Konvektive Koordinaten

Auf einen Körper aufgetragene Koordinatenlinien folgen den Deformationen des Körpers

Konvektive Koordinaten sind krummlinige Koordinaten, die an einen Träger gebunden sind und von allen Transformationen, die der Träger erfährt, mitgeführt werden, daher die Bezeichnung konvektiv. In der Kontinuumsmechanik ergeben sich konvektive Koordinaten auf natürliche Weise, wenn die Koordinatenlinien körperfeste Linien sind, die allen Bewegungen und Deformationen des Körpers folgen. Bildlich kann man sich ein Koordinatennetz auf eine Gummihaut aufgemalt denken, die dann gedehnt wird und das Koordinatennetz mitnimmt, siehe Abbildung rechts.

Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen (Stäbe, Balken) und dünnwandiger Strukturen (Schalen und Membranen), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, oder Advektions-Diffusions-Probleme (z. B. Schadstoffausbreitung in der Atmosphäre oder im Grundwasser) in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformierbarer Körper bekommen die in der Kontinuumsmechanik benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen.

Definition

Konfigurationen und konvektive Koordinaten

Betrachtet wird ein deformierbarer Körper wie im Bild, der mittels Konfigurationen in einen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} ^{3}$ abgebildet wird. Die konvektiven Koordinaten eines materiellen Punktes $P$ werden durch die Referenzkonfiguration $\kappa _{R}(P)$ zugewiesen. Für jedes Partikel $P$ eines Körpers $K$ sind seine konvektiven Koordinaten gegeben durch:

${\begin{array}{llll}\kappa _{R}:&K&\rightarrow &V_{R}\subset \mathbb {V} ^{3}\\&P&\mapsto &{\vec {\Theta }}=(\Theta _{1},\Theta _{2},\Theta _{3})\end{array}}$

Diese Zuordnung ist vom gewählten Bezugssystem des Beobachters, von der Zeit und vom physikalischen Raum unserer Anschauung unabhängig. Für den viereckigen Körper im Bild eignet sich z. B. das Einheitsquadrat $V_{R}=[0,1]^{2}$ als Bildbereich. $\kappa _{R}$ ist ein-eindeutig (bijektiv), so dass ${\vec {\Theta }}$ auch der Benennung des Partikels $P$ dienen kann. Weil die Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen.

Tangenten- und Gradientenvektoren

Koordinatenlinie von $\Theta _{1}$ mit Tangentenvektor ${\vec {G}}_{1}$ und Gradientenvektor ${\vec {G}}^{1}$ im Punkt ${\vec {X}}$

Die kovarianten Tangentenvektoren ${\vec {G}}_{1,2,3}$ und ${\vec {g}}_{1,2,3}$ an materielle Koordinatenlinien (schwarz) in der Ausgangs- bzw. Momentankonfiguration spannen Tangentialräume (gelb) auf. Die kontravarianten Basisvektoren $\color {blue}{\vec {G}}^{1,2,3}$ und $\color {blue}{\vec {g}}^{1,2,3}$ spannen Kotangentialräume auf (nicht dargestellt)

Die Bewegungsfunktion ${\vec {x}}={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t)\in \mathbb {V} ^{3}$ beschreibt die Bewegung des Partikels ${\vec {\Theta }}$ durch den Raum unserer Anschauung und liefert uns ein Objekt unserer Anschauung, weil diese Positionen vom Körper einmal eingenommen wurden. Die Bewegung startet zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{0}$, in dem sich der Körper in der Ausgangskonfiguration befindet. Die Funktion

${\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }}):={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t_{0})={\vec {X}}=\sum _{i=1}^{3}X_{i}{\vec {e}}_{i}$

ordnet den Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ ein-eindeutig (bijektiv) einen Punkt ${\vec {X}}$ im Raum zu, den das Partikel zum Zeitpunkt $t_{0}$ eingenommen hat. Der Vektor ${\vec {X}}$ hat materielle Koordinaten $X_{1,2,3}$ bezüglich der Standardbasis ${\vec {e}}_{1,2,3}$. Wegen der Bijektivität kann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X}=:\vec{\chi}_{0}(\vec{\Theta}) \quad\Leftrightarrow\quad \vec{\Theta}=:\vec{\chi}_{0}^{-1}(\vec{X})}

