Standardskalarprodukt

Das reelle Standardskalarprodukt kann als Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden.

Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^n} . Mit Hilfe des Standardskalarprodukts lassen sich Begriffe wie Winkel und Orthogonalität vom zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Wie jedes Skalarprodukt ist das Standardskalarprodukt eine positiv definite symmetrische Bilinearform (im komplexen Fall hermitesche Sesquilinearform) und invariant unter orthogonalen bzw. unitären Transformationen. Die vom Standardskalarprodukt abgeleitete Norm ist die euklidische Norm, mit deren Hilfe sich dann Begriffe wie Länge und Abstand in höherdimensionalen Vektorräumen definieren lassen.

Reelles Standardskalarprodukt

Definition

Das Standardskalarprodukt zweier reeller Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x, y \in \R^n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n)^T} und $y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n})^{T}$ ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle := x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dotsb + x_n y_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^Ty} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^T} den transponierten Vektor zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} bezeichnet und das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Das reelle Standardskalarprodukt berechnet sich also durch Multiplikation der jeweils entsprechenden Vektorkomponenten und durch Summation über alle diese Produkte. Alternativ wird das Standardskalarprodukt statt über spitze Klammern auch durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \cdot y} oder $x\circ y$ notiert.

Beispiel

Das Standardskalarprodukt der beiden reellen Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(1, 2, {-}3)^T} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=(5, {-}4, 1)^T} im dreidimensionalen Raum ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle = 1 \cdot 5 + 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot 1 = 5-8-3 = {-}6} .

Skalarprodukt-Axiome

Das reelle Standardskalarprodukt erfüllt auf natürliche Weise die Axiome eines reellen Skalarprodukts. Es ist bilinear, das heißt linear sowohl im ersten Argument, da

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =(\lambda x_{1})y_{1}+\dotsb +(\lambda x_{n})y_{n}=\lambda (x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})=\lambda \langle x,y\rangle }   und

$\langle x+y,z\rangle =(x_{1}+y_{1})z_{1}+\dotsb +(x_{n}+y_{n})z_{n}=(x_{1}z_{1}+\dotsb +x_{n}z_{n})+(y_{1}z_{1}+\dotsb +y_{n}z_{n})=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$,

als auch im zweiten Argument, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, \lambda y \rangle = x_1(\lambda y_1) + \dotsb + x_n(\lambda y_n) = \lambda(x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n) = \lambda \langle x,y \rangle}   und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,y+z \rangle = x_1(y_1+z_1) + \dotsb + x_n(y_n+z_n) = (x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n) + (x_1z_1 + \dotsb + x_nz_n) = \langle x,y \rangle + \langle x,z \rangle} .

Weiter ist es symmetrisch, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,y \rangle = x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n = y_1x_1 + \dotsb + y_nx_n = \langle y,x \rangle} ,

und positiv definit aufgrund von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,x \rangle = x_1^2 + \dotsb + x_n^2 \geq 0} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x_1^2 + \dotsb + x_n^2 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 = \dotsb = x_n^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0} .

Komplexes Standardskalarprodukt

Definition

Das Standardskalarprodukt zweier komplexer Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x, y \in \Complex^n} kann auf zwei Weisen definiert werden, entweder durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle := \bar x_1 y_1 + \bar x_2 y_2 + \dotsb + \bar x_n y_n = \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i = x^Hy}

oder durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle := x_1 \bar y_1 + x_2 \bar y_2 + \dotsb + x_n \bar y_n = \sum_{i=1}^n x_i \bar y_i = y^Hx} .

Hierbei bezeichnet der Überstrich die komplexe Konjugation und $x^{H}$ den adjungierten Vektor zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} . Das komplexe Standardskalarprodukt berechnet sich durch Multiplikation der entsprechenden Vektorkomponenten, wobei immer eine der beiden Komponenten konjugiert wird, und durch Summation über alle diese Produkte. In beiden Varianten ist das Ergebnis eine komplexe Zahl und aufgrund von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^Hy = (y^Hx)^H} unterscheiden sich diese beiden Zahlen nur bezüglich komplexer Konjugation.

Beispiel

Das Standardskalarprodukt der beiden Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(i, 2-i)^T} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=(i-1, 2)^T} im zweidimensionalen komplexen Raum ist in der ersten Variante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle = \bar i \cdot (i-1) + \overline{(2-i)} \cdot 2 = - i \cdot (i-1) + (2+i) \cdot 2 = (1+i) + (4+2i) = 5+3i}

und in der zweiten Variante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle = i \cdot \overline{(i-1)} + (2-i) \cdot \bar 2 = i \cdot (-i-1) + (2-i) \cdot 2 = (1-i) + (4-2i) = 5-3i} .

Beide Varianten führen also bis auf komplexe Konjugation zum gleichen Ergebnis.

