Euklidische Transformation

Die euklidische Transformation, benannt nach Euklid, ist eine abstands- und damit auch winkelerhaltende Transformation des euklidischen Raumes auf sich. Bei der eigentlichen euklidischen Transformation bleibt zusätzlich die Orientierung erhalten, werden also Spiegelungen ausgeschlossen.

In der klassischen Mechanik stellt die eigentliche euklidische Transformation eine Beobachtertransformation dar und bedeutet eine Translation und Rotation des Bezugssystems des Beobachters. Dabei werden nur die eigentlichen Transformationen betrachtet, denn Spiegelungen materieller Körper kommen in der Mechanik, die nur von der Schwerkraft bestimmte physikalische Gesetze in der makroskopischen Welt betrachtet, nicht vor. Anschaulich kann man sich die euklidische Beobachtertransformation als eine Starrkörperbewegung eines Bezugssystems vorstellen, bei der der Ursprung und die angehefteten Koordinatenachsen sich beliebig bewegen, aber die Koordinatenachsen die relative Orientierung und Winkel zueinander beibehalten und nicht gedehnt oder gestaucht werden. Die Galilei-Transformation im euklidischen Raum ist als Spezialfall der geradlinig-gleichförmigen Bewegung mit konstanter Relativgeschwindigkeit enthalten.

In der Mechanik wird die euklidische Transformation zur Definition objektiver oder invarianter Größen benutzt, die von Beobachtern in unterschiedlich bewegten Bezugssystemen in gleicher Weise wahrgenommen werden, siehe Wechsel des Bezugssystems. Objektive Größen, die den Zustand eines materiellen Körpers beschreiben, sind in der Materialtheorie von zentraler Bedeutung, denn es entspricht nicht der Erfahrung, dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Gesetzmäßigkeit wird materielle Objektivität genannt.

Überblick

Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen, kann aber in einfacher Weise auf n Dimensionen verallgemeinert werden. Die euklidische Transformation ist eine abstandserhaltende Transformation eines euklidischen Raumes auf sich. Da er eine Abstandsfunktion enthält, ist der euklidische Raum ein Metrischer Raum und die euklidische Transformation eine Isometrie. Bezüglich der Hintereinanderausführung bilden die euklidischen Transformationen eine Gruppe.

Je nachdem welche Art Euklidischer Raum zu Grunde gelegt wird, liegen verschiedene Formulierungen vor:

1. Die Transformation des euklidischen Punktraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}^3} ist eine Bewegung (Mathematik), die ebenfalls eigentlich genannt wird, wenn die Orientierung erhalten bleibt, und uneigentlich, wenn dies nicht der Fall ist.
2. Die euklidische Transformation des Koordinatenraumes $\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt über dem Körper $\mathbb {R}$ ist eine spezielle Koordinatentransformation, bei der die Transformationsmatrix eine orthogonale Matrix ist (siehe Beschreibung in Koordinaten).
3. Die Transformation des euklidischen Vektorraumes $\mathbb {V} ^{3}$ (einem über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} definierten Vektorraum mit Skalarprodukt) wird hier in einem physikalischen Zusammenhang dargestellt.

Euklidische Transformation und Beobachterwechsel

Verschiebungen und Vektoren

Bei der euklidischen Transformation wird vom euklidischen Punktraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}^3} unserer Anschauung ausgegangen und diesem ein euklidischer Vektorraum $\mathbb {V} ^{3}$ zugeordnet, siehe Vom euklidischen Anschauungsraum zum euklidischen Vektorraum. Zusammenfassend liegt jedem euklidischen Vektorraum eine längentreue Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{llll} \mathcal{V}:&\mathbb{E}^3\times\mathbb{E}^3 &\mapsto &\mathbb{V}^3\\ & (R,S) &\mapsto &\vec{v} \end{array}}

zu Grunde, die allen parallelen, gleichsinnigen und gleich langen Verschiebungen von Punkten $R$ zu Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} einen gleichlangen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} zuordnet, siehe Bild. Die Bedeutung hiervon wird in der aktiven Interpretation des Beobachterwechsels deutlich.