geschrieben werden. Variiert im Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\Theta}} nur eine Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_i} , dann fährt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\chi}_{0}(\vec{\Theta})} eine materielle Koordinatenlinie ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist, siehe obere Abbildung rechts. Die Tangentenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i=\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}_{0}}{\mathrm{d}\Theta_i} =\sum_{j=1}^3\frac{\mathrm{d}\chi_{0j}}{\mathrm{d}\Theta_i}\vec{e}_j }

an diese Kurven werden kovariante Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems genannt. Die Richtung, in der sich die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_i} am stärksten ändert, sind die Gradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i =\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}} :=\mathrm{GRAD}(\Theta_i) =\sum_{j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_j} \vec{e}_j }

die die kontravarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i} in einem materiellen Punkt darstellen. Wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\Theta_j} =& \sum_{k=1}^3 \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_k} \cdot \frac{\mathrm{d}X_{k}}{\mathrm{d}\Theta_j} =\sum_{k,l=1}^3 \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}X_k} \vec{e}_k \cdot \frac{\mathrm{d}X_{l}}{\mathrm{d}\Theta_j} \vec{e}_l \\ =&\vec{G}^i\cdot\vec{G}_j =\left\{\begin{array}{lll} 1& \mathrm{falls}& i=j\\ 0& \mathrm{sonst}& \end{array}\right. \end{align}}

sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren dual zueinander und die kontravarianten Basisvektoren können aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{J} =& \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\chi_{0i}}{\mathrm{d}\Theta_j}\vec{e}_i\otimes \vec{e}_j =\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j \\ \rightarrow \mathbf{J}^{-1} =& \displaystyle \left(\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{e}_j\right)^{-1} =\sum_{i=1}^3\vec{e}_i\otimes \vec{G}^i \end{align}}

berechnet werden. Darin wurde das dyadische Produkt "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} " benutzt.

Der zwischen der Referenzkonfiguration und der Ausgangskonfiguration arbeitende Deformationsgradient J enthält die kovarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i} in den Spalten und die kontravarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i} finden sich in den Zeilen seiner Inversen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{J}^{-1}} .

Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den Tangentialräumen) im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X}} als Basissystem für Vektor- und Tensorfelder, nicht aber für Ortsvektoren, benutzt: Die kovarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i} bilden eine Basis des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3} und die kontravarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i} bilden eine Basis des Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3} im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X}} , siehe untere Abbildung rechts.

Im Zuge der Bewegung entsteht in jedem Punkt und zu jedem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t> t_{0}} einen Satz kovarianter Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i} und kontravarianter Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}^i} , die die Tangenten bzw. Gradienten der materiellen Koordinatenlinien im deformierten Körper zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} sind. Sie sind mithin Basen der Tangentialräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{x}}\mathbb{V}^3} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{x}}\mathbb{V}^3} .

Differentialoperatoren und Nabla-Operator

→ Hauptartikel: Nabla-Operator

Die Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis können mit dem Nabla-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla} definiert werden. In konvektiven Koordinaten hat der Nabla-Operator in der Lagrange’schen Darstellung die Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_0 := \sum_{i=1}^3\vec{G}^i\frac{\partial }{\partial \Theta_i}}

Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt:

Skalarfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GRAD}(\phi ):=\nabla_0\,\phi =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \phi}{\partial \Theta_i}\vec{G}^i =:\frac{\partial \phi}{\partial \vec{X}}}

Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GRAD}(\vec{v}) :=(\nabla_0\otimes\vec{v})^\top =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial {\Theta}_i}\otimes\vec{G}^i =:\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}}}

Die Divergenzen werden aus dem Skalarprodukt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_0} erhalten:

Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DIV}(\vec{v}) :=\nabla_0\cdot\vec{v} =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta_i}\cdot\vec{G}^i =\mathrm{Sp}\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}}\right)}

Tensorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DIV}(\mathbf{T}) :=\nabla_0\cdot\mathbf{T} =\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\cdot\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \Theta_i}}

Der Operator Sp bildet die Spur. Die Rotation eines Vektorfeldes entsteht mit dem Kreuzprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ROT}(\vec{v}):=\nabla_0\times\vec{v} =\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\times\frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta}_i}

Entsprechende Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{div}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{rot}} für Felder in der Euler’schen Darstellung liefert der Nabla-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_t := \sum_{i=1}^3 \vec{g}^i \frac{\partial }{\partial \Theta_i}}

Der Einheitstensor

→ Hauptartikel: Einheitstensor

Der Einheitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}} bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Bezüglich der ko- und kontravarianten Basisvektoren lauten seine Darstellungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\otimes \vec{G}_i =\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{G}^i =\sum_{i,j=1}^3 G_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j =\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j}

Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_{ij}=\vec{G}_i\cdot\vec{G}_j}

heißen kovariante Metrikkoeffizienten (des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3} ). Entsprechend sind die Skalarprodukte der kontravarianten Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G^{ij}=\vec{G}^i\cdot\vec{G}^j}

kontravariante Metrikkoeffizienten (des Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3} ).

