Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} , den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} die Divergenz seines Gradienten zu,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right),}

oder mit dem Nabla-Operator notiert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla)f = \nabla^2 f.}

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla^2} zu finden.

Da der Divergenz-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{div}} und der Gradient-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}} unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over \partial x_k^2}. }

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = f'' }

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} “ wird mit dem Nabla-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec v:=(\nabla\cdot\nabla)\vec v =\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec v) =\operatorname{div(grad}(\vec v)^\top) }

definiert. Das Superskript Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}^\top} steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{\widetilde{div}}T=\operatorname{div}(T^\top)} transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec v=\operatorname{\widetilde{div}(grad}\,\vec v)}

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{rot}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec v =(\nabla\cdot\nabla)\vec v = \nabla(\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{v}) =\operatorname{grad(div}(\vec v))-\operatorname{rot(rot}(\vec v)) ,}

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.[1]

Darstellung

In zwei Dimensionen

Für eine Funktion in kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x, y)} ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.}

In Polarkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \varphi)} ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r\,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.}

In drei Dimensionen

Für eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.}

In Zylinderkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\rho, \varphi, z)} ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}}

und in Kugelkoordinaten Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. }

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 }{\partial r^2} \Big( r f(r)\Big) }

Entsprechend gilt für den zweiten Term:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} }

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f = {\rm{div\,\,grad\,\,}}f = \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_1}}\left(\frac{a_2a_3\,\partial f}{a_1\,\partial u_1}\right) + \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_2}}\left(\frac{a_1a_3\,\partial f}{a_2\,\partial u_2}\right) + \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_3}}\left(\frac{a_1a_2\,\partial f}{a_3\,\partial u_3}\right)}

mit den durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\rm{grad\,\,}} f = \sum_{i=1}^3\,\frac{\partial f}{a_i\,\partial u_i} \,\hat e_i}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_i\cdot \hat e_k = \delta_{i,k} = \begin{cases} 1 & \text{für } i=k \\ 0 & \text{für } i \ne k \end{cases}}

impliziert definierten Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i, u_i, \hat e_i} . Dabei haben nicht die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}u_i} , sondern die Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm dl_i:= a_i\cdot\mathrm{d}u_i} die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i} nicht konstant sind, sondern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_1} , und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_3} abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

Anwendung auf Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} - und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Koordinaten und Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_{x, y, z}} gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec v =\frac{\partial^2}{\partial x^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\vec v =\Delta v_x\hat{e}_x+\Delta v_y\hat{e}_y+\Delta v_z\hat{e}_z }

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\rho, \varphi, z)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\vec v = \left(\Delta v_\rho -\frac{1}{\rho^2}v_\rho -\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\rho +\left(\Delta v_\varphi -\frac{1}{\rho^2}v_\varphi +\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\rho}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\varphi +\Delta v_z\hat{e}_z }

und in Kugelkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \theta, \varphi)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Delta\vec v =& \left( \Delta v_r -\frac{2}{r^2}v_r -\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} -\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} -\frac{2}{r^2\tan\theta}v_\theta \right)\hat{e}_r \\& +\left( \Delta v_\theta +\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} -\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\theta \right)\hat{e}_\theta \\& +\left( \Delta v_\varphi +\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi +\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial\varphi} \right)\hat{e}_\varphi \,.\end{align}}

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.[2]

Beweis
In Zylinderkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\rho, \varphi, z)} werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_\rho =\begin{pmatrix} \cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_z =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} }
als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat {e}_{\rho,\varphi}=\hat {e}_\varphi \quad\text{und}\quad \hat {e}_{\varphi,\varphi}=-\hat {e}_\rho}
Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat {e}_{\rho,\varphi}:=\frac{\partial}{\partial\varphi}\hat {e}_\rho.}
Die Anwendung des Laplace-Operators
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta= \frac{\partial^2}{\partial\rho^2} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}}
auf ein Vektorfeld ergibt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} &\left(\frac{\partial^2}{\partial\rho^2} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) (v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z) \\=& \frac{\partial^2}{\partial\rho^2}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z) \\&+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} (v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z) +\frac{\partial^2}{\partial z^2}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z) \\=& v_{\rho,\rho\rho}\hat{e}_\rho +v_{\varphi,\rho\rho}\hat{e}_\varphi +v_{z,\rho\rho}\hat{e}_z +\frac{1}{\rho}(v_{\rho,\rho}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,\rho}\hat{e}_\varphi+v_{z,\rho}\hat{e}_z) \\& +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}( v_{\rho,\varphi}\hat{e}_\rho +v_\rho\hat{e}_\varphi +v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\varphi -v_\varphi\hat{e}_\rho +v_{z,\varphi}\hat{e}_z ) \\& +v_{\rho,zz}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,zz}\hat{e}_\varphi+v_{z,zz}\hat{e}_z \\=& v_{\rho,\rho\rho}\hat{e}_\rho +v_{\varphi,\rho\rho}\hat{e}_\varphi +v_{z,\rho\rho}\hat{e}_z +\frac{1}{\rho}(v_{\rho,\rho}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,\rho}\hat{e}_\varphi+v_{z,\rho}\hat{e}_z) \\& +\frac{1}{\rho^2}(v_{\rho,\varphi\varphi}\hat{e}_\rho +2v_{\rho,\varphi}\hat{e}_\varphi -v_\rho\hat{e}_\rho +v_{\varphi,\varphi\varphi}\hat{e}_\varphi -2v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\rho -v_\varphi\hat{e}_\varphi +v_{z,\varphi\varphi}\hat{e}_z) \\& +v_{\rho,zz}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,zz}\hat{e}_\varphi+v_{z,zz}\hat{e}_z \\=& +\left(\Delta v_\rho -\frac{1}{\rho^2}v_\rho -\frac{2}{\rho^2}v_{\varphi,\varphi} \right)\hat{e}_\rho +\left(\Delta v_\varphi -\frac{1}{\rho^2}v_\varphi +\frac{2}{\rho^2}v_{\rho,\varphi} \right)\hat{e}_\varphi +\Delta v_z\hat{e}_z ,\end{align}}
also die im Text angegebene Formel.

