Hauptinvariante

Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms.

Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise, nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name.

Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie.

Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei ein Tensor zweiter Stufe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} . Dann lautet sein charakteristisches Polynom:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(\lambda ):=\mathrm{det}(\mathbf{T}-\lambda\mathbf{1}) =-\lambda^3+\mathrm{I}_1\lambda^2-\mathrm{I}_2\lambda+\mathrm{I}_3 } .

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}} die Determinante, 1 der Einheitstensor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} eine reelle oder komplexe Zahl und die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{I}_{1,2,3}} sind die drei Hauptinvarianten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_1:=&\mathrm{Sp}(\mathbf{T}) \\ \mathrm{I}_2:=& \frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\mathbf{T})}^2 -\mathrm{Sp}(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T})] =\mathrm{Sp(adj}(\mathbf{T})) =\mathrm{Sp(cof}(\mathbf{T})) \\ \mathrm{I}_3:=&\mathrm{det}(\mathbf{T}) \end{align}}

Der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}} liefert die Spur seines Arguments, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{adj}(\mathbf{T})} ist die Adjunkte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{cof}(\mathbf{T})} der Kofaktor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{adj}(\mathbf{T}) :=\mathrm{cof}(\mathbf{T})^\top :=\mathbf{T\cdot T}-\mathrm{I}_1\mathbf{T}+\mathrm{I}_2\mathbf{1} =\mathrm{det}(\mathbf{T})\mathbf{T}^{-1} }

wobei letztere Identität nur gilt, wenn der Tensor invertierbar ist und mithin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{T})\ne 0} ist.

Berechnung der Hauptinvarianten

Für Tensoren zweiter Stufe ist die Addition und Multiplikation mit einem Skalar definiert, weshalb die Menge aller Tensoren zweiter Stufe einen Vektorraum bildet, der Vektorraumbasen besitzt, die aus Dyaden bestehen, die sich wiederum mit dem dyadischen Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} zweier Vektoren berechnen. Sei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {V} ^{3}} der Vektorraum der geometrischen Vektoren. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{Lin}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)} der Vektorraum der Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} abbilden. Bezüglich einer Vektorraumbasis des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{Lin}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)} kann jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden und aus diesen Komponenten können die Hauptinvarianten berechnet werden, die ja unabhängig von der Wahl der Basis sind.

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich der Standardbasis

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_{1,2,3}} die Standardbasis des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{j} =\begin{pmatrix} T_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33} \end{pmatrix} }

ein Tensor mit den Komponenten $T_{ij}$ bezüglich dieser Standardbasis. Dann berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_1(\mathbf{T})=&T_{11}+T_{22}+T_{33} \\ \mathrm{I}_2(\mathbf{T}) =&T_{11}T_{22}+T_{11}T_{33}+T_{22}T_{33}-T_{12}T_{21}-T_{13}T_{31}-T_{23}T_{32} \\ \mathrm{I}_3(\mathbf{T}) =&T_{11}(T_{22}T_{33}-T_{23}T_{32})+T_{12}(T_{23}T_{31}-T_{21}T_{33}) \\& +T_{13}(T_{21}T_{32}-T_{22}T_{31}) \end{align}}

Hauptinvarianten in Komponenten bezüglich einer allgemeinen Basis

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_{1,2,3}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}_{1,2,3}} zwei beliebige Basissysteme des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i,j=1}^3T^{ij}\vec{a}_{i}\otimes\vec{b}_{j} =\begin{pmatrix} T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{31}& T^{32}& T^{33} \end{pmatrix}_{\vec{a}_{i}\otimes\vec{b}_{j}} }

ein Tensor mit den Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^{ij}} bezüglich dieser Basen. Dann berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{I}_1(\mathbf{T}) =\sum_{i,j=1}^3T^{ij}\vec{a}_{i}\cdot\vec{b}_{j}}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )={\frac {1}{2}}\sum _{i,j,k,l=1}^{3}T^{ij}T^{kl}[({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{l})-({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{l})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{j})]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{I}_3(\mathbf{T}) = \begin{vmatrix} T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{31}& T^{32}& T^{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec{a}_1&\vec{a}_2&\vec{a}_3\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\vec{b}_1&\vec{b}_2&\vec{b}_3\end{vmatrix} }

wo die letzten beiden Determinanten den Spatprodukten der Basisvektoren entsprechen.

Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt

Das äußere Tensorprodukt # ist mittels Dyaden definiert über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}\otimes\vec{g})\# (\vec{b}\otimes\vec{h}) :=(\vec{a}\times\vec{b})\otimes (\vec{g}\times\vec{h})}

Mit diesem und dem Frobenius-Skalarprodukt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle :} “ von Tensoren bekommen die drei Hauptinvarianten die Darstellungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_1(\mathbf{T}) &= \frac{1}{2}(\mathbf{T}\#\mathbf{1}):\mathbf{1}\;,\\ \mathrm{I}_2(\mathbf{T}) &= \frac{1}{2}(\mathbf{T}\#\mathbf{T}):\mathbf{1}\;,\\ \mathrm{I}_3(\mathbf{T}) &= \frac{1}{6}(\mathbf{T}\#\mathbf{T}):\mathbf{T}\;. \end{align} }

Zusammenhang mit anderen Invarianten

Eigenwerte

Die Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1,2,3}} eines Tensors zweiter Stufe sind die Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(\lambda )=0} seines charakteristischen Polynoms und ebenfalls Invarianten. Nach dem Satz von Vieta gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_1=&\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \\ \mathrm{I}_2 =& \lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1 \\ \mathrm{I}_3=&\lambda_1\lambda_2\lambda_3 \end{align}} .

Betrag eines Tensors

Der Betrag eines Tensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\|\mathbf{T}\right\| :=\sqrt{\mathbf{T}:\mathbf{T}} :=\sqrt{\mathrm{Sp}(\mathbf{T}^\top\cdot\mathbf{T})}} ,

definiert mit der Frobeniusnorm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\| (\cdot )\right\|} und dem Frobenius-Skalarprodukt „:“, lässt sich im Allgemeinen nicht mit den drei Hauptinvarianten darstellen. Es gelingt aber bei symmetrischen oder schiefsymmetrischen Tensoren.

Bei symmetrischen Tensoren ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\mathbf{T}^\top} , d. h. der Tensor ist mit seiner transponierten identisch, und daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_2 &= \frac{1}{2}\left[\mathrm{Sp}{(\mathbf{T})}^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T})\right] =\frac{1}{2}\left[\mathrm{I}_1^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{T}^\top\cdot\mathbf{T})\right] =\frac{1}{2}\left[\mathrm{I}_1^2- {\left\|\mathbf{T}\right\| }^2\right] \\ \Rightarrow\quad\left\|\mathbf{T}\right\| &= \sqrt{\mathrm{I}_1^2-2\,\mathrm{I}_2}\;. \end{align} }

Bei schiefsymmetrischen Tensoren ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbf {T} =-\mathbf {T} ^{\top }} und daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{T})=0} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_2 &= \frac{1}{2}\left[\mathrm{Sp}{(\mathbf{T})}^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{T}\cdot\mathbf{T})\right] =\frac{1}{2}\mathrm{Sp}(\mathbf{T}^\top\cdot\mathbf{T}) =\frac{1}{2}{\left\|\mathbf{T}\right\| }^2 \\ \Rightarrow\quad\left\|\mathbf{T}\right\| &=\sqrt{2\,\mathrm{I}_2}\;. \end{align} }

Spuren der Potenzen eines Tensors

Die drei Hauptinvarianten lassen sich auch mit den Spuren der Potenzen eines Tensors darstellen, die ebenfalls Invarianten sind. Sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{J}_{n}:=\mathrm{Sp}(\mathbf{T}^{n}) :=\mathrm{Sp}(\underbrace{\mathbf{T}\cdot\mathbf{T}\cdot\ldots\cdot\mathbf{T}}_{n\text{-mal}}), \quad n=1,2,3,\ldots\;, }

dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{I}_1&= {\mathrm{J}}_1\;, \\ \mathrm{I}_2&=\frac{1}{2}({\mathrm{J}}_1^2- {\mathrm{J}}_2)\;, \\ \mathrm{I}_3&=\frac{1}{6}(2{\mathrm{J}}_3+ {\mathrm{J}}_1^3- 3{\mathrm{J}}_1{\mathrm{J}}_2) = \frac{1}{3}(\mathrm{J}_3+ 3\mathrm{I}_1\mathrm{I}_2-\mathrm{I}_1^3)\;. \end{align} }

