Diskussion:Normalteiler

zur Definition

"N ist ein Normalteiler von G genau dann, wenn... 1., 2., 3., 4.... Formal ist die Bedingung 1. schwächer als 2. und diese schwächer als 3."

Die "genau dann, wenn"-Formulierung impliziert, dass diese 4 Definitionen äquivalent sind. Warum sind die Bedingungen dann nicht "gleich stark"? 89.247.151.194 01:47, 13. Okt. 2010 (CEST)

Ich halte das auch nicht für sinnvoll und habe es entfernt. --91.32.81.117 15:25, 22. Feb. 2011 (CET)

siehe auch Abschnitt #Äquivalent und „formal stärker“ --91.32.81.159 10:23, 23. Feb. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das ist schon lange nicht mehr aktuell.FerdiBf (Diskussion) 13:21, 12. Apr. 2016 (CEST)

Isomorphiesätze falsch verlinkt

Unter #Isomorphiesätze ist wohl Homomorphiesatz gemeint. Hier wird scheinbar nicht konsistent verlinkt. --129.13.251.76 10:58, 4. Apr. 2007 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das ist schon lange nicht mehr aktuell.FerdiBf (Diskussion) 13:21, 12. Apr. 2016 (CEST)

Redundanz Faktorgruppe

Sowohl im Artikel Gruppentheorie, Normalteiler, als auch im Artikel Faktorgruppe wird die Faktorgruppe beschrieben. Leider in keinem der Artikel sehr ausführlich und es fehlen in allen Beispiele. Ich würde dies gerne überarbeiten. Allerdings ist es auch nicht sinvoll in allen Artikel das gleiche zu schreiben. Deshalb wäre es gut in einem der Artikel die Faktorgruppe genauer zu beschreiben und in den anderen Artikeln nur darauf zu verweisen. Welchen Artikel, das würd ich gern hier zur Diskussion stellen.Gruß Azrael. 14:15, 4. Apr. 2007 (CEST)

Hier möchte ich widersprechen. M. E. sollte jeder Artikel möglichst für sich verständlich sein, also ohne Rückgriff auf andere Artikel. Redundanz ist m. E. gut, nicht nur hier, sondern überhaupt in der Didaktik. Ich stimme dem Benutzer Azrael jedoch darin zu, dass Definitionen möglichst auch an Bespielen erläutert werden sollten. Mit freundlichem Gruß --Hanfried.lenz 20:11, 1. Nov. 2007 (CET).

Gewisse Redundanzen lassen sich bei verwandten aber unterschiedlichen Begriffen prinzipiell nicht vermeiden. Faktorgruppe und Normalteiler sind so ein Begriffspaar.--FerdiBf (Diskussion) 13:24, 12. Apr. 2016 (CEST)

Erster Satz zu verschachtelt

Man sollte vielleicht überlegen, ob man den ersten Satz nicht etwas verbessern könnte. Meiner Meinung nach ist er zu verschachtelt und hat zuviele Nebensätze, wodurch er sehr schwer zu lesen ist. 217.226.137.133 12:19, 6. Dez. 2009 (CET)

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Äquivalent und „formal stärker“

Was hat das zu bedeuten? Wie soll denn eine Aussage stärker sein, wenn die Definitionen alle äquivalent sind? --Chricho ¹ 13:53, 22. Feb. 2011 (CET)

Ich halte das auch nicht für sinnvoll und habe es entfernt. --91.32.81.117 15:25, 22. Feb. 2011 (CET)

siehe auch Abschnitt #zur Definition --91.32.81.159 10:23, 23. Feb. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das ist schon lange nicht mehr aktuell.FerdiBf (Diskussion) 13:21, 12. Apr. 2016 (CEST)

Definition von Nebenklasse

In der Definition von Linksnebenklassen sieht es so aus, als würde auch das Gruppenelement die Gruppe durchlaufen, eigentlich eher: $gN=\{gn\,|\,n\in N\}$. (nicht signierter Beitrag von 84.58.161.238 (Diskussion) 14:22, 11. Mär. 2011 (CET))

danke, korrigiert. --91.32.118.244 17:01, 11. Mär. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das ist schon lange nicht mehr aktuell.FerdiBf (Diskussion) 13:21, 12. Apr. 2016 (CEST)

Keine Beispiele!

