Dyadisches Produkt

Dyadisches Produkt zweier Vektoren als Matrizenprodukt

Das dyadische Produkt (kurz auch Dyade von griech. δύας, dýas „Zweiheit“) oder tensorielle Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine Matrix (oder ein Tensor zweiter Stufe) mit dem Rang eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines Matrizenprodukts einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem Kronecker-Produkt dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird.

Das Konzept des dyadischen Produkts geht auf den US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, der es erstmals im Jahr 1881 im Rahmen seiner Vektoranalysis formulierte.^[1]

Definition

Das dyadische Produkt ist eine Verknüpfung zweier reeller Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y \in \R^n} der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes \colon \R^m \times \R^n \to \R^{m \times n}, \quad (x,y) \mapsto x \otimes y} ,

wobei das Ergebnis eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C \in \R^{m \times n}} ist. Jeder Eintrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{ij}} der Ergebnismatrix berechnet sich dabei aus den Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = (x_1, \ldots , x_i , \ldots , x_m)} und $y=(y_{1},\ldots ,y_{j},\ldots ,y_{n})$ über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{ij} = x_i \cdot y_j}

als das Produkt der Elemente $x_{i}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_j} . Interpretiert man den ersten Vektor als einspaltige Matrix und den zweiten Vektor als einzeilige Matrix, so lässt sich das dyadische Produkt mittels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \otimes y = x \cdot y^T = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x_1 y_1 } & \cdots &{x_1 y_n}\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ {x_m y_1 } & \cdots &{x_m y_n} \end{pmatrix} }

als Matrizenprodukt darstellen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^T} der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} transponierte Vektor ist. Das dyadische Produkt kann so auch als Spezialfall des Kronecker-Produkts einer einspaltigen mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden.

Beispiele

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = (1, 3, 2) \in \R^3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (2, 1, 0, 3) \in \R^4} , dann ist das dyadische Produkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \otimes y = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 0 & 9 \\ 4 & 2 & 0 & 6 \\ \end{pmatrix} \in \R^{3 \times 4}. }

Jede Spalte dieser Matrix ist also ein Vielfaches von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und jede Zeile ein Vielfaches von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^T} . Als triviale Beispiele sind jede Nullmatrix das dyadische Produkt von Nullvektoren und jede Einsmatrix das dyadische Produkt von Einsvektoren entsprechend passender Größe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0_{mn} = 0_m \otimes 0_n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_{mn} = 1_m \otimes 1_n}

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften des dyadischen Produkts ergeben sich direkt aus den Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.

Kommutativität

Das dyadische Produkt ist, wie zahlreiche Beispiele belegen, nicht kommutativ.

Für die Transponierte des dyadischen Produkts zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y \in \R^n} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x \otimes y)^T = y \otimes x} .

Zwei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und $y$ sind damit genau dann vertauschbar, das heißt, es gilt

x\otimes y=y\otimes x

,

wenn die Ergebnismatrix symmetrisch ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist, das heißt, wenn es eine Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in \R} gibt, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \lambda y} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \lambda x} gilt. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, dann gilt insbesondere für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^n}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \otimes 0_n = 0_n \otimes x = 0_{nn}} ,

wobei die Ergebnismatrix dann die Nullmatrix ist.

Distributivität

Mit der Vektoraddition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+y} ist das dyadische Produkt distributiv, das heißt, es gilt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m} und $y,z\in \mathbb {R} ^{n}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z}

sowie für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x,y \in \R^m} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \in \R^n} entsprechend

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x + y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z} .

Weiter ist das dyadische Produkt verträglich mit der Skalarmultiplikation, das heißt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y \in \R^n} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in \R} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(x \otimes y) = (\lambda x) \otimes y = x \otimes (\lambda y)} .

Dyadisches Produkt zweier Vektoren

Das dyadische Produkt zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y \in \R^n} ergibt, sofern keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, eine Rang-Eins-Matrix, das heißt

\operatorname {rang} (x\otimes y)=1

.

Umgekehrt lässt sich jede Rang-Eins-Matrix als dyadisches Produkt zweier Vektoren darstellen. Für die Spektralnorm und die Frobeniusnorm eines dyadischen Produkts gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| x \otimes y \|_2 = \| x \otimes y \|_F = \| x \|_2 \cdot \| y \|_2} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \| x \|_2} die euklidische Norm des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist. Neben der Nullmatrix sind Rang-Eins-Matrizen die einzigen Matrizen, für die diese beiden Normen übereinstimmen.

Bezüge zu anderen Produkten

Skalarprodukt

Bildet man umgekehrt das Produkt aus einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor, so erhält man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle = x^T \cdot y} ,

wobei das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ist gleich der Spur (der Summe der Diagonalelemente) ihres dyadischen Produkts, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Spur}(x \otimes y) = \langle x, y \rangle} .