Passive Interpretation oder Koordinatentransformation

Veranschaulichung der Koordinatentransformation

Durch Auswahl von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten $O,P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {E} ^{3}$, von denen O den Ursprung darstellt, wird eine Basis ${\mathcal {V}}(O,P_{i})={\vec {e}}_{i}$ des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} entworfen. Der Einfachheit halber sollen die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}(O,P_i)=\vec{e}_i} paarweise senkrecht aufeinander stehen und jeweils die Länge eins haben, so dass die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_i} eine Orthonormalbasis darstellen. Jedem Punkt $X\in \mathbb {E} ^{3}$ können nun Koordinaten ${x}_{i}\in \mathbb {R}$ zugeordnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}(O,X)=:\vec{x}=\sum_{i=1}^3 x_i\vec{e}_i} mit den Komponenten $x_{i}:={\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}\,.$

Ein Wechsel des Bezugssystems wird nun durch Auswahl von vier anderen Punkten $O',P'_{1},P'_{2},P'_{3}\in \mathbb {E} ^{3}$ bewerkstelligt, was auf die neue Orthonormalbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}'_i} führt, siehe Bild. Der Punkt $X$ erhält im neuen Bezugssystem andere Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x'_i}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}(O', X)=:\vec{x}'=\sum_{i=1}^3x'_i\vec{e}'_i\,.}

Mit

${\mathcal {V}}(O',O)=:{\vec {s}}=\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}$

ergibt sich die Vektorgleichung

${\begin{aligned}{\mathcal {V}}(O',X)=&{\mathcal {V}}(O',O)+{\mathcal {V}}(O,X)\\\Leftrightarrow \quad \sum _{i=1}^{3}x'_{i}{\vec {e}}'_{i}=&\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\vec {e}}_{j}=\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{i,j=1}^{3}x_{j}({\vec {e}}'_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}){\vec {e}}'_{i}\,.\end{aligned}}$

Den Zusammenhang zwischen den Koordinaten beschreibt die Koordinatentransformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x'_i= s_i+\sum_{j=1}^3 Q_{ij} x_j\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} Q_{11}& Q_{12}& Q_{13}\\ Q_{21}& Q_{22}& Q_{23}\\ Q_{31}& Q_{32}& Q_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \,.}

Dies ist eine Matrizengleichung wie in Beschreibung in Koordinaten oder Isometrien. Die 3 × 3 Matrix Q mit den Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{ij}=\vec{e}'_i\cdot\vec{e}_j} ist eine orthogonale Matrix und daher gilt

$Q\cdot Q^{T}=E,$

worin E die Einheitsmatrix darstellt. Falls für die Determinante det(Q) = +1 gilt, sind die Basen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_{1,2,3}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}'_{1,2,3}} gleich orientiert und es liegt eine eigentliche euklidische Transformation vor.

Aktive Interpretation oder koordinatenfreie Abbildung

Datei:AktiveTrafo.png

Veranschaulichung der aktiven Interpretation der euklidischen Transformation

Ein Beobachter wird meist sowohl einen anderen Ursprung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O'} als auch eine andere Zuordnung ${\mathcal {V}}':\mathbb {E} ^{3}\times \mathbb {E} ^{3}\mapsto \mathbb {V} ^{3}$ des euklidischen Punktraums zu einem Vektorraum wählen als ein anderer Beobachter. Die Bilder von ${\mathcal {V}}$ und ${\mathcal {V}}'$ können höchstens verdreht sein, weil die Abbildung längentreu sein soll und eine Verschiebung hier nicht ins Gewicht fällt, da allen parallelen, gleichsinnigen und gleichlangen Verschiebungen von Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} nach Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} derselbe Vektor zugeordnet wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}'(R, S)=\mathbf{Q}\cdot\mathcal{V}(R, S)\quad\forall\;R,S\in\mathbb{E}^3}

worin Q ein orthogonaler Tensor ist (Q^T · Q = 1 mit Einheitstensor 1), siehe Bild. Nun ist