In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_r =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi\\ \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \hat{e}_\theta =\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi\\ \cos\theta\sin\varphi\\ -\sin\theta \end{pmatrix}, \qquad \hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix}}
verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \hat{e}_{r,\theta}=&\begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi\\ \cos\theta\sin\varphi\\ -\sin\theta \end{pmatrix} =\hat{e}_\theta \,,\quad \hat{e}_{r,\varphi} = \begin{pmatrix} -\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix} =\sin\theta\hat{e}_\varphi \\ \hat{e}_{\theta,\theta} =& \begin{pmatrix} -\sin\theta\cos\varphi\\ -\sin\theta\sin\varphi\\ -\cos\theta \end{pmatrix} =-\hat{e}_r \,,\quad \hat{e}_{\theta,\varphi} = \begin{pmatrix} -\cos\theta\sin\varphi\\ \cos\theta\cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix} =\cos\theta\hat{e}_\varphi \\ \hat{e}_{\varphi,\varphi} =& \begin{pmatrix} -\cos\varphi\\ -\sin\varphi\\ 0 \end{pmatrix} =\hat{e}_z\times\hat{e}_\varphi =-\sin\theta\hat{e}_r-\cos\theta\hat{e}_\theta \end{align}}
Anwendung des Laplace-Operators
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} +\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}}
auf ein Vektorfeld ergibt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} &\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} +\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} \right)\cdot (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) \\=& \frac{\partial^2}{\partial r^2} (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) \\& +\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta} (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} (v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi) \\=& v_{r,rr}\hat{e}_r +v_{\theta,rr}\hat{e}_\theta+v_{\varphi,rr}\hat{e}_\varphi +\frac{2}{r}v_{r,r}\hat{e}_r +\frac{2}{r}v_{\theta,r}\hat{e}_\theta+\frac{2}{r}v_{\varphi,r}\hat{e}_\varphi \\& +\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta} ( v_{r,\theta}\hat{e}_r +v_r\hat{e}_\theta +v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta -v_\theta\hat{e}_r +v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi ) \\& +\frac{1}{r^2\tan\theta} ( v_{r,\theta}\hat{e}_r +v_r\hat{e}_\theta +v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta -v_\theta\hat{e}_r +v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi ) \\& +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} ( v_{r,\varphi}\hat{e}_r +\sin\theta v_r\hat{e}_\varphi +v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\theta +\cos\theta v_\theta\hat{e}_\varphi +v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\varphi -\sin\theta v_\varphi\hat{e}_r -\cos\theta v_\varphi\hat{e}_{\theta} ) \\=& v_{r,rr}\hat{e}_r +v_{\theta,rr}\hat{e}_\theta+v_{\varphi,rr}\hat{e}_\varphi +\frac{2}{r}v_{r,r}\hat{e}_r +\frac{2}{r}v_{\theta,r}\hat{e}_\theta+\frac{2}{r}v_{\varphi,r}\hat{e}_\varphi \\& +\frac{1}{r^2} ( v_{r,\theta\theta}\hat{e}_r +v_{r,\theta}\hat{e}_\theta +v_{r,\theta}\hat{e}_\theta -v_r\hat{e}_r +v_{\theta,\theta\theta}\hat{e}_\theta -v_{\theta,\theta}\hat{e}_r -v_{\theta,\theta}\hat{e}_r -v_\theta\hat{e}_\theta +v_{\varphi,\theta\theta}\hat{e}_\varphi ) \\& +\frac{1}{r^2\tan\theta}( v_{r,\theta}\hat{e}_r +v_r\hat{e}_\theta +v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta -v_\theta\hat{e}_r +v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi ) \\& +\frac{1}{r^2\sin^2\theta} ( v_{r,\varphi\varphi}\hat{e}_r +\sin\theta v_{r,\varphi}\hat{e}_\varphi +\sin\theta v_{r,\varphi}\hat{e}_\varphi -\sin^2\theta v_r\hat{e}_r -\sin\theta\cos\theta v_r\hat{e}_\theta \\& +v_{\theta,\varphi\varphi}\hat{e}_\theta +\cos\theta v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\varphi +\cos\theta v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\varphi -\sin\theta\cos\theta v_\theta\hat{e}_r -\cos^2\theta v_\theta\hat{e}_\theta \\& +v_{\varphi,\varphi\varphi}\hat{e}_\varphi -\sin\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_r -\cos\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\theta -\sin\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_r -\sin^2\theta v_\varphi\hat{e}_\varphi \\& -\cos\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\theta -\cos^2\theta v_\varphi\hat{e}_\varphi ) \\=& \Bigl( v_{r,rr} +\frac{2}{r}v_{r,r} +\frac{1}{r^2}v_{r,\theta\theta} +\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{r,\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{r,\varphi\varphi} \\&\qquad -\frac{1}{r^2}v_r -\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta} -\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta} -\frac{1}{r^2\tan\theta}v_\theta -\frac{1}{r^2}v_r -\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}v_\theta -\frac{1}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi} -\frac{1}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi} \Bigr)\hat{e}_r \\& +\Bigl( v_{\theta,rr} +\frac{2}{r}v_{\theta,r} +\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta\theta} +\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{\theta,\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi\varphi} \\&\qquad +\frac{2}{r^2}v_{r,\theta} -\frac{1}{r^2}v_\theta +\frac{1}{r^2\tan\theta}v_r -\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}v_r -\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin^2\theta}v_\theta -\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi} \Bigr)\hat{e}_\theta \\& +\Bigl( v_{\varphi,rr} +\frac{2}{r}v_{\varphi,r} +\frac{1}{r^2}v_{\varphi,\theta\theta} +\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{\varphi,\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi\varphi} \\&\qquad +\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{r,\varphi} +\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi} -\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi \Bigr)\hat{e}_\varphi \\=& \left( \Delta v_r -\frac{2}{r^2}v_r -\frac{2}{r^2}v_{\theta,\theta} -\frac{2}{r^2\tan\theta}v_\theta -\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi} \right)\hat{e}_r \\& +\left( \Delta v_\theta +\frac{2}{r^2}v_{r,\theta} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\theta -\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi} \right)\hat{e}_\theta \\& +\left( \Delta v_\varphi +\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi} -\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi +\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{r,\varphi} \right)\hat{e}_\varphi \end{align},}
also dasselbe Ergebnis wie im Text angegeben.