Im ganzen Artikel finden sich keinerlei praktische/konkrete Beispiele von Normalteilern! Das ist für eine Enzyklopädie ziemlich arm. --188.155.16.223 17:01, 20. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe Beispiele eingefügt. Genügt das so? --FerdiBf (Diskussion) 13:28, 12. Apr. 2016 (CEST)

Einleitungsabschnitt konfus

Im Einleitungsabschnitt weiß man nicht, ob von den Homomorphismen oder dem eigentlichen Thema, den Normalteilern die Rede ist. Das geht hin und her, kreuz und quer. --91.10.112.96 00:52, 9. Nov. 2015 (CET)

Du hast ja recht. Aber wie machen wir es besser? Eigentlich sollten Gruppenhomomorphismus, Normalteiler und Faktorgruppe als ein Artikel dastehen, weil keiner dieser Begriffe ohne die anderen beiden angemessen besprochen werden kann. Das Dach über allem könnte 'Gruppenhomomorphismus' sein. Aber eine solche Vereinigung in einen Artikel ist mir zu viel Arbeit. Ganz abgesehen davon, dass es erst noch eine endlose Diskussion gäbe.- Binse (Diskussion) 23:28, 9. Nov. 2015 (CET)

Den zweiten Teil des Satzes "Diese Faktorgruppen sind die möglichen homomorphen Bilder der Gruppe, die dabei auftretenden Homomorphismen alle Homomorphismen der Gruppe." verstehe ich nicht. In dem Rest der Einleitung habe ich gerade keine Probleme gefunden. Könnt ihr Euro Kritik etwas präzisieren? Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 23:36, 20. Dez. 2015 (CET)

Besser so? Den dritten Satz (über die praktische Bedeutung der Homomorphismen) könnte man meinetwegen auch ersatzlos streichen (und danach dann auch wieder den dritten mit dem zweiten Absatz zusammenlegen). --Franz 01:55, 21. Dez. 2015 (CET)

Den Satz, den Christian1985 moniert, hast Du, FranzR - zum Teil mit Recht - ja inzwischen eliminiert. Gemeint war jedenfalls, dass man alle Homomorphismen der Gruppe kennt, wenn man alle Normalteiler kennt: Außer den Homomorphismen der Gruppe auf die mit ihren Normalteilern gebildeten Faktorgruppen gibt es nur noch solche, die danach noch einen Isomorphismus enthalten; und ein Isomorphismus verändert ja die Struktur nicht. Die Feststellung finde ich an sich sehr wichtig. Tatsächlich ist sie es, die den Normalteilern ihre Bedeutung gibt. Nur gehört sie wohl eher in den Artikel über Gruppenhomomorphismen, den es nicht gibt, oder, meinetwegen in Homomorphiesatz.- Binse (Diskussion) 02:40, 21. Dez. 2015 (CET)

Nur um Mißverständnissen vorzubeugen: Ich habe den von Christian erwähnten Satz nicht „eliminiert“, sondern nur abgeändert. Aus jener …

Diese Faktorgruppen sind die möglichen homomorphen Bilder der Gruppe, die dabei auftretenden Homomorphismen alle Homomorphismen der Gruppe.

… alten Version habe ich diese …

Diese Faktorgruppen sind homomorphe Bilder von $G$, und jedes homomorphe Bild von $G$ ist zu einer solchen Faktorgruppe $G/N$ isomorph.

… neue Version gemacht. Im zweiten Teil wird behauptet, daß auch umgekehrt (im Wesentlichen, d. h., bis auf Isomorphie) jedes homomorphe Bild eine Faktorgruppe ist (daß es also keine anderen Homomorphismen gibt als solche mit einem Normalteiler als Kern und der zugehörigen Faktorgruppe als Bild, wie es die alte Version auszudrücken versuchte). --Franz 03:10, 21. Dez. 2015 (CET)

Hast recht Franz, und ich war heut nacht etwas müde und ungenau. Ich will aber noch darauf hinweisen, dass Deine Formulierung deutlich schwächer ist als die alte: Alle (kanonischen) Homomorphismen zu kennen, ist wirklich mehr als alle homomorphen Bilder kennen. Verschiedene Normalteiler geben stets auch verschiedene Homorphismen. Die Faktorgruppen können aber durchaus (im Extremfall alle) isomorph sein. In meiner nichtmathematischen Analogie entsprich das: Ich muss die Bilder der drei Projektionen kenne, auch wenn sie zufällig gleich sind. Nur zusammen mit der jeweiligen Projektionsrichtung informieren sie optimal. Verschiedene Homomorphismen bedeuten verschiedene Blickwinkel auf die Gruppe.- Binse (Diskussion) 13:39, 21. Dez. 2015 (CET)