${\begin{aligned}{\vec {x}}'=&{\mathcal {V}}'(O',X)={\mathcal {V}}'(O',O)+{\mathcal {V}}'(O,X)=\underbrace {{\mathcal {V}}'(O',O)} _{\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot \underbrace {{\mathcal {V}}(O,X)} _{\vec {x}}\\\rightarrow {\vec {x}}'=&{\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}\,.\end{aligned}}$

Diese Vektorgleichung ist koordinatenfrei, bezieht sich also auf kein Koordinaten- oder Basissystem. Anders als in der passiven Interpretation wird hier die Fähigkeit von Tensoren (hier Q) ausgenutzt, Vektoren von einem Vektorraum, dem Bildraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}} , in einen anderen, den Bildraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{V}'} , abzubilden, wobei in diesem Fall die beiden Bildräume identisch sind. Falls det(Q) = +1 liegt wiederum eine eigentliche euklidische Transformation vor. Weil jeder Tensor eine lineare Abbildung ist, entspricht dieses Vorgehen der Beschreibung mit Hilfe von linearen Abbildungen.

Der scheinbare Widerspruch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}\cdot\vec{x} =\vec{x}} löst sich auf, wenn die verschiedenen Basissysteme links und rechts des Gleichheitszeichens berücksichtigt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}\cdot\sum_{i=1}^3 x_i\vec{e}'_i =\sum_{i=1}^3 x_i\vec{e}_i \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{Q}\cdot\vec{e}'_i =\vec{e}_i }

womit Q die komponentenweise Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q} =\sum_{i=1}^3\vec{e}_i\otimes\vec{e}'_i =\sum_{i,j=1}^3 (\vec{e}'_i\cdot\vec{e}_j)\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j =\sum_{i,j=1}^3 Q_{ij}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j }

mit Q_ij wie in der passiven Interpretation bekommt, was die Äquivalenz der passiven und aktiven Interpretationen unterstreicht.

Transformation der Zeit

Ein Beobachterwechsel beinhaltet auch einen Wechsel im Zeitmaßstab. In der euklidischen Transformation ist nur eine konstante Versetzung Δt vorgesehen:

$t'=t+\Delta t$

was so zu verstehen ist, dass die Beobachter zum selben Zeitpunkt verschiedene Werte auf ihren Uhren ablesen, die Differenz der Werte aber immer dieselbe ist. Die Beobachter haben also ihre Stoppuhren zu verschiedenen Zeiten gestartet.

Allgemeiner Beobachterwechsel

In der klassischen Mechanik lässt sich ein Beobachterwechsel wie folgt beschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \vec{x}'(t') =&\vec{s}(t)+\mathbf{Q}(t)\cdot\vec{x}(t) \\ t'=& t+\Delta t \\ \mathbf{Q}(t)\cdot\mathbf{Q}^\top(t)=& \mathbf{Q}^\top(t)\cdot\mathbf{Q}(t) =\mathbf{1},\quad \mathrm{det}(\mathbf{Q})=+1 \,,\end{align}}

weil Drehspiegelungen (mit det(Q) = -1) in der von Schwerkraft und Elektromagnetismus dominierten makroskopischen Welt nicht vorkommen.

Die Galilei-Transformation ist der Spezialfall, der nur die sogenannten Galilei-Boosts beinhaltet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{\vec{s}}(t)=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{s}(t)={\vec{s}}_{0}+{\vec{v}}_{0}t} und Q(t) = Q₀ = const.

worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\vec{s}}_{0}} eine konstante Verschiebung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\vec{v}}_{0}} eine konstante Geschwindigkeit und Q₀ eine konstante Verdrehung bezeichnen. Diese lassen Betrag und relative Winkel von Beschleunigungen unverändert.

