Vierervektor

Ein Vierervektor, ein Begriff der Relativitätstheorie, ist ein Vektor in einem reellen, vierdimensionalen Raum mit einem indefiniten Längenquadrat. Beispielsweise sind die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit die Komponenten eines Vierervektors, ebenso die Energie und der Impuls eines Teilchens.

In zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen lassen sich die Komponenten der beiden Vierervektoren durch eine Lorentz-Transformation ineinander überführen.

Schreibweise

Man verwendet die Abkürzungen

• $a^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})$ für die kontravariante
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\mu = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a^0, -a^1 ,-a^2, -a^3)} für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. (Details zu kontra- und kovarianten Vektoren ↓)

Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen, während lateinische Indizes nur die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten durchlaufen. Dabei werden in der Relativitätstheorie bevorzugt die Buchstaben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu,\nu} geschrieben.

Hierbei wurde die Metrik des Minkowskiraums der speziellen Relativitätstheorie benutzt und der zugehörige metrische Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_{\mu \nu}} , in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der (ortsabhängige) metrische Tensor $g_{\mu \nu }$ zu wählen.

Ortsvektor

Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} als auch die Raumkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf x = (x,y,z)} eines Ereignisses. Die Zeitkoordinate wird in der Relativitätstheorie mit der Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} multipliziert, so dass sie wie die Raumkoordinaten die Dimension einer Länge hat.

Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf x)} .

Dass $x^{\mu }$ ein kontravarianter Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowskiraums ist und sich dementsprechend bei Basiswechsel kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation ändert.

In der Metrik der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte Vorzeichen der drei Raumkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d s^2 = c^2 \mathrm d t^2 - \mathrm d x^2 - \mathrm d y^2 - \mathrm d z^2}

Die Metrik hat also die Signatur (+ − − −) oder (− + + +). Insbesondere in Texten zur speziellen Relativitätstheorie wird überwiegend die erste Signatur verwendet, dies ist aber nur eine Konvention und variiert je nach Autor.

Abgeleitete Vierervektoren

Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.

Vierergeschwindigkeit

Der Vierervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\mu} der Geschwindigkeit ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^\mu} nach der Eigenzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\tau} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\mu = \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}}

mit der Eigenzeit $\tau$, die über die Zeitdilatation mit der Koordinatenzeit $t$ verknüpft ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \, \mathrm d t,}

mit dem Lorentzfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \left( \dfrac{\mathbf v}{c} \right) ^2}}.}

Daraus folgt für die Vierergeschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\mu = \gamma\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(c\ t,\ x,\ y,\ z) = \gamma\ \left(c,\ \dot x,\ \dot y,\ \dot z\right) = \gamma\ (c,\ \mathbf v)}

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

$|u^{\mu }|={\sqrt {u^{\mu }\ u^{\nu }\ \eta _{\mu \nu }}}={\sqrt {u_{\mu }\ u^{\mu }}}={\sqrt {\gamma ^{2}\ (c^{2}\ -\ \mathbf {v} ^{2})}}=c$ .

Viererimpuls

Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p^\mu\ =\ m\ u^\mu = (\gamma\ m\ c,\ \gamma\ m\ \mathbf v),}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Masse des Körpers ist. Im Vergleich mit der Newtonschen Mechanik wird die Kombination $\gamma m$ zuweilen als „dynamisch zunehmende Masse“ interpretiert und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} als „Ruhemasse“ bezeichnet, was allerdings leicht zu falschen Schlussfolgerungen durch eine hier unangemessene klassische Betrachtungsweise führen kann. Im konsequenten Viererkalkül ohne Bezug auf die nicht-relativistische Physik ist nur die koordinatenunabhängige Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} von praktischer Bedeutung.

Mit der Äquivalenz von Masse und Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\ =\ \gamma\ m\ c^2} kann der Viererimpuls geschrieben werden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p^\mu\ =\ \left( E/c,\ \mathbf p \right)}

mit dem relativistischen räumlichen Impuls $\mathbf {p} \ =\ \gamma \ m\ \mathbf {v}$, der sich vom klassischen Impulsvektor um den Lorentzfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} unterscheidet.

Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.

Aus dem Quadrat der Norm des Viererimpulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_\mu\ p^\mu} ergibt sich die Energie-Impuls-Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E^2\ -\ \mathbf p^2\ c^2\ =\ m^2\ c^4,}

aus der eine zeit- und ortsunabhängige Hamilton-Funktion für freie, relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.

Viererbeschleunigung

Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\mu\ =\ \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} erhält man die Viererbeschleunigung.

Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d u^0}{\mathrm d \tau}\ =\ c\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}\ \gamma\ =\ c\ \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \gamma\ =\ c\ \gamma\ \cdot\ \frac{\gamma^3}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \frac{\gamma^4}{c}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).}

Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{j}}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\gamma \ \mathbf {v} \right)\ =\ \gamma \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\gamma \ \mathbf {v} \right)\ =\ {\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ \cdot \ \mathbf {v} \ +\ \gamma ^{2}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}.}

Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ {\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}\ \mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ (c,\ \mathbf {v} )\ +\ \gamma ^{2}\ \left(0,\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right).}

Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\gamma^4}{c^2}} und einem Teil mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma^2} . Man erhält also für Beschleunigungen parallele und orthogonal zu $\mathbf {v}$ unterschiedliche Viererbeschleunigungen. Mit der Graßmann-Identität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ -\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \mathbf v\right)}

kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man findet, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\ =\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ \left(1\ -\ \frac{\mathbf v^2}{c^2}\right)\ +\ \frac{1}{c^2}\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \frac{1}{\gamma^2}\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)}

ist. Es folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d u^j}{\mathrm d \tau}\ =\ \gamma^4\ \left(\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right).}

und somit insgesamt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d u^\mu}{\mathrm d \tau}\ =\ \gamma^4\ \left(\frac{1}{c}\ \mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t},\ \ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right)}

Viererkraft und Bewegungsgleichung

Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowskikraft genannt, analog zur entsprechenden newtonschen Kraft definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^\mu = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t}}

Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}} in Beziehung gesetzt werden: In dem Inertialsystem, in dem die Masse annähernd ruht (sie ruhe zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} , dann gilt für genügend kleines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} wegen der beschränkten Beschleunigung:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \ll c} ), muss die klassische Newtonsche Gleichung gelten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf F \end{pmatrix} = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = \frac{1}{\gamma}\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} \Rightarrow \mathbf F = \frac{1}{\gamma} K^i \Leftrightarrow K^i= \gamma \, \mathbf F}

mit dem räumlichen Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^i = (K^1, K^2, K^3)} der Viererkraft.

In einem beliebigen Inertialsystem gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} K^0 \\ K^1 \\ K^2 \\ K^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\ \mathbf F_{\perp \mathbf u} + \gamma \mathbf F_{\| \mathbf u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\ \left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \end{pmatrix}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf u = \gamma \mathbf v} der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der Minkowskikraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} multipliziert ist.

Die durch die Beschleunigung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^\mu} übertragene Leistung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c K^0} .

In dem Spezialfall, dass eine Newton’sche Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf F} allein parallel zur Geschwindigkeit wirkt, folgt aus der Bewegungsgleichung für Vierervektoren der Zusammenhang zwischen Newton’scher Kraft und räumlicher Beschleunigung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf F = \gamma^3 m\mathbf a}

Für räumliche Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung folgt hingegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf F = \gamma m\mathbf a} .

Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ relativistischen Masse für den Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma m} ist daher im Vergleich mit der Newton’schen Bewegungsgleichung missverständlich. Denn für beliebige Raumrichtungen ist der Zusammenhang zwischen den räumlichen Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf a} zwar linear, aber keine einfache Proportionalität.

Ko- und kontravariante Vektoren

Die Komponenten eines kontravarianten Vierervektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} gehen bei Lorentztransformationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} über in:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^\prime = \Lambda \, a}

Man schreibt seine Komponenten mit oben stehenden Zahlen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = (a^0, a^1, a^2, a^3)}

Die Komponenten eines kovarianten Vierervektors folgen dem kontragredienten (entgegengesetzten) Transformationsgesetz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b^\prime = \Lambda^{-1 \, \text{T}} \, b}

Man schreibt seine Komponenten mit unten stehenden Zahlen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = (b_0, b_1, b_2, b_3)}

Die beiden Transformationsgesetze sind nicht gleich, aber äquivalent, denn definitionsgemäß erfüllen sie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda^{-1 \, \text{T}} = \eta \, \Lambda \, \eta^{-1}}

mit der üblichen Minkowski-Metrik der SRT:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1) = \eta^{\mu \nu}}

Daher ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\mu} = (a_0, a_1, a_2, a_3) = \eta_{\mu \nu} a^{\nu} = \eta \, a = (a^{0}, -a^{1}, -a^{2}, -a^{3}) }

die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } zugeordnet ist.

Dabei wird bei den Vierervektorindizes die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Das innere Produkt zweier Vierervektoren im Minkowskiraum ist gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\mu} b^{\mu} = \eta_{\mu \nu} a^{\nu} b^{\mu} = a_0 b_0 - a_1 b_1 -a_2 b_2 - a_3 b_3}

Beispielsweise sind die partiellen Ableitungen einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} die Komponenten eines kovarianten Vektors.

Lorentztransformationen bilden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ab auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^\prime = \Lambda \, x}

und definieren die transformierte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^\prime = f\circ \Lambda^{-1}} durch die Forderung, dass sie am transformierten Ort denselben Wert habe, wie die ursprüngliche Funktion am ursprünglichen Ort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^\prime(x^\prime) = f(x)}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^\prime(x) = f(\Lambda^{-1} \, x)}

Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial f^\prime}{\partial x^m}(x) = \frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^n}{\partial x^m}\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} = \Lambda^{-1\,n}{}_m\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} = \Lambda^{-1 \,\text{T}}{}_m{}^n\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} }

Siehe auch

• Vierertensor

Literatur

• L. D. Landau: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 2: L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Klassische Feldtheorie. 12. überarbeitete Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1997, ISBN 3-8171-1327-7.
• Torsten Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14331-2 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie).
• Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 3a: Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4.
• Reinhard Meinel: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie für Bachelorstudenten. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58966-3.

Weblinks

• Norbert Dragon Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,4 MB).