In der Euler’schen Betrachtungsweise ist entsprechend

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{g}_i =\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{g}^i =\sum_{i,j=1}^3 g_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j =\sum_{i,j=1}^3 g^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}

mit den ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{ij}=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g^{ij}=\vec{g}^i\cdot\vec{g}^j} (des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{x}}\mathbb{V}^3} bzw. Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{x}}\mathbb{V}^3} ).

Deformationsgradient

→ Hauptartikel: Deformationsgradient

In konvektiven Koordinaten ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}} eine besonders einfache Form. Der Deformationsgradient bildet gemäß seiner Definition die Tangentenvektoren an materielle Linien in der Ausgangskonfiguration auf die in der Momentankonfiguration ab und diese Tangentenvektoren sind gerade die kovarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i} . Also ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i=\mathbf{F}\cdot\vec{G}_i \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i}

Das ergibt sich auch aus der Ableitung der Bewegungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{\chi}_{t}(\vec{\Theta},t)}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}=\mathrm{GRAD}\;\vec{\chi}(\vec{X},t) = \vec{\chi}_{t} \otimes \nabla_0 =\sum_{i=1}^3\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}_{t}} {\mathrm{d}\Theta_i}\otimes \vec{G}^i =\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i}

In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}^{-1}=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{g}^i}

die Inverse des Deformationsgradienten angeben. Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}^{\top -1} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{G}_i \quad\Leftrightarrow\quad \vec{g}^i=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\vec{G}^i}

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

→ Hauptartikel: Geschwindigkeitsgradient

Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der materielle Geschwindigkeitsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\mathbf{F}}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{G}^i}

denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i} . Der räumliche Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l}} bekommt in konvektiven Koordinaten die einfache Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l} =\mathrm{grad}(\vec{v}(\vec{x},t)) =\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} =\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{g}^i =-\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i\otimes \dot{\vec{g}}^i }

worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}(\vec{x},t)} die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} ist. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert die Basisvektoren in ihre Raten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{g}}_i=\mathbf{l}\cdot\vec{g}_i }    und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{g}}^i=-\mathbf{l}^\top\cdot\vec{g}^i}

Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren

Die folgenden Tensoren treten in der Kontinuumsmechanik auf. Ihre Darstellung in konvektiven Koordinaten ist in der Tabelle zusammengestellt.

Name	Darstellung in konvektiven Koordinaten
Deformationsgradient	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i}
Rechter Cauchy-Green Tensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F} =\sum_{i,j=1}^3 g_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j}
Linker Cauchy-Green Tensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{b}=\mathbf{F\cdot F}^\top =\sum_{i,j=1}^3 G^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}
Green-Lagrange-Verzerrungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{2}(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}-\mathbf{1}) =\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ij}=\frac12(g_{ij}- G_{ij})}
Euler-Almansi-Verzerrungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\mathbf{F}^{-1}) =\sum_{i,j=1}^3 E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j}
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{l}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{g}^i = -\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i\otimes \dot{\vec{g}}^i}
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j =-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}
Cauchy’scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}=\sum_{i,j=1}^3 \sigma^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}
Gewichteter Cauchy’scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\mathrm{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma} =\sum_{i,j=1}^3 \tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}
Nennspannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{N} =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} =\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{G}_i\otimes\vec{g}_j}
Erster Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}=\mathbf{N}^\top =\mathrm{det}(\mathbf{F})\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top -1} =\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{G}_j}
Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\mathbf{T}} =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{F}^{\top -1} =\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j}

Weil der rechte Cauchy-Green Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}} , der Green-Lagrange-Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{E}} und der Euler-Almansi-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}} in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{ij}} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ij}} gebildet werden, werden diese Tensoren üblicherweise als kovariante Tensoren bezeichnet. Die Spannungstensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}, \mathbf{S}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\tilde{T}}} sind entsprechend kontravariante Tensoren.

Objektive Zeitableitungen

Objektive Größen sind solche, die von bewegten Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen werden. Die Zeitableitung von Tensoren ist im Allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv und schreiben sich in konvektiven Koordinaten besonders einfach.

