Einheitstensor

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Ein Einheitstensor ist in der Kontinuumsmechanik die lineare Abbildung jedes Vektors auf sich selbst. Der Einheitstensor ist ein dimensionsloser Ein-Feld-Tensor, weil er die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum in denselben Vektorraum abbildet. Des Weiteren ist der Einheitstensor symmetrisch, orthogonal und unimodular. Die Koeffizienten des Einheitstensors zweiter Stufe werden Metrikkoeffizienten genannt.

Einheitstensoren treten in der Kontinuumsmechanik häufig auf. Der Einheitstensor zweiter Stufe kommt in den Verzerrungstensoren vor und der Einheitstensor vierter Stufe in vielen Materialmodellen (z. B. im Hookeschen Gesetz). Wegen seiner Wichtigkeit befasst sich dieser Artikel deshalb mit dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum und dem Einheitstensor zweiter Stufe. Nur im gleichnamigen Kapitel ist vom Einheitstensor vierter Stufe die Rede. Eine Verallgemeinerung auf Räume beliebiger endlicher Dimension ist in einfacher Weise möglich.

Definition

Gegeben sei ein euklidischer Vektorraum und die Menge der linearen Abbildungen von nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} . Dann ist der Einheitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}} definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \mathbf{1}\in\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3):& \mathbb{V}^3\rightarrow\mathbb{V}^3 \\ &\vec{v}\mapsto\vec{v} \end{array}} .

Schreibweisen

Für den Einheitstensor werden die Schriftzeichen „1“, „I“ oder „E“ benutzt. Als Schriftauszeichnung wird der Buchstabe mit Doppelstrich (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb I} ), Fettdruck (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}} ), Unter- (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline1}} ) oder Überstreichung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\overline1}} ) benutzt. In Indexschreibweise stimmt dieser Einheitstensor mit dem Kronecker-Delta Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_{ij} } überein.

Tensoren vierter Stufe können mit der aufgesetzten vier gekennzeichnet werden, beispielsweise: .

In diesem Artikel wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf1} für den Einheitstensor zweiter Stufe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{4}{\mathbf{1}}} für den Einheitstensor vierter Stufe verwendet.

Eigenschaften

Weil die Identität von Tensoren über die Bilinearform nachgewiesen werden kann, ist jeder Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} für den gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}^3 \quad\rightarrow\quad \vec{u}\cdot\mathbf{T}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v}}

identisch zum Einheitstensor. Wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}\cdot\vec{v}=\vec{v}\quad\rightarrow\quad\vec{v}=\mathbf{1}^{-1}\cdot\vec{v}}

ist der Einheitstensor gleich seiner Inversen und wegen

ist der Einheitstensor zudem symmetrisch. Aus den letzten beiden Eigenschaften ergibt sich, dass der Einheitstensor auch orthogonal ist. Weil der Einheitstensor keinen Vektor spiegelt (in den negativen Vektor überführt) ist der Einheitstensor eigentlich orthogonal, weswegen er die „Drehung“ um 0° repräsentiert. Seine Determinante ist also gleich eins

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{1})=1}

weswegen der Einheitstensor unimodular ist. Der Einheitstensor ist im Tensorprodukt "·" das Neutrale Element:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}\in\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3) \quad\rightarrow\quad \mathbf{1\cdot A}=\mathbf{A\cdot1}=\mathbf{A}} .

Das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B wird mittels der Spur A : B := Sp(AT · B) gebildet. Das Skalarprodukt des Einheitstensors mit einem anderen Tensor zweiter Stufe liefert somit dessen Spur:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}\in\mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3) \quad\rightarrow\quad \mathbf1:\mathbf{A}=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})} .

Eigensystem

Aus den Eigenschaften des Einheitstensors leitet sich sofort ab, dass jeder Vektor Eigenvektor des Einheitstensors mit dem zugehörigen Eigenwert eins ist. Weil auch jeder Basisvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{v}_{1,2,3}} einer beliebigen Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Vektorraums Eigenvektor des Einheitstensors ist, können auch die Darstellungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\hat{v}_i\otimes\hat{v}_i =\sum_{i,j=1}^3\delta_{ij}\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j }

benutzt werden. Darin bildet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} das dyadische Produkt.

