 1		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, e^{\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{\mathrm i \varphi}}
m = 2			Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{2\mathrm i \varphi}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{2\mathrm i \varphi}}
m = 3				Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{3\mathrm i \varphi}}

Anwendungen

Quantenmechanik

Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{L}}^{2}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta,\varphi)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{L}_{z}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar m Y_{l,m}(\theta,\varphi)}

Lösung der Laplace-Gleichung

Für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} ist die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r^l Y_{lm}(\theta,\varphi)} Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, denn die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_l(r)=r^l} erfüllt gerade obige Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta_{r}R_{l}(r)=\frac{l(l+1)}{r^{2}}R_{l}(r)} .

Jede Lösung der Laplace-Gleichung lässt sich nun eindeutig als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{l,m} c_{lm} r^l Y_{lm}}

darstellen. Somit lässt sich mit den Kugelflächenfunktionen die Laplace-Gleichung mit sphärischen Dirichlet-Randbedingungen lösen: Legen die Randbedingungen den Wert der Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll, auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f|_{S_2}} auf der Einheitssphäre fest, so lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f|_{S_2}} nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, wodurch sich die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{lm}} und damit auf eindeutige Weise ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ergeben. Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Lösbarkeit mit sphärischen Randbedingungen lässt sich die allgemeine Lösbarkeit des Dirichlet-Problems der Laplace-Gleichung für hinreichend glatte Randbedingungen zeigen, dieser Beweis geht auf Oskar Perron zurück. Das Dirichlet-Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik. Zum Lösen der Laplace-Gleichung, bei der eine Funktion gesucht ist, die außerhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet, zu gegebenen Randbedingungen, ist der Ansatz einer Zerlegung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{l,m} c_{lm} r^{-l-1} Y_{lm}}

möglich, der ebenfalls stets eine Lösung der Laplace-Gleichung zu den gegebenen Randbedingungen liefert.

Siehe auch: Sphärische Multipolentwicklung

Nomenklatur in der Geophysik

Kugelflächenfunktionen werden auch in der Geophysik verwendet. Man unterscheidet hier zwischen:

• zonal (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=0} ): unabhängig von Längengrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi}
• sektoriell (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=l} ):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{ll}(\vartheta,\varphi) := \frac{(-1)}{l!}^l\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4^{l+1}\pi}} \sin^l \vartheta e^{\mathrm i l \varphi} }

• tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig

Literatur

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen Georg Reimer, Berlin 1861, 2. Auflage 1878.
• Albert Wangerin: Theorie Des Potentials Und Der Kugelfunktionen II Band. Walter de Gruyter, Berlin 1921. (University of Michigan)
• E. W. Hobson: The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. Cambridge University Press, 1931, Chelsea 1955
• Josef Lense: Kugelfunktionen. Geest u. Portig 1954
• Claus Müller: Spherical Harmonics. Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Nr. 17, 1966

Kugelflächenfunktionen werden auch in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt, z. B.:

• Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik. Harri Deutsch, 1992
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999, S. 649 ff.
• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.

Weblinks

• Visualization of Spherical Harmonics
• Hydrogen Atom Orbital Viewer