Ableitungen der Hauptinvarianten

In der Hyperelastizität wird die Formänderungsenergie, die aufgebracht werden muss, um einen Körper zu verformen, manchmal als Funktion der Hauptinvarianten des Verzerrungstensors modelliert. Die Spannungen ergeben sich dann aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach dem Verzerrungstensor, wofür die Ableitungen der Hauptinvarianten nach dem Verzerrungstensor benötigt werden. Daher lohnt es sich, diese Ableitungen bereitzustellen.

Die Ableitung einer skalarwertigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\mathbf{T})} nach dem Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} ist der Tensor $\mathbf {A}$, für den gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}:\mathbf{H} =\left.\frac{\mathrm{d}f(\mathbf{T}+s\mathbf{H})}{\mathrm{d}s}\right|_{s=0} \quad} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{H}\in\operatorname{Lin}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)} .

Man schreibt dann auch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=\mathbf {A} } .

So berechnen sich

$\left.{\frac {\mathrm {d} \operatorname {I} _{1}(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}=\operatorname {I} _{1}(\mathbf {H} )=\mathbf {1} :\mathbf {H}$, daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\operatorname{I}_1(\mathbf{T})}{\mathrm{d}\mathbf{T}}=\mathbf{1}} ,

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}\operatorname{I}_2(\mathbf{T}+s\mathbf{H})}{\mathrm{d}s} \right|_{s=0} &= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \frac{1}{2}[\operatorname{I}_1(\mathbf{T}+s\mathbf{H})^2 -\mathrm{I}_1((\mathbf{T}+s\mathbf{H})^2)]\right|_{s=0} \\ &= \left.\frac{1}{2}[2\operatorname{I}_1(\mathbf{T}+s\mathbf{H}) \operatorname{I}_1(\mathbf{H}) -2\operatorname{I}_1((\mathbf{T}+s\mathbf{H})\cdot\mathbf{H})]\right|_{s=0} \\ &= \operatorname{I}_1(\mathbf{T})\operatorname{I}_1(\mathbf{H}) -\operatorname{I}_1(\mathbf{T}\cdot\mathbf{H}), \\ \text{daher }\frac{\mathrm{d}\operatorname{I}_2(\mathbf{T})}{\mathrm{d}\mathbf{T}} &= \operatorname{I}_1(\mathbf{T})\mathbf{1}-\mathbf{T}^\top. \end{align}}

Mit dem charakteristischen Polynom und dem Determinantenproduktsatz zeigt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{det}(\mathbf{T}+s\mathbf{H}) &= \mathrm{det}\left(s\mathbf{T}\cdot\left( \frac{1}{s}\mathbf{1}+\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}\right)\right) =\operatorname{det}(\mathbf{T}) s^3 \operatorname{det}\left(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H} +\frac{1}{s}\mathbf{1}\right) \\ &= \operatorname{det}(\mathbf{T})s^3\left(\frac{1}{s^3}+\frac{1}{s^2} \operatorname{I}_1(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}) +\frac{1}{s}\operatorname{I}_2(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}) +\operatorname{I}_3(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H})\right) \\ &= \operatorname{det}(\mathbf{T})[1+s\operatorname{I}_1(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}) +s^2\operatorname{I}_2(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}) +s^3\operatorname{I}_3(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H})]. \end{align}}

Daraus berechnet sich die Ableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\operatorname{det}(\mathbf{T}+s\mathbf{H})\right|_{s=0} &= \operatorname{det}(\mathbf{T})\operatorname{I}_1(\mathbf{T}^{-1}\cdot\mathbf{H}), \\ \text{daher }\frac{\mathrm{d}\operatorname{I}_3(\mathbf{T})}{\mathrm{d}\mathbf{T}} &= \operatorname{det}(\mathbf{T})\mathbf{T}^{\top-1}. \end{align}}

Diese Ableitung existiert nur, wenn T invertierbar ist, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det(\mathbf T)\neq 0} .