Darstellungsweisen mit Basisvektoren

Bezüglich der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_{1,2,3}} wird der Einheitstensor als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i =\sum_{i,j=1}^3\delta_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}}

geschrieben, so dass er hier mit seiner Matrix-Notation übereinstimmt. Bei einer anderen Orthonormalbasis mit Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{v}_{1,2,3}} kann er als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\hat{v}_i\otimes\hat{v}_i =\sum_{i,j=1}^3\delta_{ij}\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j =\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}_{\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j}}

notiert werden. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_{1,2,3}} eine beliebige Basis des Vektorraums und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}^{1,2,3}} die dazu duale Basis, dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1} =\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes\vec{g}^{i} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}_i =\sum_{i,j=1}^3(\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}^{j} =\sum_{i,j=1}^3(\vec{g}^{i}\cdot\vec{g}^{j})\vec{g}_i\otimes\vec{g}_j } .

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_{1,2,3}} eine weitere beliebige Basis des Vektorraums und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}^{1,2,3}} die dazu duale Basis, dann gilt die allgemeine Darstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{1} =& \sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j} =\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g}^{j})\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j \\=& \sum_{i,j=1}^3(\vec{a}^{i}\cdot\vec{g}_j)\vec{a}_i\otimes\vec{g}^{j} =\sum_{i,j=1}^3(\vec{a}_i\cdot\vec{g}^{j})\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}_j \end{align}} .

Invarianten

Die drei Hauptinvarianten des Einheitstensors sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \mathrm{I}_{1} &:=\operatorname{Sp}(\mathbf{1}) &= 3\;,\\ \mathrm{I}_{2} &:=\frac{1}{2}(\operatorname{Sp}{(\mathbf{1})}^{2} -\operatorname{Sp}(\mathbf{1}^{2})) &= 3\;,\\ \mathrm{I}_{3} &:=\mathrm{det}(\mathbf{1}) &= 1\;. \end{array} }

Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}=\mathbf{1\cdot1}} sind dies auch die Hauptinvarianten der n-ten Potenzen des Einheitstensors. Die Spur des Einheitstensors ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Vektorraums.

Der Betrag des Einheitstensors ist die Wurzel aus der Dimension des Vektorraums:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\|\mathbf{1}\right\| :=\sqrt{\operatorname{Sp}(\mathbf{1^\top\cdot1})} =\sqrt{\operatorname{Sp}(\mathbf{1})} =\sqrt{3}} .

Die Eigenwerte (hier alle gleich eins) sind ebenfalls invariant.

Metrikkoeffizienten

Der Abstand zweier Punkte mit den Ortsvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}=\sum_{i=1}^3u^{i}\vec{g}_i \quad\text{und}\quad \vec{v}=\sum_{i=1}^3v^{i}\vec{g}_i}

mit Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^{i}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v^{i}} bezüglich eines beliebigen schiefwinkligen Basissystems Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_{1,2,3}} berechnet sich mit der Skalarproduktnorm zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}|\vec{u}-\vec{v}| :=&\sqrt{(\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})} =\sqrt{\sum_{i,j=1}^3(u^{i}-v^{i})\vec{g}_i\cdot (u^{j}-v^{j})\vec{g}_j} \\=&\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 (\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)(u^{i}-v^{i})(u^{j}-v^{j})} \end{align}} .

Das heißt, dass die Produkte der Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^{i}-v^{i}} des Koordinatenvektors des Abstandsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}-\vec{v}} im Skalarprodukt mit den Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i\cdot\vec{g}_j} gewichtet werden. In der Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}=\sum_{i,j=1}^3 (\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j)\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}^{j}}

werden die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i\cdot\vec{g}_j} deshalb Metrikkoeffizienten genannt, weil mit der Skalarproduktnorm die Metrik des Vektorraums vorgegeben ist. Sind die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_{1,2,3}} kovariant (Tangentenvektoren an das krummlinige Koordinaten­system) dann sind die Skalarprodukte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i\cdot\vec{g}_j} die kovarianten Metrikkoeffizienten. Entsprechend sind dann die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}^{i}\cdot\vec{g}^{j}} die kontravarianten Metrikkoeffizienten.