Objektive oder invariante Größen

Größen, die bei einem Wechsel des Bezugssystems unverändert wahrgenommen werden, werden objektiv oder invariant genannt. Einführend sei der Abstand zweier Punkte betrachtet: Bei jeder euklidischen Transformation bleibt der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten immer konstant und das gilt auch beim allgemeinen Beobachterwechsel. Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p}=\mathcal{V}(O, P)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{q}=\mathcal{V}(O, Q)} die Ortsvektoren zweier Punkte P und Q. Das Quadrat ihres Abstandes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} d'^2=&(\vec{p}'-\vec{q}')\cdot(\vec{p}'-\vec{q}') =(\vec{s}+\mathbf{Q}\cdot\vec{p}-\vec{s}-\mathbf{Q}\cdot\vec{q})\cdot(\vec{s}+\mathbf{Q}\cdot\vec{p}-\vec{s}-\mathbf{Q}\cdot\vec{q}) \\=& [\mathbf{Q}\cdot(\vec{p}-\vec{q})]\cdot[\mathbf{Q}\cdot(\vec{p}-\vec{q})] =(\vec{p}-\vec{q})\cdot\mathbf{Q^\top\cdot Q}\cdot(\vec{p}-\vec{q}) \\=&(\vec{p}-\vec{q})\cdot(\vec{p}-\vec{q}) ={d}^2 \end{align}}

bleibt also unverändert, wenn Q^T · Q = 1 ist und sich der Abstandsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p}-\vec{q}} gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{p}-\vec{q})'=\mathbf{Q}\cdot(\vec{p}-\vec{q})}

transformiert. Letzteres kennzeichnet objektive Vektoren. Die Transformationseigenschaft für objektive Tensoren leitet sich aus der Forderung ab, dass ein objektiver Tensor objektive Vektoren auf objektive Vektoren abbildet. Bei objektiven Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}} soll also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}\cdot\mathbf{T}\cdot\vec{v}} ebenfalls objektiv sein. Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}'=\mathbf{Q}\cdot\vec{v}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}'=\mathbf{Q}\cdot\vec{w}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}'\cdot\mathbf{T}'\cdot\vec{v}'=\vec{w}\cdot\mathbf{T}\cdot\vec{v}} resultiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}\cdot\mathbf{T}\cdot\vec{v} =(\mathbf{Q}^\top\cdot\vec{w}')\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top\cdot\vec{v}' =\vec{w}'\cdot\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top\cdot\vec{v}' =\vec{w}'\cdot\mathbf{T}'\cdot\vec{v}' \,.}

Soll dies für alle objektiven Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}} gelten, so muss sich der Tensor gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}'=\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top}

transformieren.

Transformationseigenschaften objektiver Größen

Eine Größe ist objektiv, wenn sie sich bei einem Beobachterwechsel wie folgt transformiert:

Typ	Bedingung
Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi '(t')=\phi (t)}
Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}'(t')=\mathbf{Q}(t)\cdot\vec{v}(t)}
Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}'(t')=\mathbf{Q}(t)\cdot\mathbf{T}(t)\cdot\mathbf{Q}^\top(t)}

Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Die Geschwindigkeit ist wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}'=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}(\vec{s}+\mathbf{Q}\cdot\vec{x})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{s}+\mathbf{Q}\cdot\vec{x})=\dot{\vec{s}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{x}+\mathbf{Q}\cdot\vec{v}\ne\mathbf{Q}\cdot\vec{v} }

keine objektive Größe und gleiches gilt für die Beschleunigung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \vec{a}'=&\frac{\mathrm{d}\vec{v}'}{\mathrm{d}t'} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\vec{s}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{x}+\mathbf{Q}\cdot\vec{v}) =\ddot{\vec{s}}+\ddot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{x}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{v}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{v}+\mathbf{Q}\cdot\vec{a} \\=&\ddot{\vec{s}}+\ddot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{x}+2\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{v}+\mathbf{Q}\cdot\vec{a} \ne\mathbf{Q}\cdot\vec{a} \,.\end{align}}

Nur im Spezialfall der Galilei-Transformation ist wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{\vec{s}}=\vec{0}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{\mathbf{Q}}=\dot{\mathbf{Q}}=\mathbf{0}} die Beschleunigung objektiv. Es kann aber gezeigt werden, dass die Absolutgeschwindigkeit und die Absolutbeschleunigung objektiv sind.