Weiter ist die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \otimes y} genau dann nilpotent (immer vom Grad 2), wenn die beiden Vektoren orthogonal sind, das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( x \otimes y )^2 = 0 \Leftrightarrow \langle x,y \rangle = 0} .

Wenn sich Zeilen- und Spaltenvektoren passender Größe abwechseln, können auch mehrere Vektoren miteinander multipliziert werden. Aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation erhält man so die Identitäten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^T \cdot (y \otimes z) = x^T \cdot y \cdot z^T = \langle x, y \rangle \, z^T}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x \otimes y) \cdot z = x \cdot y^T \cdot z = x \, \langle y, z \rangle} .

Ein Skalarprodukt wird auch inneres Produkt genannt, weswegen das dyadische Produkt gelegentlich auch als äußeres Produkt bezeichnet wird. Diese Dualität wird in der Bra-Ket-Notation der Quantenmechanik genutzt, wo ein inneres Produkt durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x | y \rangle} und ein äußeres Produkt durch $|y\rangle \langle x|$ notiert wird.

Tensorprodukt

Der Vektorraum, der durch dyadische Produkte von Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R^m, y \in \R^n} aufgespannt wird, ist der Tensorproduktraum

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^m \otimes \R^n = \operatorname{span} \{ x \otimes y \mid x \in \R^m, y \in \R^n \}} .

Dieser Raum ist isomorph zum Raum aller Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{m \times n}} . Jede Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \R^{m \times n}} lässt sich demnach als Linearkombination dyadischer Produkte von Vektoren darstellen, das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \sum_{i=1}^r x_i \otimes y_i} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, \ldots , x_r \in \R^m} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_1, \ldots , y_r \in \R^n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \operatorname{rang}(A)} sind. Durch eine geeignete Wahl von Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i, y_i} und einer Rangschranke $r'<r$ lässt sich auf diese Weise auch eine Niedrigrang-Approximation einer Matrix erreichen, wodurch numerische Berechnungen bei sehr großen Matrizen beschleunigt werden können.^[2]

Verwendung

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Multipliziert man das dyadische Produkt $x\otimes y$ mit einem Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} , erhält man einen Vektor, der parallel zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x \otimes y) \cdot z = x \, \langle y, z \rangle}

gilt. Das dyadische Produkt eines Einheitsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} mit sich selbst ist ein Projektionsoperator, denn das Matrix-Vektor-Produkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (v \otimes v) \cdot x = v \, \langle v, x \rangle}

projiziert einen gegebenen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} orthogonal auf eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor $v$ . Die Spiegelung eines Vektors an einer Ursprungsebene mit Einheits-Normalenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ergibt sich entsprechend als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (I - 2n \otimes n) \cdot x = x - 2n \, \langle n, x \rangle} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} die Einheitsmatrix ist. Solche Spiegelungen werden beispielsweise in der Householdertransformation verwendet.

In der digitalen Bildverarbeitung können Faltungsmatrizen als dyadisches Produkt zweier Vektoren dargestellt werden. Durch diese Separierbarkeit können z. B. Weichzeichnungs- oder Kantenerkennungsfilter in „two passes“ (engl. zwei Durchläufe) angewendet werden, um den Rechenaufwand zu reduzieren.

Als Beispiel der 5 × 5 „convolution kernel“ (engl. Faltungsmatrix) des Gaußschen Weichzeichners:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{256}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 6 & 24 & 36 & 24 & 6 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}}

Koordinatenfreie Darstellung

In einer abstrakteren, koordinatenfreien Darstellung ist das dyadische Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\otimes\vec b} zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\in\mathbb{V}_2} und ${\vec {b}}\in \mathbb {V} _{1}$ aus zwei Vektorräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_2 } ein Tensor zweiter Stufe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} im Tensorproduktraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1} . Die verschiedenen Notationen verwenden teilweise Fettdruck für Vektoren oder lassen das Zeichen $\otimes$ weg:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\vec{a}\otimes\vec{b} =\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=\mathbf{a b}}

Nicht jeder Tensor zweiter Stufe ist ein dyadisches Produkt von zwei Vektoren, jedoch kann jeder Tensor zweiter Stufe als Summe dyadischer Produkte dargestellt werden. Ein Tensor, der dyadisches Produkt zweier Vektoren ist, heißt einfacher Tensor oder Dyade.

