Funktionalableitung

Die Funktionalableitung auch Variationsableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.

Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F\colon M\to \mathbb {K} } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}} ein (nicht zwingend lineares) Funktional, dann ist die erste Variation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta F[y]:= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[y+\varepsilon \phi]-F[y]}{\varepsilon} = \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\bigg\vert_{\varepsilon=0}}

für eine beliebige Funktion $\phi$ (in einem nicht näher bestimmten Funktionenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega(D)} ) mit der einzigen Bedingung, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y+\varepsilon \phi} eindeutig definiert ist für hinreichend kleine $\varepsilon >0$. Der Funktionenraum $\Omega (D)$ muss kein Unterraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} sein, so lange Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y+\varepsilon \phi \in M} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon > 0} ist.

Die Funktionalableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\delta F[y]}{\delta y(x)}} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} ist dann definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_D \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} \phi(x) \mathrm{d} x:= \left. \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\right |_{\varepsilon=0}} .

Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\delta F[Y]}{\delta y(x)}} gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} nicht möglich. Ein Funktional, für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation ${\tfrac {\delta }{\delta y(x)}}$ ausgedrückt werden soll.

Eigenschaften

Analog zur üblichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften.

1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung:

   Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(\alpha F[y]+\beta G[y])=\alpha {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}+\beta {\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}}

2. Für ein Produkt aus Funktionalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H[y] = F[y] G[y]} gilt die Produktregel:

   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\delta}{\delta y(x)} (F[y] G[y]) = F[y] \frac{\delta G[y]}{\delta y(x)} + \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} G[y] }

3. Falls $F$ linear ist, dann ist

   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F[y] = \int_{D} y(x) \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} dx} .

   Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil $F$ hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left\langle y, \frac{\delta F[y]}{\delta y} \right\rangle} darstellen.

4. Operiert das Funktional Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} zwischen Teilmengen von Banachräumen und ist die Funktionalableitung $y\mapsto {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}$ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eine lineare Abbildung, dann existiert auch die Fréchet-Ableitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und stimmt mit $\textstyle \int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}dx$ überein.

Beispiele

• Das nicht-lineare Funktional

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F[y] = \int_{\mathbb{R}} y(x)^2 g(x) dx}

hat die Funktionalableitung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)} , wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \int_{\mathbb{R}} \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} h(x) dx &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} (F[y+\varepsilon h]-F[y]) \\ &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} \left( \int_{\mathbb{R}} (y(x) + \varepsilon h(x))^2 g(x) dx - \int_{\mathbb{R}} y(x)^2 g(x) dx \right) \\ &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon} \int_{\mathbb{R}} 2 y(x) \varepsilon h(x) g(x) + \varepsilon^2 h(x)^2 g(x) dx \\ &= \int_{\mathbb{R}} 2 y(x) g(x) h(x) dx \end{align} } .

Da dies für alle Testfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} gelten muss, folgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)} .

• Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie. In der LDA-Näherung ist dort die Austauschenergie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_x[\varrho] := c \int_{\mathbb{R}} \varrho(r)^{4/3} d^3 r}

ein Funktional der Dichte $\varrho$. Das zugehörige Austauschpotential ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_x(r) := \frac{\delta E_x[\varrho]}{\delta \varrho(r)} = c \frac{4}{3} \varrho(r)^{1/3}} .

• Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varrho} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F[\varrho] = \frac{k}{2} \iint_{\mathbb{R}^6} \frac{\varrho(\mathbf{r}) \varrho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .}

Es gilt

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\delta F[\varrho ]}{\delta \varrho (\mathbf {r} )}}h(\mathbf {r} )d{\boldsymbol {r}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F[\varrho +\varepsilon h]-F[\varrho ])\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\frac {k}{2}}\left(\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {[\varrho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon h({\boldsymbol {r}})]\,[\varrho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon h({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'-\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\,\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\\&={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}})h({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\&={\frac {2k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'d{\boldsymbol {r}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'\right)h({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}$.

Da dies für alle Testfunktionen $h$ gelten muss, folgert man das Ergebnis

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta \varrho ({\boldsymbol {r}})}}=k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'} .

• In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist

$F[y]=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}$.

Mithilfe des Grenzwerts

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon a}-1}{\varepsilon }}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1+\varepsilon a+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}a^{2}+...-1}{\varepsilon }}=a$

zeigt man

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}g(x)=F[y]g(x)} .

• Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} mithilfe der Delta-Distribution als Funktional schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = F_x[f] := \int_{\mathbb{R}} f(y) \delta(x - y) dy} .

In diesem Sinne ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\delta f(x)}{\delta f(y)} = \delta(x - y)} .

Mögliche Voraussetzungen für die Existenz der Funktionalableitung

Die Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \mapsto \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[y+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}}

ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz-Markow angewandt werden. Dann gibt es ein Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} , so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta F[y] = \int_D y(x) \mathrm{d} \mu(x)} .

Kann man zusätzlich den Satz von Radon-Nikodým anwenden, so gibt es eine Dichtefunktion, so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta F[y] = \int_D y(x) \frac{\delta F[y]}{\delta y(x)} \mathrm{d} x}

gilt. Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung.

Siehe auch

• Variation
• Hamiltonsches Prinzip
• Euler-Lagrange-Gleichung