In der Mathematik ist die Umordnungs-Ungleichung eine Aussage über die Veränderung des Wertes von formalen Skalarprodukten durch Umordnung.
Gegeben seien zwei n-Tupel reeller Zahlen 
und 
mit
.
Das Tupel
sei eine Permutation des Tupels 
. Fasst man nun die n-Tupel als Vektoren auf und betrachtet deren Standardskalarprodukt, so besagt die Umordnungs-Ungleichung, dass
Das Skalarprodukt ist also maximal, wenn die Elemente der n-Tupel gleich geordnet sind, und minimal, wenn sie entgegengesetzt geordnet sind.
Man beachte, dass im Gegensatz zu vielen anderen Ungleichungen keine Voraussetzungen für die Vorzeichen von 
und 
notwendig sind.
Beweise
Beweis mittels Vertauschungen
Die Beweisidee besteht darin, das kleinste 
, das 
erfüllt, und jenes 
mit 
zu betrachten. Dann sind also 
und 
, daher gilt 
und 
, also
und daher
Solange also ein mit existiert, lässt sich die Summe für gleich geordnete Tupel vergrößern.
Analog zeigt man, dass sich die Summe für entgegengesetzt geordnete Tupel verkleinern lässt, solange ein mit existiert.
Beweis mit Induktion
Dieser Beweis lässt sich ausführlicher auch mit vollständiger Induktion führen. Für den Induktionsanfang 
gibt es nur zwei Permutationen, es ist also zu zeigen, dass
Das ist aber äquivalent zu
also zur Voraussetzung, dass beide Tupel gleich geordnet sind.
Im Induktionsschritt sei nun der Index mit 
Der Fall 
ist einfach zu behandeln, sei also 
Dann gilt
Nun wendet man den im Induktionsanfang bewiesenen Fall an und erhält
Definiert man nun für 
die Permutation
so ergibt sich aus der Induktionsvoraussetzung
also genau die Behauptung für das Maximum des Skalarprodukts.
Der Beweis für das Minimum des Skalarprodukts ist analog.
Anwendungen
Viele bekannte Ungleichungen lassen sich aus der Umordnungs-Ungleichung beweisen, beispielsweise die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und die Tschebyschow-Summenungleichung.
Literatur