Skalarprodukt-Axiome

Die folgenden Axiome eines komplexen Skalarprodukts werden für die erste Variante aufgeführt, für die zweite Variante gelten sie analog durch Vertauschen der Konjugation. Das komplexe Standardskalarprodukt ist sesquilinear, das heißt semilinear im ersten Argument, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \lambda x, y \rangle = (\lambda x)^Hy = \bar\lambda (x^Hy) = \bar\lambda \langle x,y \rangle}   und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x+y,z \rangle = (x+y)^Hz = x^Hz + y^Hz = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle} ,

sowie linear im zweiten Argument, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, \lambda y \rangle = x^H (\lambda y) = \lambda (x^H y) = \lambda \langle x,y\rangle}   und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,y+z \rangle = x^H(y+z) = x^Hy + x^Hz = \langle x,y \rangle + \langle x,z \rangle} .

Weiter ist es hermitesch, da

$\langle x,y\rangle =x^{H}y=(y^{H}x)^{H}={\overline {\langle y,x\rangle }}$,

und positiv definit aufgrund von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,x \rangle = x^Hx = | x_1 |^2 + \dotsb + | x_n |^2 \geq 0} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,x\rangle=0 \Leftrightarrow x^Hx = 0 \Leftrightarrow | x_1 |^2 + \dotsb + | x_n |^2 = 0 \Leftrightarrow | x_1 |^2 = \dotsb = | x_n |^2 = 0 \Leftrightarrow x_1 = \dotsb = x_n = 0 \Leftrightarrow x = 0} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | \cdot |} der Betrag einer komplexen Zahl ist. In der zweiten Variante ist das Standardskalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument. Aus dem komplexen Fall erhält man den reellen Fall durch Weglassen der Konjugation und der Beträge sowie durch Ersetzen der Adjungierung durch die Transposition.

Eigenschaften

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

→ Hauptartikel: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Das Standardskalarprodukt erfüllt wie jedes Skalarprodukt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, das heißt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x,y \in {\mathbb K}^n} mit ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathbb K}=\Complex} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle} .

Im reellen Fall können dabei die Betragsstriche auf der linken Seite weggelassen werden. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen der linearen Algebra und der Analysis. Beispielsweise folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass das Standardskalarprodukt eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \cdot , \cdot \rangle \colon {\mathbb K^n} \times {\mathbb K^n} \rightarrow {\mathbb K}} ist.

Verschiebungseigenschaft

Das Standardskalarprodukt besitzt folgende Verschiebungseigenschaft für alle Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \R^{m \times n}} und alle Vektoren $x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{m}$:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle A x,y \rangle = (A x)^T y = x^T A^T y = x^T (A^T y) = \langle x,A^T y \rangle} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^T} die transponierte Matrix von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist. Analog dazu gilt für das komplexe Standardskalarprodukt für alle Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \Complex^{m \times n}} und alle Vektoren $x\in \mathbb {C} ^{n},y\in \mathbb {C} ^{m}$

$\langle Ax,y\rangle =(Ax)^{H}y=x^{H}A^{H}y=x^{H}(A^{H}y)=\langle x,A^{H}y\rangle$,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^H} die adjungierte Matrix von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist.

Unitäre Invarianz

Das reelle Standardskalarprodukt ändert sich unter orthogonalen Transformationen nicht, das heißt für eine orthogonale Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in {\mathbb R}^{n \times n}} gilt mit der Verschiebungseigenschaft

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle A x, A y \rangle = \langle x, A^T A y \rangle = \langle x, A^{-1} A y \rangle = \langle x, I y \rangle = \langle x, y \rangle} ,

wobei $A^{-1}$ die inverse Matrix und $I$ die Einheitsmatrix der Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} ist. Solche Transformationen sind typischerweise Drehungen um den Nullpunkt oder Spiegelungen an einer Ebene durch den Nullpunkt. Analog dazu ist das komplexe Standardskalarprodukt invariant unter unitären Transformationen, das heißt für eine unitäre Matrix $A\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ gilt entsprechend

$\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{H}Ay\rangle =\langle x,A^{-1}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$.

Abgeleitete Begriffe

Winkel

Über das reelle Standardskalarprodukt wird der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $x,y\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}$ durch

$\cos(\varphi )={\frac {\langle x,y\rangle }{{\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,{\sqrt {\langle y,y\rangle }}}}={\frac {x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}}\,{\sqrt {y_{1}^{2}+\dotsb +y_{n}^{2}}}}}$

definiert. Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist der Nenner dieses Bruchs mindestens so groß wie der Betrag des Zählers und somit liegt der Winkel $\varphi$ im Intervall $[0,\pi ]$, also zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0^\circ} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 180^\circ} . Sind die beiden Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und $y$ Einheitsvektoren, dann entspricht der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels gerade ihrem Standardskalarprodukt. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.