Die Zeitableitung eines objektiven Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{w}} ist wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\vec{w}' =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{Q}\cdot\vec{w}) =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{w}+\mathbf{Q}\cdot\dot{\vec{w}} \ne\mathbf{Q}\cdot\dot{\vec{w}}}

meist nicht objektiv und gleiches gilt für die Zeitableitung eines objektiven Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\mathbf{T}' =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top) =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top \ne \mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top \,.}

Für die Formulierung ratenabhängiger Materialmodelle werden in der räumlichen Betrachtungsweise objektive Zeitableitungen für konstitutive Variablen benötigt, denn es entspricht nicht der Erfahrung, dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst als ein ruhender. Somit müssen die Materialmodelle mit objektiven Zeitableitungen formuliert werden. Der Deformationsgradient F beschreibt die lokalen Verformungen an einem Punkt im Material und entsprechend enthält er auch alle Informationen zu Verformungsraten. Es wird der räumliche Geschwindigkeitsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l}:=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}=\mathbf{d}+\mathbf{w}}

definiert, dessen symmetrischer Anteil d = ½( l + l^T) räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrische Anteil w = ½( l – l^T) Wirbeltensor oder Spintensor heißt. Diese Tensoren werden hier, weil sie räumlich formuliert sind, klein geschrieben. In der Materialtheorie interessieren besonders objektive Raten von Verzerrungstensoren und Spannungstensoren. Es wurden mehrere Raten definiert, unter anderem:

Zaremba-Jaumann Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\circ}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w}-\mathbf{w\cdot T}}

Kovariante Oldroyd Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\triangle}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot l}+\mathbf{l}^\top\cdot\mathbf{T} =\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot d}+\mathbf{d\cdot T}}

Kontravariante Oldroyd Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\nabla}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T}\cdot\mathbf{l}^\top =\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}-\mathbf{T\cdot d}-\mathbf{d\cdot T} }

Cauchy-Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\diamond}{\mathbf{T}} =\dot{\mathbf{T}}+\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\mathbf{T}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top\,. }

Die Zaremba-Jaumann Spannungs-Geschwindigkeit gibt die zeitliche Änderung der Spannungen im bewegten Bezugssystem an. Ein Beobachter, der mit dem materiellen Element rotiert, stellt die zeitliche Änderung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\circ}{\mathbf{T}}} der Spannungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} fest.

Für einen objektiven Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} sind die Zeitableitungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rclcl} \stackrel{\circ}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{w}\cdot\vec{v} \\ \stackrel{\Delta}{\vec{v}} &=& \dot{\vec{v}}+\mathbf{l}^\top\cdot\vec{v} &=&\stackrel{\circ}{\vec{v}} +\mathbf{d}\cdot\vec{v} \\ \stackrel{\nabla}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{l}\cdot\vec{v} &=&\stackrel{\circ}{\vec{v}} -\mathbf{d}\cdot\vec{v} \end{array}}

objektiv.

Objektivität und algebraische Verknüpfungen

Eine algebraische Verknüpfung von objektiven Größen ist wieder objektiv. Als algebraische Verknüpfung kommt je nach Typ Addition, Multiplikation, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, dyadisches Produkt und Matrizenmultiplikation in Frage.

