Gâteaux-Differential

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion $f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Menge, die an der Stelle $x_{0}\in G$ differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{i}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots ,x_{0,i}+h,\ldots ,x_{0,n})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})

.

Insbesondere ergibt sich für $n=1$ das bekannte Differential

{\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen

Weierstraßsche Zerlegungsformel

Sei $f\colon D\subset X\to Y$ mit $D$ offen und $X,Y$ normierte Räume. Dann heißt $f$ in $x_{0}\in D$ Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion $A\in L(X,Y)$ existiert, sodass

\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}[f(x_{0}+th)-f(x_{0})-tAh]=0

für alle $h\in X$ mit $\lVert h\rVert =1$ . Dies ist äquivalent zu

f(x_{0}+th)-f(x_{0})=tAh+o(|t|)

.

Dann bezeichnet man $A=:f'(x_{0})$ als die Gâteaux-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ .

1. Variation; Variationsableitung

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich $f\colon D(f)\to \mathbb {R}$ ein in $D(f)\subseteq \Omega$ definiertes Funktional; $\Omega$ sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm $\|\cdot \|$ ) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei $x_{0}\in D(f)$ und $v\in \Omega$ . Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle $x_{0}$ in Richtung $v$ , falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach $\varepsilon$ :

\delta f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}

oder auch für $x_{1}\in D(f)$ durch

\delta f(x_{0},x_{1}-x_{0})=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot (x_{1}-x_{0}))-f(x_{0})}{\varepsilon }}\,.\,

Man beachte dabei $x_{0}\in D(f)$ , $v\in \Omega$ und ebenfalls $x_{1}-x_{0}$ darin, aber $\varepsilon \in \mathbb {R}$ .

Die Gâteaux-Ableitung nach $\varepsilon$ ist bezüglich der Größe $h:=x_{1}-x_{0}$ ein Funktional, das auch als 1. Variation von $f$ an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben $I$ bezeichnet, und statt der Größe $h:=x_{1}-x_{0}$ schreibt man meist $\delta q(x)$ , mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung ${\tfrac {dI(x+\varepsilon \cdot h)}{d\varepsilon }}_{\,|\varepsilon =0}$ führt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel

Für

f(\varepsilon ):=\int \,{\rm {d}}t\,{\mathcal {L}}\left(t,q(t)+\varepsilon \cdot \delta q(t),{\dot {q}}(t)+\varepsilon \cdot {\frac {{\rm {d}}(\delta q(t))}{{\rm {d}}t}}\right)

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form $\textstyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}\varepsilon }}(\varepsilon \to 0)\,=\,\int \,{\rm {d}}t\,{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\cdot \delta q(t)$ mit der Variationsableitung

{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q(t)}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}(t)}}\,.

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ${\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}$ einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n})$ . So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier $\delta f$ , das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

\delta ^{2}f(x_{0},v)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon ^{2}}}\right|_{\varepsilon =0}

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

\delta _{+}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}

beziehungsweise durch

\delta _{-}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von $f$ an der Stelle $x_{0}$ genannt. Für die zum Vektor $v$ gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ an der Stelle $x_{0}$ .

Gâteaux-Ableitung

Ist $\delta f(x_{0},v)$ ein in $v$ stetiges lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch $v\mapsto \delta f(x_{0},v)$ ist homogen, additiv und stetig im Argument $v$ ), dann heißt $f'(x_{0})$ Gâteaux-Ableitung an der Stelle $x_{0}$ und $f$ Gâteaux-differenzierbar in $x_{0}$ .

Eigenschaften der 1. Variation

Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet

$\delta f(x_{0},k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_{0},v)$

für alle $k\in \mathbb {R}$ . Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

Das Gâteaux-Differential ist eine lineare Operation, es gilt also

$\delta (f_{1}+f_{2})(x_{0},v)=\delta f_{1}(x_{0},v)+\delta f_{2}(x_{0},v).$

und

$k\cdot \delta f(x_{0},v)=\delta (k\cdot f)(x_{0},v).$

für alle $k\in \mathbb {R}$

Beispiele

$f(x_{1},x_{2})=1$ , falls $x_{2}=x_{1}^{2}$ , $x_{1}\neq 0$ bzw. $0$ sonst $\delta f((0,0),v)=\lim _{t\to 0}{\frac {0-0}{t}}=0$ .
$f(x)=|x|,\ x\in \mathbb {R} ^{n}$ $\delta _{+}f(0,v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {|0+\varepsilon \cdot v|-0}{\varepsilon }}=|v|$
$f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}\left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right)$ für $x_{2}\neq 0$ und $-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}$ für $x_{2}=0$ , $\nabla f(x_{1},x_{2})=\left(2\cdot x_{1}\cdot \left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right),-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}\right)^{T}$

$\delta f((0,0),v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {(\varepsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\varepsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\varepsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}$ (wobei $v=(v_{1},v_{2})^{T}$ )

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei $f\colon X\to \mathbb {R} ,\ X\subset D(f)\subset \Omega$ offen, $\Omega$ linearer normierter Raum, $x_{0}\in \operatorname {int} (X)$ (das Innere der Menge $X$ ), $\operatorname {int} (X)\neq \emptyset$ und $B_{\varepsilon }(x_{0})$ der offene Ball um $x_{0}$ mit Radius $\varepsilon$ . Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei $x_{0}$ ein lokales Minimum von $f$ auf $X$ , dann ist $\delta _{+}f(x_{0},v)\geq 0\ \forall v\in \Omega$ , falls das einseitige Gâteaux-Differential in $x_{0}$ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: $f$ besitze in $B_{\varepsilon }(x_{0})$ eine 2. Variation $\forall v\in \Omega$ und $\forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})$ . Falls gilt $\delta f(x_{0},v)=0\ \forall v\in \Omega$ und für ein $c>0$ $\delta ^{2}f(x_{0},v)\geq c\cdot \|v\|^{2}\ \forall v\in \Omega$ und $\forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})$ , dann ist $x_{0}$ strenge lokale Minimalstelle von $f$ auf $\operatorname {int} (X)$ .