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} zweimal differenzierbare Funktionen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} Konstanten, so gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta (a\cdot f+b\cdot g) = a\cdot (\Delta f) + b\cdot (\Delta g).}

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta (fg) = f \Delta g + 2 \langle \nabla f , \nabla g\rangle + g \Delta f,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,g \colon U \to \R} zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U \subset \R^n} sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \cdot , \cdot \rangle} das euklidische Standardskalarprodukt ist.[3]

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} eine zweimal differenzierbare Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} eine Drehung, so gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right),}

wobei „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \circ} “ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\|\xi\|^2} . Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\Delta \colon \mathcal{S}(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)}

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\Delta \colon H^2(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)}

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^2(\R^n) \subset L^2(\R^n)} .[4] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(-\Delta)\subset\R_0^+}

Die Eigenwertgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\Delta f = \lambda f}

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega \subset \R^n} ein beschränktes Gebiet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^2_0(\Omega)} der Sobolev-Raum mit den Randwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f=0} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial \Omega} , dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\Delta \colon H^2_0(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)} ein vollständiges Orthonormalsystem von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(\Omega)} und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty} einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.[5]

Anschaulich gibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta f(p)} für eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} an einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} an, wie sich der Mittelwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} über konzentrische Kugelschalen um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} mit wachsendem Kugelradius gegenüber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(p)} verändert.

Poisson- und Laplace-Gleichung

Definition

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\varphi = 0}

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\varphi = f}

heißt Poisson-Gleichung.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})} des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\, G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\delta(\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime})}

mit der Delta-Distribution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta} auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=-\frac{1}{4\pi\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0}

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\frac{\ln(\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|)}{2\pi}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0}

Verallgemeinerungen

D’Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den D’Alembert-Operator:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \Delta}

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator

Auf eine diskrete Eingangsfunktion gn bzw. gnm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad \vec{D}^2_x \; =\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}}
2D-Filter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}}

Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:

2D-Filter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}}

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die Kantendetektion in der Bildverarbeitung (siehe Laplace-Filter) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt.

Siehe auch

Anwendungen

Literatur

  • Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.
  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch).
  2. ↑ M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 378.
  3. ↑ Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.
  4. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.
  5. ↑ Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.
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