Anwendung findet diese Version des dyadischen Produkts in der Kontinuumsmechanik, wo meist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1=\mathbb{V}_2=\mathbb{V}} identisch mit dem dreidimensionalen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}} der geometrischen Vektoren ist.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} ein euklidischer Vektorraum, so kann mit Hilfe des Skalarprodukts „·“ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} das innere Produkt zwischen Tensoren und Vektoren definiert werden. Es ordnet jedem Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}\in\mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1} und Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c\in\mathbb{V}_1} einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}\cdot\vec{c}\in\mathbb{V}_2} zu. Für Dyaden $\mathbf {T} ={\vec {a}}\otimes {\vec {b}},\ {\vec {a}}\in \mathbb {V} _{2},\ {\vec {b}}\in \mathbb {V} _{1}$ ist das innere Produkt wie folgt definiert:

(\mathbf {T} ,{\vec {c}})\mapsto \mathbf {T} \cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}\in \mathbb {V} _{2}

Hierdurch kann jede Dyade und damit auch jeder Tensor $\mathbf {T} \in \mathbb {V} _{2}\otimes \mathbb {V} _{1}$ als lineare Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}\colon\mathbb{V}_1\to\mathbb{V}_2,\quad\vec c\mapsto\mathbf T\cdot\vec c}

aufgefasst werden. Der Tensorproduktraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1} kann also mit dem Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)} der linearen Abbildungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_2} identifiziert werden. Dies wird im Folgenden getan.

Für das dyadische Produkt gelten die folgenden Rechenregeln. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb V_1} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb V_2} , und $\mathbb {V} _{3}$ , seien euklidische Vektorräume. Dann gilt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\in\mathbb{V}_2, \ \vec{b},\vec{c}\in\mathbb{V}_1, \ \vec{d}\in\mathbb{V}_3,\mathbf{T}\in \mathcal{L}(\mathbb{V}_2,\mathbb{V}_3) } :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l} (\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d}) =(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}\otimes\vec{d} \\ (\mathbf{T}\cdot\vec{a})\otimes\vec{b} =\mathbf{T}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{b}) \\ \vec{b}\otimes(\mathbf{T}\cdot\vec{a})= (\vec{b}\otimes\vec{a})\cdot\mathbf{T}^\top \\ \vec{d}\cdot(\mathbf{T}\cdot\vec{a}) =(\mathbf{T}^\top\cdot\vec{d})\cdot\vec{a}\end{array} } .

Zu beachten ist hier, dass die Skalarprodukte „·“ in den Gleichungen aus den verschiedenen Vektorräumen stammen, was sich durch einen Index verdeutlicht beispielsweise wie folgt schreibt: ${\vec {d}}\cdot _{3}(\mathbf {T} \cdot _{2}{\vec {a}})=(\mathbf {T} ^{\top }\cdot _{3}{\vec {d}})\cdot _{2}{\vec {a}}$ .

Das Skalarprodukt zweier Tensoren aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)} kann mit Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a},\vec{c}\in\mathbb{V}_2,\vec{b},\vec{d}\in\mathbb{V}_1} definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d}) =\mathrm{Spur}\left( (\vec{a}\otimes\vec{b})^\top\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d})\right) =(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})}

Damit baut Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)} einen euklidischen Vektorraum auf, dessen Elemente Tensoren zweiter Stufe sind. Mit einer Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\vec{a}_i\}} von $\mathbb {V} _{2}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\vec{b}_j\}} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)} eine Basis $\lbrace {\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\rbrace$ bezüglich der jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} T^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j,}

worin $n$ die Dimension von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Dimension von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_1} ist. Der Tensor ist von den verwendeten Basen unabhängig. Bei einem Basiswechsel ändern sich daher die Komponenten $T^{ij}$ auf charakteristische Weise. Von Bedeutung sind Invarianten, die bei solchen Basiswechseln ihren Wert nicht ändern, siehe z. B. Hauptinvariante.

Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^{ij}} können in einer Matrix angeordnet werden, wobei dann die verwendete Basis in Erinnerung behalten werden muss. Gelegentlich wird z. B.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j =\left(\begin{array}{ccc} T^{11} & T^{12} & T^{13}\\ T^{21} & T^{22} & T^{23}\\ T^{31} & T^{32} & T^{33}\end{array}\right)_{\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j} }

geschrieben. Ist der Definitionsbereich mit dem Bildbereich identisch, kann bei Verwendung der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\vec{e}_i\}} der Verweis auf die verwendete Basis weggelassen werden und der Tensor geht in seine Matrixrepräsentation über, z. B.:

\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T^{ij}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}=\left({\begin{array}{ccc}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{array}}\right)

.

In Koordinatendarstellung ist das oben als Matrix definierte dyadische Produkt zweier Spaltenvektoren gerade diese Abbildungsmatrix des Tensors.

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. Auflage. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-03217-0.
Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre Anwendungen. 7. Auflage. Springer, 1997, ISBN 3-540-61436-2.
Hans Karl Iben: Tensorrechnung. 2. Auflage. Teubner, 1999, ISBN 3-519-00246-9.
H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer Verlag, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66114-X.

Einzelnachweise

↑ Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 2463.
↑ Ivan Markovsky: Low Rank Approximation. Algorithms, Implementation, Applications. Springer, 2011, ISBN 978-1-4471-2227-2.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Vector Direct Product. In: MathWorld (englisch).
pahio: Dyad Product. In: PlanetMath. (englisch)

[1] Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 2463.

[2] Ivan Markovsky: Low Rank Approximation. Algorithms, Implementation, Applications. Springer, 2011, ISBN 978-1-4471-2227-2.

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