Die Kovariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\sum_{i,j=1}^3E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j} lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}:=\dot{\mathbf{e}}+\mathbf{e\cdot l}+\mathbf{l^\top\cdot e} =\sum_{i,j=1}^3\dot{E}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j }

Die Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z. B. von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\sum_{i,j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j} , ergibt sich ähnlich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}} :=\dot{\mathbf{S}}-\mathbf{l\cdot S}-\mathbf{S\cdot l}^\top =\sum_{i,j=1}^3\dot{\tilde{T}}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j}

Daraus leiten sich auch die Bezeichnungen konvektiv kovariant bzw. konvektiv kontravariant der Oldroyd-Ableitungen ab. Bemerkenswert sind die übereinstimmenden Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\mathbf{E\cdot F}^{-1}}     und    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}=\mathbf{F}^{\top -1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot\mathbf{F}^{-1}}

sowie der kontravarianten Tensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\top }    und    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}}=\mathbf{F}\cdot\dot{\tilde{\mathbf{T}}}\cdot\mathbf{F}^\top}

Siehe auch den Abschnitt Objektive Zeitableitungen im Artikel zum Geschwindigkeitsgradient.

Beispiel

Parallelogramm in Ausgangs- und Momentankonfiguration

Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} und Neigungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_1,\Theta_2\in [0,L]^2 \subset\mathbb{R}^2}

In der Ausgangskonfiguration haben die Punkte des Parallelogramms die Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X}=\vec{\chi}_{0}(\Theta_1,\Theta_2) =\left(\begin{array}{c} \Theta_1+\tan (\alpha )\Theta_2 \\ \Theta_2 \end{array}\right)}

Die kovarianten Basisvektoren sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_1=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_1} =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) = \vec{e}_{x} \,,\; \vec{G}_2=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_2} =\left(\begin{array}{c} \tan(\alpha )\\ 1 \end{array}\right)}

Sie stehen spaltenweise im Gradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{J}} und die kontravarianten Basisvektoren entspringen den Zeilen der Inversen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{J}= \sum_{i,j=1}^2 \frac{\mathrm{d} X_i}{\mathrm{d}\Theta_j}\vec{e}_i\otimes \vec{e}_j =\left(\begin{array}{cc} 1& \tan(\alpha )\\ 0& 1 \end{array}\right) \;\rightarrow\; \mathbf{J}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1& -\tan(\alpha )\\ 0& 1 \end{array}\right) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rightarrow \vec{G}^1= \left(\begin{array}{c}1\\ -\tan (\alpha )\end{array}\right) \,,\; \vec{G}^2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}

In der Momentankonfiguration ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha =0^\circ} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\vec{\chi}_{t}(\Theta_1,\Theta_2) =\left(\begin{array}{c}\Theta_1\\ \Theta_2\end{array}\right)}

und die konvektiven ko- und kontravarianten Basisvektoren bilden die Standardbasis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_1=\vec{g}^1=\vec{e}_{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) \,,\; \vec{g}_2=\vec{g}^2=\vec{e}_{y}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}

Der Deformationsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{F}=&\sum_{i=1}^2 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}1\\ -\tan (\alpha )\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \\ =& \left(\begin{array}{cc}1& -\tan (\alpha )\\ 0& 1\end{array}\right) \end{align}}

ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts differentialgeometrisch nachweist. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lll} G_{11}=1 \,,& G_{12}=G_{21}=\tan (\alpha ) \,,& G_{22}=1+\tan {(\alpha )}^2 \\ \;g_{11}=1 \,,& \;g_{12}=\;g_{21}=0 \,,& \;g_{22}=1 \end{array}}

Damit kann der Green-Lagrange-Verzerrungstensor berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{E} =& \sum_{i,j=1}^2 \frac{1}{2}(g_{ij}-G_{ij}) \vec{G}^i\otimes\vec{G}^j = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 0& -\tan(\alpha)\\ -\tan(\alpha)& \tan(\alpha)^2 \end{array}\right) \\ =& \frac{1}{2} (\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}-\mathbf{1}) \end{align}}

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoranalysis
• Differenzierbare Mannigfaltigkeit
• Differentialgeometrie

Literatur

• H. Parisch: Festkörper Kontinuumsmechanik. B. G. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8. 
• H. Bertram: Axiomatische Einführung in die Kontinuumsmechanik. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-14031-3. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0.