Operation	Gleichung
Skalare
Addition	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)'=a'+b'=a+b}
Multiplikation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b'=a\cdot b}
Vektoren
Addition	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{x}+\vec{y})'=\mathbf{Q}\cdot\vec{x}+\mathbf{Q}\cdot\vec{y}=\mathbf{Q}\cdot(\vec{x}+\vec{y})}
Multiplikation mit einem Skalar	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a\vec{x})'=a'\vec{x}'=a\mathbf{Q}\cdot\vec{x}=\mathbf{Q}\cdot(a\vec{x})}
Skalarprodukt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{x}\cdot\vec{y})'=\vec{x}'\cdot\vec{y}'=(\mathbf{Q}\cdot\vec{x})\cdot(\mathbf{Q}\cdot\vec{y}) =\vec{x}\cdot\mathbf{Q}^\top\cdot\mathbf{Q}\cdot\vec{y}=\vec{x}\cdot\vec{y}}
Kreuzprodukt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{x}\times\vec{y})'=\vec{x}'\times\vec{y}' =(\mathbf{Q}\cdot\vec{x})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{y})=\mathbf{Q}\cdot(\vec{x}\times\vec{y})}
Dyadisches Produkt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{x}\otimes\vec{y})'=\vec{x}'\otimes\vec{y}'=\mathbf{Q}\cdot\vec{x}\otimes\mathbf{Q}\cdot\vec{y}=\mathbf{Q}\cdot(\vec{x}\otimes\vec{y})\cdot\mathbf{Q}^\top}
Tensoren
Addition	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{S}+\mathbf{T})'= \mathbf{Q\cdot S\cdot Q}^\top+\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top =\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{S}+\mathbf{T})\cdot\mathbf{Q}^\top}
Multiplikation mit einem Skalar	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a\mathbf{T})'=a'\mathbf{T}' =a\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top =\mathbf{Q}\cdot(a\mathbf{T})\cdot\mathbf{Q}^\top}
Skalarprodukt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{S}:\mathbf{T})' =(\mathbf{Q\cdot S\cdot Q}^\top):(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top) =\mathbf{S}:\mathbf{T}}
Vektortransformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{T}\cdot\vec{x})' =\mathbf{T}'\cdot\vec{x}' =(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top)\cdot(\mathbf{Q}\cdot\vec{x}) =\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{T}\cdot\vec{x})}
Matrizenmultiplikation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{S\cdot T})' =(\mathbf{Q\cdot S\cdot Q}^\top)\cdot (\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top) =\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{S\cdot T})\cdot\mathbf{Q}^\top}

Liste objektiver Größen

Die folgende Aufstellung gibt eine Auswahl an objektiven Größen.

Skalare

• Geometrie: Abstand, Flächeninhalt (Betrag), Volumen (Betrag). Die Volumenform ist nur bei eigentlichen euklidischen Transformationen mit det(Q) = +1 objektiv.
• Physik: Temperatur, Masse, Innere Energie und Entropie sind objektive Skalare. Hieraus kann abgeleitet werden, dass auch die auf die Masse oder das Volumen bezogenen spezifischen Größen objektiv sind: Dichte, spezifische innere Energie und spezifische Entropie.

Vektoren

• Geometrie: Abstandsvektor, Linienelement; das Oberflächenelement ist nur bei eigentlichen euklidischen Transformationen mit det(Q) = +1 objektiv.
• Kinematik: absolute Geschwindigkeit, absolute Beschleunigung, Vektorinvariante
• Physik: Kraft, Spannungsvektor, Wärmeflussvektor und der Temperaturgradient

Tensoren

Die obige Transformationseigenschaften für Tensoren gelten für sogenannte räumliche ein-Feld-Tensoren, deren Definitions- und Wertebereich mit der Bewegung rotieren. Daneben existieren in der Kontinuumsmechanik körperbezogene ein-Feld Tensoren, deren Definitions- und Wertebereich durch die Referenzkonfiguration bewegungsunabhängig materiell festgelegt ist, die also für alle Beobachter gleich ist. Die Bildvektoren dieser Konfigurationen sind – anschaulich gesprochen – für alle Beobachter wie ein Etikett lesbar an einen materiellen Punkt geheftet. Körperbezogen objektive Tensoren transformieren sich gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T' = T}} .