Wie wäre es diese Analogie (aus dem ersten Abschnitt) in die einleitung zu verschieben? Grüße--Christian1985 (Disk) 13:47, 21. Dez. 2015 (CET)

Bitte fühlt Euch beide frei, meinen (ziemlich rasch erstellten) Vorschlag weiter zu optimieren zu versuchen! Liebe Grüße, Franz 18:11, 21. Dez. 2015 (CET)

Während ich das "nichtmathematische Beispiele" mit Aufriss und Seitenansicht usw. gar nicht so schlecht finde, ist das hier ein bisschen schlecht platziert - es geht darin nämlich gar nicht um Normalteiler. In dem Sinne finde ich es eigentlich hier nur verwirrend... --χario 17:20, 20. Jan. 2016 (CET)

"Aufriss und Seitenansicht" habe ich entfernt. Es geht tatsächlich nicht um Normalteiler sondern bestenfalls um Abbilder in Faktorgruppen. Das semidirekte Produkt würde ich auch gerne entfernen (maximal in einer "Siehe auch"-Liste unterbringen), hier liegt eine klare Redundanz vor. Gibt es dazu ein Meinungsbild?--FerdiBf (Diskussion) 16:39, 12. Apr. 2016 (CEST)

Direkte und semidirekte Produkte

Der Artikel enthält meiner Meinung nach in den ersten Abschnitten nichts Überflüssiges mehr (der Homomorphiesatz selbst gehört hier nicht hin, das habe ich deshalb entfernt). Unnachsichtig habe ich im "Siehe auch" aufgeräumt. Der Hinweis auf die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen gehört hier nicht hin (Normalteiler spielen tragende Rolle). Auch den Hinweis auf die Sylowsätze habe ich enfernt, denn die sichern die Existenz gewisser Untergruppen, die nur in Ausnahmefällen Normalteiler sind. Es bleiben die beiden Abschnitte über direkte und semidirekte Produkte. Ich sehe hier drei Möglichkeiten:

1. Stehen lassen, da es ja etwas mit Normalteilern zu tun hat
2. "Inneres semidirektes Produkt" entfernen und "Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt" stehen lassen, Semidirektes Produkt ins "Siehe auch" aufnehmen.
3. Beide entfernen und ins "Siehe auch" aufnehmen.

Meine Präferenz ist (3), mit (2) könnte ich mich auch anfreunden. Gibt es dazu ein Meinungsbild?--FerdiBf (Diskussion) 08:43, 14. Aug. 2016 (CEST)

Bis auf weiteres bleibt der Text zum semidirekten Produkt stehen. Ich denke der Baustein kann weg.--FerdiBf (Diskussion) 07:56, 13. Nov. 2016 (CET)

Überarbeiten

Dieser Artikel war in der Mathe-QS in der Mängelliste "Überarbeiten" geführt. Nach den hier vorgenommenen Änderungen habe ich den Artikel aus dieser Liste entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 19:24, 27. Nov. 2016 (CET)

Linksnebenklassen =?= Rechtsnebenklassen

Fehlt eine Definition von $N\backslash G$. Ist das $N\setminus G$? –Nomen4Omen (Diskussion) 21:52, 26. Okt. 2020 (CET)

$N\backslash G=\{Ng:g\in G\}$ (siehe auch Gruppentheorie#Nebenklassen). --Jobu0101 (Diskussion) 23:11, 26. Okt. 2020 (CET)

Dann bin ich doch so froh, dass ich Deinen Beitrag rausgestrichen habe. Denn weder wird die Schreibweise $G/N$ verwendet, wenn $N$ nicht Normalteiler ist (dann ist nämlich weder $\{gN:g\in G\}$ noch $\{Ng:g\in G\}$ eine Gruppe, siehe Normalteiler#Faktorgruppe letzter Satz!) noch findet sich irgendwo eine Definition für Dein $N\backslash G$. Und dass es Links- wie Rechtsnebenklassen gibt, wusste ich auch schon vor Deinem süßen Hinweis auf Gruppentheorie#Nebenklassen. Und dass, wenn $N$ doch Normalteiler ist, linke mit rechter Nebenklasse übereinstimmt, steht ja unter 3. direkt darüber.

