Diskussion:Einheitstensor

Einheitsmatrix

Hallo, was ist der Unterschied zwischen der Einheitsmatrix und dem Einheitstensor? --Christian1985 (Disk) 17:08, 8. Mai 2020 (CEST)

Ganz platt ist die Einheitsmatrix aus dem ℝ^n×n und der Einheitstensor aus dem L(V,V), dem Raum der linearen Abbildungen der Vektoren eines euklidischen Vektorraums auf sich. Beide Räume ℝ^n×n und L sind isomorph. Die Einheitmatrix und der Einheitstensor sind der Spezialfall der identischen Abbildung. Der Raum L ist in der Kontinuumsmechanik wichtig, wo er hilft physikalische Gesetze koordinatenunabhängig zu formulieren. Beispielsweise ist Newtons zweites Gesetz ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ koordinatenunabhängig wohingegen ${\begin{pmatrix}F_{x}\\0\\0\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\0\\0\end{pmatrix}}$ nur richtig ist, wenn die x-Richtung parallel zur Kraft ${\vec {F}}$ ist, das Koordinatensystem also richtig ausgerichtet ist. Deutlicher wird der Unterschied bei Betrachtung von allgemeinen Matrizen und Tensoren, siehe beispielsweise die aktive und passive Interpretation bei der euklidischen Transformation. Ist es etwas klarer geworden? --Alva2004 (Diskussion) 22:26, 11. Mai 2020 (CEST)

Okay also die Einheitsmatrix ist lediglich eine Darstellung des Einheitstensors. Wo ist nun aber der Unterscheid zwischen der identischen Abbildung und dem Einheitstensor? Ich hätte erwartet, dass der Einheitstensor als neutrales Element des des Tensorraums definiert wird und nicht direkt als Element von L(V,V). Natürlich sind ℝ^n×n, L(V,V) und $T_{1}^{1}(V)$ isomorph, wobei $T_{1}^{1}(V)$ der Tensorraum der Tensoren kontravariant der Stufe 1 und kovariant der Stufe 1 ist. Und natürlich kann man sich auch auf die Punkt stellen, dass es gar keinen Unterschied zwischen allen drei Räumen gibt. --Christian1985 (Disk) 23:21, 11. Mai 2020 (CEST)

Okay, ich bin Mechaniker und nicht Mathematiker, sodass Du Dich da vlt besser auskennst als ich. Imho enthält die identische Abbildung den Einheitstensor als Spezialfall, und dieser wiederum die Einheitsmatrix. Der Einheitstensor bildet Vektoren aufeinander ab, während die identische Abbildung jedes Element einer Menge auf sich abbildet. Mir sind Umschreibungen (unangenehm) aufgefallen wie "Einheitsmatrix im jeweiligen Koordinatensystem" und die wollte ich durch den Artikel vermeiden helfen. Wenn Du den Artikel verbessern kannst und dabei die Verständlichkeit für Mechaniker bleibt, dann nur zu! Vlt wäre ein Abschnitt für Mathematiker das Richtige? --Alva2004 (Diskussion) 22:55, 13. Mai 2020 (CEST)

Was hälst Du von der Definition aus diesem Buch [1] ? Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 17:14, 15. Mai 2020 (CEST)

Wie lautet die? (die google Vorschau ist mir nicht lesbar) Gruß zurück! --Alva2004 (Diskussion) 17:40, 15. Mai 2020 (CEST)

Ah, jetzt kann ich es lesen. Ja, die Definition gefällt mir. Die im Buch benutzte Notation ${\underline {\mathbf {E} }}_{\#\#}$ finde ich sehr schrecklich und ist in der Kontinuumsmechanik, wie ich sie kenne, und in der Wikipedia unüblich. ${\mathcal {E}}$ könnte man bei Schreibweisen aufführen. --Alva2004 (Diskussion) 08:26, 16. Mai 2020 (CEST)