Des Weiteren kennt die Kontinuumsmechanik zwei-Feld-Tensoren, die Vektoren und Tensoren zwischen zwei Konfigurationen transformieren. Ein Beispiel hierfür ist der erste Piola-Kirchhoff Spannungstensor, der in konvektiven Koordinaten die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\sum_{i,j=1}^3 T^{ij}\vec{g}_i\otimes\vec{G}_j}

besitzt. Darin sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_{1,2,3}} Basisvektoren in der bewegungsunabhängigen materiellen Referenzkonfiguration, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_{1,2,3}} Basisvektoren in der bewegten räumlichen Momentankonfiguration und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^{ij}} die Komponenten des Tensors. Wenn nun die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i} für alle Beobachter gleich sind, d. h. es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i' =\vec{G}_i\quad\forall\; i=1,2,3\,,}

und die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i} objektiv sind, sich also gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i'=\mathbf{Q}\cdot\vec{g}_i\quad\forall\; i=1,2,3}

transformieren, dann ist also ein solcher zwei-Feld-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} objektiv, wenn er sich gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}{'} =\sum_{i,j=1}^3 T^{ij}{'}\vec{g}_i{'}\otimes\vec{G}_j{'} =\sum_{i,j=1}^3 T^{ij}\mathbf{Q}\cdot\vec{g}_i\otimes\vec{G}_j =\mathbf{Q\cdot T}\,,}

also wie ein objektiver Vektor transformiert.

Die folgenden Tensoren werden in der Mechanik, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, benutzt. Weil spiegelnde Transformationen materieller Körper in der Mechanik nicht betrachtet werden, wird det(Q) = +1 vorausgesetzt.

Name	Nicht objektiv	Objektiv (räumlich)	Objektiv (körperbezogen)	Objektiver zwei-Feld Tensor
Starrkörpermechanik
Trägheitstensor I, Θ		x
Winkelgeschwindigkeitstensor Ω	x
Kontinuumsmechanik
Deformationsgradient F = R · U = v · R				F′ = Q · F
Rechter Strecktensor U			x
Linker Strecktensor v		x
Rotationstensor R				R′ = Q · R
Rechter Cauchy-Green Tensor C = FT · F = U · U			x
Linker Cauchy-Green Tensor b = F · FT = v · v		x
Green-Lagrange-Verzerrungstensor E = ½( FT · F - 1)			x
Euler-Almansi-Verzerrungstensor e = ½( 1 - FT-1 · F−1)		x
Cauchy’scher Spannungstensor σ		x
Erster Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor P = det(F) σ · FT-1				P′ = Q · P
Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\mathbf{T}} =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top-1}}			x
Verzerrungsgeschwindigkeiten
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l}=\mathrm{grad}(\vec{v}(\vec{x},t))=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l}'=\mathbf{Q\cdot l\cdot Q}^\top +\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top}
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d = ½( l + lT)		x
Spintensor w = ½( l - lT)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{w}'=\mathbf{Q\cdot w\cdot Q}^\top +\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top}
Materieller Verzerrungsgeschwindigkeitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\mathbf{E}}}			x
Materielle Zeitableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\mathbf{e}}} von e	längere Formel
Oldroyd Ableitung der Euler-Almansi-Dehnungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\triangle}{\mathbf{e}}=\mathbf{d}}		x

Transformationen von Bezugssystemen in anderen physikalischen Disziplinen

Die klassische Mechanik und Elektrodynamik sind unter Spiegelungen invariant, denn die Gesetze in diesen beiden Disziplinen werden vollständig von der Schwerkraft und dem Elektromagnetismus bestimmt. Diese Symmetrie gegenüber Spiegelungen wird jedoch in der Quantenmechanik durch Paritätsverletzung der Schwachen Wechselwirkung gebrochen. Die anderen Naturkräfte, insbesondere Schwerkraft und Elektromagnetismus, sind paritätserhaltende Wechselwirkungen.

