Elliptische Koordinaten

Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Exzentrizität ist hier mit e bezeichnet.

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch verschiedene Erweiterungen elliptischer Koordinaten zu 3-dimensionalen Koordinaten.

Definition

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen $-c$ und $+c$ auf der $x$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten $(u,v)$ hat dann die kartesischen Koordinaten

$x=c\cdot \cosh u\cdot \cos v$

$y=c\cdot \sinh u\cdot \sin v$

mit $u\in \left[0,\infty \right[$ und $v\in \left[0,2\pi \right[$. Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

$x+iy=c\cdot \cosh(u+iv).$

Transformationen

Zur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten $(u,v)\rightarrow (x,y)$ werden die obigen Beziehungen verwendet.

Um die inverse Transformation $(x,y)\rightarrow (u,v)$ durchzuführen, muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen. Diese besagt, dass der Punkt $(x|y)$ sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss. Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben. Mithilfe der Ellipsen- und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten in Hauptlage folgt daraus:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cosh u)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(c\sinh u)^{2}}}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1={\frac {x^{2}}{(c\cos v)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(c\sin v)^{2}}}$

Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfüllt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

folgende Transformationsvorschriften ableiten:

$c^{2}\sinh ^{2}u={\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}\right)^{2}+c^{2}y^{2}}}=m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$

$c^{2}\sin ^{2}v=-{\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}\right)^{2}+c^{2}y^{2}}}=-m+{\sqrt {m^{2}+c^{2}y^{2}}}$

mit der schreibvereinfachenden Substitution $m:={\tfrac {x^{2}+y^{2}-c^{2}}{2}}$.

Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich durch einen Zwischenschritt über kartesische Koordinaten durchführen.

Eigenschaften

Die $u$-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die $v$-Koordinatenlinien Ellipsen. Für $u=0$ ist die $v$-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für $v=0$ ist die $u$-Koordinatenlinie zur Halbgeraden $\left[c,\infty \right[$ auf der $x$-Achse entartet, für $v=\pi$ zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen $x$-Achse. Für $v={\tfrac {\pi }{2}}$ und $v={\tfrac {3\pi }{2}}$ ist die $u$-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative $y$-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität $e=c$. Die Ellipsen, auf denen $u$ konstant ist, haben die große Halbachse $a=c\cosh u$, die kleine Halbachse $b=c\sinh u$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\tfrac {1}{\cosh u}}$. Die Hyperbeln, auf denen $v$ konstant ist, haben die reelle Halbachse $a=c\cos v$, die imaginäre Halbachse $b=c\sin v$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\tfrac {1}{\cos v}}$.

Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse ($a^{2}=e^{2}+b^{2}$) bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln ($a^{2}=e^{2}-b^{2}$) trivial erfüllen.

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

Elliptische Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden.

1. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische $z$-Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt.
2. Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates) oder um deren kleine Achse (Oblate spheroidal coordinates).
3. Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die räumlichen elliptischen Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.

Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung komplett separiert, aber dennoch nicht analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten.

Literatur

• D.D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Elliptic Cylindrical Coordinates. In: MathWorld (englisch).