Einsmatrix

Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, deren Elemente alle gleich der Zahl Eins (beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix, die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht, wird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element. Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor dürfen nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor verwechselt werden.

Definition

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ein Ring mit Einselement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} , dann ist die Einsmatrix Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 1\!\!1_{mn}\in R^{m\times n}} definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_{mn} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}} .

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_n} bezeichnet. Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1} geschrieben. In Anlehnung an Einheitsmatrizen, die häufig mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J} notiert.

Beispiele

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} die Zahl Eins, so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Nullring, dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, 1\!\!1_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, 1\!\!1_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

Hinweis: Im Nullring fallen die Begriffe Nullmatrix und Einsmatrix zusammen. Tatsächlich ist sogar jede Matrix über dem Nullring eine Einsmatrix (und eine Nullmatrix).

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 1\!\!1_{mn}=1\!\!1_{m}\otimes 1\!\!1_{n}=1\!\!1_{m}\cdot (1\!\!1_{n})^{T}} .

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1\!\!1_{mn})^T = 1\!\!1_{nm}} .

Die Einsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_{mn}} ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (R^{m \times n}, +, \circ)} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A + B} die Matrizenaddition und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \circ B} das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in R^{m \times n}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \circ 1\!\!1_{mn} = 1\!\!1_{mn} \circ A = A} .

Rang, Determinante, Spur

Ist nun $R$ ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {rang} (1\!\!1_{mn})=1} .

Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det(1\!\!1_{nn}) = \begin{cases} 0 & \text{falls}~n>1, \\ 1 & \text{falls}~n=1. \end{cases}}

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {spur} (1\!\!1_{nn})=n} .

Eigenwerte

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_{nn}} ergibt sich als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda-n)} .

Die Eigenwerte sind entsprechend

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1 = n}   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0} .

Zugehörige Eigenvektoren sind

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (1,\ldots ,1)^{T}}   und   $(1,-1,0,\ldots ,0)^{T},\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)^{T}$.

Produkte

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\!\!1_{mn} \cdot 1\!\!1_{no} = n \cdot 1\!\!1_{mo}} .

Damit berechnet sich die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \geq 1} als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1\!\!1_{nn})^k = n^{k-1} 1\!\!1_{nn}} .

Daher ist die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn}} idempotent, das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn} \cdot \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn} = \tfrac{1}{n}1\!\!1_{nn}} .

Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp(1\!\!1_{nn}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(1\!\!1_{nn})^k}{k!} = I_n + \sum_{k=1}^\infty \frac{n^{k-1}}{k!} \cdot 1\!\!1_{nn} = I_n + \frac{e^n-1}{n} \cdot 1\!\!1_{nn}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_n} die Einheitsmatrix der Größe $n$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} die Eulersche Zahl sind.

Programmierung

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einsmatrix durch die Funktion ones(m,n) erzeugt.

Literatur

• Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Unit Matrix. In: MathWorld (englisch).