Einheitstensor vierter Stufe

Der Einheitstensor vierter Stufe bildet Tensoren zweiter Stufe auf sich selbst ab. Sind die Tensoren zweiter Stufe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace\mathbf{E}_{m}\rbrace_{m=1,9}} die Standardbasis des Raums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)} der Tensoren zweiter Stufe, dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{4}{\mathbf{1}}:=\sum_{m=1}^{9} \mathbf{E}_{m}\otimes\mathbf{E}_{m}}

der Einheitstensor vierter Stufe. Wird

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{E}_{m}:=\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j,\quad i,j=1,2,3,\;m=3(i-1)+j}

definiert, kann wie üblich auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{4}{\mathbf{1}}:= \sum_{i,j=1}^3 \vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j =\sum_{i,j,k,l=1}^3\delta_{ik}\delta_{jl} \vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_{l}}

geschrieben werden. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace\mathbf{G}_{m}\rbrace_{m={1,9}}} eine beliebige Basis des Raums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(\mathbb{V}^3,\mathbb{V}^3)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace\mathbf{G}^{n}\rbrace_{n={1,9}}} die dazu duale Basis, dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\stackrel{4}{\mathbf{1}} =&\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}^{m} =\sum_{m=1}^{9}\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}_{m} \\=&\sum_{m,n=1}^{9} (\mathbf{G}^{m}\cdot\mathbf{G}^{n})\mathbf{G}_{m}\otimes\mathbf{G}_{n} =\sum_{m,n=1}^{9} (\mathbf{G}_{m}\cdot\mathbf{G}_{n})\mathbf{G}^{m}\otimes\mathbf{G}^{n} \end{align}}

oder mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{G}_{m} =\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j, \quad i,j=1,2,3,\;m=3(i-1)+j}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{G}^{n} =\vec{a}^{k}\otimes\vec{g}^{l},\quad k,l=1,2,3,\;n=3(k-1)+l}

in der üblichen Schreibweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \stackrel{4}{\mathbf{1}} &=&\displaystyle \sum_{i,j=1}^3 \vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\otimes\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j} =\sum_{i,j=1}^3 \vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j}\otimes\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j \\ &=&\displaystyle \sum_{i,j,k,l=1}^3 (\vec{a}^{i}\cdot\vec{a}^{k})(\vec{g}^{j}\cdot\vec{g}^{l}) \vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\otimes\vec{a}_k\otimes\vec{g}_{l} \\ &=&\displaystyle \sum_{i,j,k,l=1}^3 (\vec{a}_i\cdot\vec{a}_k)(\vec{g}_j\cdot\vec{g}_{l}) \vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j}\otimes\vec{a}^{k}\otimes\vec{g}^{l} \end{array}} .

Beispiel

Die Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_{1} =\begin{pmatrix} 2\\3\\1\end{pmatrix},\; \vec{a}_{2}=\begin{pmatrix} 3\\-1\\2\end{pmatrix},\; \vec{a}_{3}=\begin{pmatrix} -3\\0\\-2\end{pmatrix}}

bilden eine Basis im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}^3} und ihre duale Basis ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}^{1}=\begin{pmatrix} 2\\0\\-3\end{pmatrix},\; \vec{a}^{2}=\begin{pmatrix} 6\\-1\\-9\end{pmatrix},\; \vec{a}^3=\begin{pmatrix} 7\\-1\\-11\end{pmatrix}} .

Damit bekommt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathbf{1} &=&\displaystyle \sum_{i=1}^3\vec{a}_i\otimes\vec{a}^{i} \\ &=&\begin{pmatrix} 2\\3\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 2\\0\\-3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\-1\\2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 6\\-1\\-9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3\\0\\-2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 7\\-1\\-11\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 4& 0& -6\\ 6& 0& -9\\ 2& 0& -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 18& -3& -27\\ -6& 1& 9\\ 12& -2& -18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -21& 3& 33\\ 0& 0& 0\\ -14& 2& 22 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \end{array}}

Siehe auch

Literatur

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
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