Anwendungen

Die folgenden Beispiele zeigen die Benutzung der Hauptinvarianten in Materialtheorien und oft benutzten Materialmodellen:

1. Hookesches Gesetz: Der Spannungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}} berechnet sich aus dem Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}} gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}=2G\left(\boldsymbol{\varepsilon}+\frac{\nu}{1-2\nu}{\color{red}\mathrm{I}_1(\boldsymbol{\varepsilon})}\mathbf{1}\right)} . Darin ist $G$ der Schubmodul und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu} die Querkontraktionszahl.
2. Hyperelastizität: Die Formänderungsenergiedichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi} im Neo-Hooke Modell ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi=\mu ({\color{red}\mathrm{I}_1(\mathbf{b})}-3)} . Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} ein Materialparameter und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{b}} der linke Cauchy-Green Tensor.
3. Plastizitätstheorie, Festigkeitslehre: Die v. Mises Vergleichsspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}_{v} =\sqrt{-3{\color{red}\mathrm{I}_2(\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}})}}} ist eine Funktion der zweiten Hauptinvariante des Spannungsdeviators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}:=\boldsymbol{\sigma}-\frac{{\color{red}\mathrm{I}_1(\boldsymbol{\sigma})}}{3}\mathbf{1}} .
4. Inkompressibilität: Hier ist die dritte Hauptinvariante des Deformationsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}} an jedem materiellen Punkt konstant: ${\color {red}\mathrm {I} _{3}(\mathbf {F} )}\equiv 1$.

Beispiel

Es wird der Nachweis der Invarianz der Spur eines Tensors erbracht. Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_{1,2,3}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}_{1,2,3}} zwei beliebige Basissysteme des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\vec{a}_{i}\otimes\vec{b}_{j} \rightarrow \mathrm{Sp}(\mathbf{T}) =\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\vec{a}_{i}\cdot\vec{b}_{j}} .

Beim Wechsel zu anderen Basen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{c}_{1,2,3}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{d}_{1,2,3}} mit dualen Basen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{c}^{1,2,3}} und ${\vec {d}}^{1,2,3}$ berechnen sich die neuen Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{ij}^{\mathrm*}} gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{T} =& \sum_{i,j=1}^3T_{ij}\vec{a}_{i}\otimes\vec{b}_{j} =\sum_{i,j,k,l=1}^3 T_{ij}(\vec{a}_{i}\cdot\vec{c}^{k})\vec{c}_{k}\otimes (\vec{b}_{j}\cdot\vec{d}^{l})\vec{d}_{l} \\=:& \sum_{k,l}T_{kl}^{\ast}\vec{c}_{k}\otimes\vec{d}_{l} =:\mathbf{T}^{\ast} \\ \rightarrow T_{kl}^{\ast} =& \sum_{i,j=1}^3T_{ij}(\vec{a}_{i}\cdot\vec{c}^{k}) (\vec{b}_{j}\cdot\vec{d}^{l}) \end{align}}

Die Spur mit den neuen Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{ij}^{\ast}} ergibt sich also zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{Sp}(\mathbf{T}^{\ast}) =& \mathrm{Sp}\left( \sum_{k,l=1}^3T_{kl}^{\ast}\vec{c}_{k}\otimes\vec{d}_{l}\right) =\sum_{k,l=1}^3T_{kl}^{\ast}\vec{c}_{k}\cdot\vec{d}_{l} \\=& \sum_{i,j,k,l=1}^3T_{ij}(\vec{a}_{i}\cdot\vec{c}^{k}) (\vec{b}_{j}\cdot\vec{d}^{l})\vec{c}_{k}\cdot\vec{d}_{l} \\ =& \sum_{i,j,k,l=1}^3 T_{ij}(\vec{a}_{i}\cdot\vec{c}^{k})\vec{c}_{k}\cdot (\vec{b}_{j}\cdot\vec{d}^{l})\vec{d}_{l} =\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\vec{a}_{i}\cdot\vec{b}_{j} =\mathrm{Sp}(\mathbf{T}) \end{align}}

was zu zeigen war.

Siehe auch

• Kontinuumsmechanik
• Euklidische Transformation
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.