Satz vom abgeschlossenen Bild

Der Satz vom abgeschlossenen Bild ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er macht eine Aussage darüber, wann das Bild eines stetigen linearen Operators abgeschlossen ist.

Motivation

Ist $A:E\rightarrow F$ ein stetiger linearer Operator zwischen normierten Räumen, so erklärt man den dualen Operator $A':F'\rightarrow E'$ durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(\psi):=\psi\circ A} .

Für einen Unterraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subset E} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U^\circ := \{\phi\in E'\mid \forall x\in U: \phi(x)=0\}} , das ist der Unterraum im Dualraum, der aus allen stetigen linearen Funktionalen besteht, die auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} verschwinden. Für einen Unterraum $V\subset E\,'$ definiert man analog einen Unterraum in $E$ durch die Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^\circ V := \{x\in E \mid \forall \phi\in V: \phi(x) = 0\}} . (In der Literatur findet man dafür auch die Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V^\circ} und nimmt damit eine Mehrdeutigkeit der Bezeichnung in Kauf.)

Mit Hilfe des Trennungssatzes (bzw. des Satzes von Hahn-Banach) zeigt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ker}(A\,') = \operatorname{im(A)}^\circ} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ker}(A) = \,^\circ\! \operatorname{im}(A')} , wobei „ker“ und „im“ für Kern und Bild eines Operators stehen. Eine derartige Beziehung ist aus der linearen Algebra vertraut. Entsprechend würde man eine analoge Formel wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A) = \,^\circ\!\operatorname{ker}(A')} erwarten, die aber im Allgemeinen nicht gelten kann, denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^\circ \operatorname{ker}(A\,')} ist stets abgeschlossen, das Bild eines stetigen linearen Operators hingegen im Allgemeinen nicht. Ist z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0} der Banachraum aller Nullfolgen, so ist $A:c_{0}\rightarrow c_{0},\,(a_{n})_{n}\mapsto ({\tfrac {1}{n}}\cdot a_{n})_{n}$ ein stetiger linearer Operator mit dichtem (also nicht-abgeschlossenem) Bild. Ein derartiges Phänomen kann in der linearen Algebra, d. h. bei endlichdimensionalen Räumen, nicht auftreten. Um zu der aus der linearen Algebra erwarteten Formel zu gelangen, muss man also die Abgeschlossenheit des Bildraums voraussetzen. Dies erweist sich als ausreichend und äquivalent zur entsprechenden Aussage über den dualen Operator:

Satz vom abgeschlossenen Bild

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} Banachräume und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A:E\rightarrow F} ein stetiger linearer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A)^{ }\,} ist abgeschlossen.
• $\operatorname {im} (A)=\,^{\circ }\operatorname {ker} (A\,')$.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A')} ist abgeschlossen.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A') = \operatorname{ker}(A)^\circ} .

Für allgemeine normierte Räume gilt dieser Satz nicht. So hat z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \mathrm{id}_{\ell^1}:\ell^1\rightarrow (\ell^1,\|\cdot\|_\infty)} ein abgeschlossenes Bild (weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} surjektiv ist!), aber der duale Operator, der mit den üblichen Identifikationen bei Folgenräumen gleich der Inklusionsabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell^1\rightarrow \ell^\infty} ist, hat kein abgeschlossenes Bild.

Anwendung

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A:E\rightarrow F} und $B:F\rightarrow G$ stetige lineare Operatoren zwischen Banachräumen, so kann man daraus die Sequenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\rightarrow E \stackrel{A}{\rightarrow} F \stackrel{B}{\rightarrow} G\rightarrow 0 }

bilden, wobei 0 für den Nullvektorraum stehe, und die Frage nach der Exaktheit stellen. Die angegebene Sequenz ist genau dann exakt, wenn die duale Sequenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\rightarrow G' \stackrel{B'}{\rightarrow} F' \stackrel{A'}{\rightarrow} E'\rightarrow 0 }

exakt ist. Ist nämlich die Ausgangssequenz exakt, so sind die Bilder von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} abgeschlossen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A) = \operatorname{ker}(B) } . Daher sind nach obigem Satz auch die Bilder von $A\,'$ und $B\,'$ abgeschlossen, und es folgt

$\operatorname {ker} (B')=\operatorname {im} (B)^{\circ }=G^{\circ }=0$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(B') = \operatorname{ker}(B)^\circ = \operatorname{im}(A)^\circ = \operatorname{ker}(A') }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{im}(A') = \operatorname{ker}(A)^\circ = 0^\circ = E' } .

Das bedeutet Exaktheit der dualen Sequenz. Genauso folgt die Exaktheit der Ausgangssequenz aus der Exaktheit der dualen Sequenz.

Literatur

• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8.