In der Relativitätstheorie werden zwischen bewegten Bezugssystemen Transformationen verwendet, die die Beträge und relativen Winkel aller Vektoren invariant lassen. Die Transformation zwischen bewegten Bezugssystemen in der vierdimensionalen Raumzeit, die auch Beträge und Winkel von (Vierer-)Geschwindigkeiten und Impulsen invariant lässt, sind die Lorentz-Boosts. Der Unterschied zu Drehungen im vierdimensionalen euklidischen Raum ist, dass der Zeitkoordinate im Vierervektor im Minkowski-Raum ein anderes Vorzeichen als den Raumkoordinaten zugewiesen wird. Dies führt dazu, dass in einer Drehmatrix für Drehungen von Zeit und Raumkoordinaten, Sinus und Kosinus durch Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ersetzt werden müssen. Die euklidische Gruppe, welche diese Verallgemeinerung enthält, wird Poincaré-Gruppe genannt.

Beispiel

Es wird der Nachweis der Objektivität der Zaremba-Jaumann Rate eines objektiven Tensors gegeben. Zu zeigen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\stackrel{\circ}{\mathbf{T}})' =\mathbf{Q}\cdot\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top =\mathbf{Q}\cdot(\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w}-\mathbf{w\cdot T}) \cdot\mathbf{Q}^\top\,.}

Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{w}'=\mathbf{Q\cdot w\cdot Q}^\top +\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{T}')\dot{}=(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top)\dot{} =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top}

bekommt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} (\stackrel{\circ}{\mathbf{T}})' =&\dot{\mathbf{T}}' +\mathbf{T}'\cdot\mathbf{w}'-\mathbf{w}'\cdot\mathbf{T}' \\ =&(\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top) + (\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top)\cdot (\mathbf{Q\cdot w\cdot Q}^\top +\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top) \\& -(\mathbf{Q\cdot w\cdot Q}^\top +\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top) \cdot(\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top) \\ =&\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top +\mathbf{Q\cdot T\cdot w\cdot Q}^\top \\& +\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}} \cdot\mathbf{Q}^\top -\mathbf{Q\cdot w\cdot T\cdot Q}^\top -\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{T\cdot Q}^\top \\ =&\mathbf{Q}\cdot(\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w} -\mathbf{w\cdot T})\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top +\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}} \cdot\mathbf{Q}^\top \\ =&\mathbf{Q}\cdot\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top +\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top \,.\end{align}}

Nun kann man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\mathbf{1}} =(\mathbf{Q\cdot Q}^\top)\dot{} =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top=\mathbf{0} \rightarrow \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top =-\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top}

ausnutzen und erhält

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} (\stackrel{\circ}{\mathbf{T}})' =&\mathbf{Q}\cdot\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top -\mathbf{Q\cdot T\cdot Q}^\top\cdot\mathbf{Q}\cdot \dot{\mathbf{Q}}^\top \\ =& \mathbf{Q}\cdot\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top -\mathbf{Q\cdot T}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top = \mathbf{Q}\cdot\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{Q}^\top\,, \end{align}}

also das gewünschte Ergebnis.

Siehe auch

• Orthogonale Abbildung, Orthogonale Matrix oder Drehmatrix
• Materialmodell
• Isotrope Funktion
• Hauptinvariante
• Formelsammlung Tensoralgebra

Literatur

• Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X (Die Auflage 2010 hat ISBN 978-3-642-07718-0). 
• Horst Parisch: Festkörper-Kontinuumsmechanik. Von den Grundgleichungen zur Lösung mit Finiten Elementen. Teubner, Stuttgart u. a. 2003, ISBN 3-519-00434-8.