Beschränkter Operator

In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, wenn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren sind genau dann beschränkt, wenn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren oft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

Definitionen

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon X\to Y} .

Ein beschränkter Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon X\to Y} ist ein linearer Operator, für den es ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert} für alle $x\in X$ gibt.

Die kleinste Konstante $M$ mit $\Vert Tx\Vert \leq M\Vert x\Vert$ für alle $x\in X$ wird als Norm $\Vert T\Vert$ von $T$ bezeichnet. Für sie gilt

$\Vert T\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Tx\Vert$

und für alle $x\in X$ die Ungleichung

$\Vert Tx\Vert \leq \Vert T\Vert \Vert x\Vert$.

Stetigkeit

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist, also eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• falls $x_{n}\to x$, so gilt $Tx_{n}\to Tx$ in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik,
• für alle $x_{0}\in X$ und alle $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ mit

$\Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Tx-Tx_{0}\Vert <\epsilon$,

• Urbilder offener Mengen sind offen.

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn die Linearität vorausgesetzt wird, spricht man häufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschränkten Operatoren. Ist der Bildraum der Skalarenkörper, sagt man Funktional statt Operator.

Weiterhin sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $T$ ist stetig.
• $T$ ist stetig in 0.
• $T$ ist gleichmäßig stetig.
• $T$ ist beschränkt.

Beispiele

• Wenn $X$ endlich-dimensional ist, dann ist jeder lineare Operator $T\colon X\to Y$ stetig.
• Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat, dann sind die Normen genau dann äquivalent, wenn die Identitätsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind.
• Das durch $T(f):=f(0)$ definierte Funktional $T\colon C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ ist stetig mit $\Vert T\Vert =1$, wobei $C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )$ wie üblich mit der Supremumsnorm versehen ist.
• Das durch $T(f):=f(0)+f^{\prime }(0)$ definierte Funktional $T\colon C^{1}(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ ist stetig mit $\Vert T\Vert =1$.
• Das durch $\textstyle T(f):=\int _{0}^{1}f(x)dx$ definierte Funktional $T\colon C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ ist stetig mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert T\Vert=1} .
• Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in L^q(\R)} das durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle T(f):=\int_{\R}fg} definierte Funktional Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon L^p(\R)\to\R} stetig ist mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert T\Vert=\Vert g\Vert_{L^q}} .
• Der durch eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\colon\left[0,1\right]^2\to\R} und $\textstyle Tf(x):=\int _{0}^{1}k(x,y)f(y)da$ definierte Integraloperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon C(\left[0,1\right])\to C(\left[0,1\right])} ist stetig und es gilt die Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert T\Vert\le\Vert k\Vert_\infty} .
• Der Differentialoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{d}{dx}} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^1\left[0,1\right]} ist für die Supremumsnorm kein stetiger Operator. Zum Beispiel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert x^n\Vert_\infty=1} , aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert\tfrac{d}{dx}x^n\Vert_\infty=n} . Der Operator ist aber stetig als Operator ${\tfrac {d}{dx}}\colon C^{1}(\left[0,1\right])\to C(\left[0,1\right])$.

Der Raum der stetigen Operatoren

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X,Y} normierte Vektorräume. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(X,Y)=\left\{T\colon X\to Y\mid T\mbox{ ist linear und stetig}\right\}}

mit der Operatornorm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert .\Vert} ein normierter Vektorraum.

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} vollständig ist, dann ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(X,Y)} vollständig.

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D\subset X} ein dichter Unterraum und $Y$ vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in L(D,Y)} eine eindeutige stetige Fortsetzung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \widehat{T}\in L(X,Y)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert\widehat{T}\Vert=\Vert T\Vert} .

Beschränkte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen

Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator $T\colon X\to Y$ zwischen topologischen Vektorräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und $Y$ beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon X \to Y} stetig, genau dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein bornologischer Raum ist.

Beschränkte Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen

→ Hauptartikel: Beschränkte Abbildung

Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen auch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.

Sind also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon V\to W} beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. Teubner, Wiesbaden 1975, 4. durchgesehene Auflage ebenda 2006, ISBN 3-8351-0026-2.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, ISBN 3642210163.