Orthogonalität

→ Hauptartikel: Orthogonalität

Sowohl im reellen, als auch im komplexen Fall werden zwei Vektoren orthogonal (rechtwinklig) genannt, wenn ihr Standardskalarprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle = 0}

ist. Dies entspricht im reellen Fall dann gerade einem rechten Winkel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi = \arccos 0 = \tfrac{\pi}{2} = 90^\circ} zwischen den beiden Vektoren, sofern diese ungleich dem Nullvektor sind.

Betrachtet man eine Ursprungsgerade, Ursprungsebene oder allgemein einen $k$-dimensionalen Untervektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} des $n$-dimensionalen reellen oder komplexen Raums und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{ u_1, \dotsc, u_k \}} eine Orthonormalbasis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \langle x,u_1 \rangle u_1 + \dotsb + \langle x,u_k \rangle u_k \in U}

die Orthogonalprojektion eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} des Ausgangsraums auf diesen Unterraum. Dabei liegt der Differenzvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-y} im orthogonalen Komplement von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , er steht also senkrecht auf allen Vektoren des Unterraums, das heißt, es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x-y, u \rangle = 0} für alle Vektoren $u\in U$.

Norm

→ Hauptartikel: Euklidische Norm

Die von dem Standardskalarprodukt abgeleitete (induzierte) Norm eines reellen oder komplexen Vektors

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}$

heißt euklidische Norm. Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weggelassen werden. Mit der euklidischen Norm kann die Länge eines Vektors bestimmt werden.

Metrik

→ Hauptartikel: Euklidischer Abstand

Von der euklidischen Norm wird wiederum der euklidische Abstand zweier Vektoren

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}={\sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+\dotsb +|x_{n}-y_{n}|^{2}}}}

abgeleitet. Auch hier können im reellen Fall die Betragsstriche weggelassen werden. Mit diesem Abstandsbegriff erhält man eine Metrik und von dieser Metrik eine Topologie, die Standardtopologie auf dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} bzw. $\mathbb {C} ^{n}$.

Verallgemeinerungen

Endlichdimensionale Vektorräume

Die bisherigen Überlegungen lassen sich von den Standardräumen $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^n} auch auf allgemeine reelle oder komplexe Vektorräume $V$ endlicher Dimension $n$ übertragen. Ist $\{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}$ eine Orthonormalbasis von $V$ bezüglich eines (beliebigen) Skalarprodukts $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, dann hat jeder Vektor $v\in V$ die Komponentendarstellung

$v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i}$ mit   Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle v_{i}=\langle v,e_{i}\rangle } für $i=1,\dotsc ,n$,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_i e_i} die Komponenten des Vektors zu dieser Basis und die Faktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_i \in {\mathbb K}} die Koordinaten des Vektors sind. Die Koordinaten sind dabei die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die jeweiligen Basisvektoren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v,w \in V} kann dann über das Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren durch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \langle v,w\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}w_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}_{i}w_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\bar {v}}_{i}w_{i}}

berechnet werden, wobei entsprechende Darstellungen auch in der anderen komplexen Variante und im reellen Fall gelten. Interpretiert man reelle oder komplexe Matrizen als entsprechend lange (Spalten-)Vektoren, dann entspricht das Standardskalarprodukt solcher Vektoren gerade dem Frobenius-Skalarprodukt der zugehörigen Matrizen.

Folgenräume

Das Standardskalarprodukt kann auch auf Folgen und damit auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinert werden. Allerdings muss dabei der zugrundeliegende Folgenraum eingeschränkt werden, damit das Skalarprodukt endlich bleibt. Hierzu betrachtet man den Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell^2} der reell- oder komplexwertigen Folgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_i)_{i \in \N} = (a_1, a_2, \dotsc) \in {\mathbb K}^{\N}} , für die

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty | a_i |^2 < \infty}

gilt. Das $\ell ^{2}$-Skalarprodukt zweier solcher quadratisch summierbarer Folgen $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} },(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2}$ ist dann durch

$\left\langle (a_{i}),(b_{i})\right\rangle _{\ell ^{2}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\bar {a}}_{i}b_{i}$

definiert. Allgemeiner kann man auch statt der natürlichen Zahlen eine beliebige Indexmenge $I$ wählen und betrachtet dann den Raum $\ell ^{2}(I)$ der quadratisch in $I$ summierbaren Folgen mit dem Skalarprodukt

$\left\langle (a_{i}),(b_{i})\right\rangle _{\ell ^{2}(I)}=\sum _{i\in I}{\bar {a}}_{i}b_{i}$.

In beiden Fällen erhält man wiederum durch Weglassen der Konjugation den reellen Fall und durch Verlagerung der Konjugation auf die zweite Komponente die andere komplexe Variante.

Siehe auch

• Umordnungs-Ungleichung

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2761-8. 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-62741-9, doi:10.1007/978-3-662-62742-6. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dot Product. In: MathWorld (englisch).
• Pedro Sanchez, Juhani Pahikkala: Dot product. In: PlanetMath. (englisch)