Und in der Tat, wenn man Deinen Beiträgen so ein bisschen nachspürt, zwingt sich der Eindruck auf, dass Dir Deine Kreativität so außerordentlich viel wichtiger ist als alles andere. Vielleicht bist Du unter den Schriftstellern und Märchenerzählern doch besser aufgehoben als unter den Wikipedianern. –Nomen4Omen (Diskussion) 15:30, 27. Okt. 2020 (CET)

Die Schreibweise $G/N$ wird durchaus auch dann verwendet, wenn $G/N$ keine Gruppe ist, siehe Homogener Raum und Riemannscher homogener Raum, und ebenso auch $N\backslash G$.—Hoegiro (Diskussion) 06:32, 29. Okt. 2020 (CET)

Na klar, das liest man auch unter en:Coset#Notation oder Gruppenoperation#Bahn und natürlich in mathematischen Aufschrieben, die mit Nebenklassen arbeiten. Keiner hat Lust, wenn über Rechts- oder Linksnebenklassen summiert wird, unter das Summensigma $Ng\in \{Ng:g\in G\}$ zu quetschen. --Jobu0101 (Diskussion) 08:45, 29. Okt. 2020 (CET)

1. Vielen Dank, dass für die Schreibweise $N\backslash G$ endlich Belege beigebracht werden. Die natürlich schon beim ersten Mal hätten beigebracht werden müssen. Ich denke, Jobu0101 weiß das eigentlich und kann einen nicht in der Disku mit Gruppentheorie#Nebenklassen abspeisen. Das hat mit Lust und Unlust rein gar nichts zu tun.
   Ferner sind das (z.B. en:Coset#Notation, Homogener Raum und Riemannscher homogener Raum) insoweit Belege für mich, aber mitnichten für den wiki-Endverbraucher!
2. Dann fehlt aber immer noch der Beleg für seine math Aussage, die dann nämlich behauptet:
         Gibt es zu jedem $l\in G$ ein $r\in G$ mit $lN=Nr$, dann ist $N\trianglelefteq G$.
   Das zu beweisen, kommt mir spontan schwieriger vor als alle 5 anderen Äquivalenzen im betreffenden Abschnitt. Wohlgemerkt: ich behaupte nicht, dass das falsch ist, aber damit ist es noch nicht richtig, und – ich denke Jobu0101 weiß das: Unlust hin oder her – auch nicht belegt. –Nomen4Omen (Diskussion) 11:13, 29. Okt. 2020 (CET)

Der Beweis ist trivial: Haben wir $lN=Nr$, so ist $l\in lN=Nr$. Damit ist $l\in Nr\cap Nl$, folglich $Nr=Nl$. --Der Märchenerzähler (Diskussion) 11:33, 29. Okt. 2020 (CET)

1. Gut, so schwierig war das nicht. Wenn du aber schon keinen Beleg dafür bringen willst, solltest du zumindest eine Fußnote dazu in den Artikel tun, damit man's leichter nachvollziehen kann.
2. Die Notation $N\backslash G:=\{Ng\mid g\in G\}$ gehört eigentlich nicht in diesen Artikel, weil sie in diesem Artikel wegen $N\backslash G=G/N$ nicht wirklich –und NUR für dein Statement– gebraucht wird. Wenn überhaupt, ist sie in Gruppentheorie#Nebenklassen besser aufgehoben (worauf du dich ja ggf beziehen könntest). Außerdem fehlen die Belege, die du vllt aus den oben erwähnten Artikeln holen kannst. –Nomen4Omen (Diskussion) 13:20, 29. Okt. 2020 (CET)

Ich finde es sinnvoll, die Notation und die Gleichheit im Artikel zu erwähnen. Nicht zuletzt Deine Nachfrage zeigt ja, dass Leser durchaus danach suchen könnten.—Hoegiro (Diskussion) 14:58, 29. Okt. 2020 (CET)

Sag ich ja gerade. Aber definieren in Gruppentheorie#Nebenklassen. –Nomen4Omen (Diskussion) 15:01, 29. Okt. 2020 (CET)