Hermitesche Sesquilinearform

Als Hermitesches Produkt, Hermitesche Sesquilinearform oder einfach Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ein Vektorraum über dem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb C} . Eine Hermitesche Sesquilinearform ist eine Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \,,\,\rangle\colon V \times V \to \mathbb C } ,

die für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x,y,z} aus $V$ und für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb C} die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\langle x,\,a \cdot y+z \rangle = a \langle x, y \rangle+\langle x, z \rangle} (linear in einem Argument);
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\langle a\cdot x + y, z \rangle = \overline{a}\langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle} (semilinear im anderen Argument);
3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}} (Hermitesche Symmetrie).

Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{x}} komplexe Konjugation.

Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.

Mit der Eigenschaft (3) folgt bereits (1) aus (2) und (2) aus (1). Der Übersichtlichkeit halber werden hier aber sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt.

Eine Hermitesche Sesquilinearform ist eine Sesquilinearform, für die zusätzlich die dritte Eigenschaft gilt.

Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$; über dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist jede Hermitesche Sesquilinearform eine symmetrische Bilinearform. Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Sesquilinearform. Analog dazu bezeichnet man auch eine Sesquilinearform auf einem beliebigen Modul als hermitesch, wenn $\langle x,y\rangle =\sigma (\langle y,x\rangle )$ für einen beliebigen involutiven Antiautomorphismus $\sigma$ auf dem dem Modul zugrundeliegenden Ring gilt. Liegt $\varepsilon$ im Zentrum des Ringes, so heißt die Sesquilinearform genau dann $\varepsilon$-hermitesch, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x,y \rangle = \varepsilon \sigma(\langle y,x \rangle)} gilt.

Polarisierung

Für hermitesche Sesquilinearformen gilt eine Polarisierungsformel. Deren Konsequenz ist insbesondere, dass eine solche Form bereits durch ihre Werte auf der Diagonalen bestimmt ist.

Hermitesche Standardform

Die durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, \dotsc, x_n),(y_1, y_2, \dotsc, y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +\dotsb +\bar x_n y_n =\sum_{k=1}^{n}\bar x_k y_k}

definierte Abbildung heißt Hermitesche Standardform.

Siehe auch

• Hermitesche Matrix

Literatur

• V. L. Popov: Hermitian form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).