Normal-Approximation

Die Normal-Approximation ist eine Methode der Wahrscheinlichkeitsrechnung, um die Binomialverteilung für große Stichproben durch die Normalverteilung anzunähern. Hierbei handelt es sich um eine Anwendung des Satzes von Moivre-Laplace und damit auch um eine Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes.

Formulierung

Nach dem Satz von Moivre-Laplace gilt

$\lim _{n\to \infty }\left(\operatorname {P} (S_{n}\leq x)-\Phi {\left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}\right)=0$,

wenn $S_{n}$ eine binomialverteilte Zufallsvariable ist und $\Phi (z)$ die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Setzt man nun $\mu =np$ und $\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}$, dann gilt

${\begin{aligned}P(x_{1}\leq S_{n}\leq x_{2})&=\underbrace {\sum _{k=x_{1}}^{x_{2}}{\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}} _{\text{Binomialverteilung}}\\&\approx \underbrace {\Phi {\left({\frac {x_{2}+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}-\Phi {\left({\frac {x_{1}-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}} _{\text{Normalverteilung}}.\end{aligned}}$

Das Addieren und Subtrahieren von 0,5 (der Wert $x_{1}-0{,}5$ ist damit de facto die Obergrenze des $x_{1}-1$-ten Intervalls $(x_{1}-1)+0{,}5$) wird auch als „Stetigkeitskorrektur“ bezeichnet und liefert so eine bessere Näherung für den Übergang von der diskreten zur stetigen Berechnung.

Nach dem Satz von Berry-Esseen ist die Approximation besser, je kleiner der Term

${\frac {p(1-p)^{3}+(1-p)p^{3}}{(p(1-p))^{3/2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}$

ist. Er ist genau dann klein, wenn $\sigma ^{2}$ groß ist. Die Näherung gilt als hinreichend gut, falls $\sigma ^{2}=np(1-p)\geq 9$ gilt. Falls dies nicht gilt, so sollte zumindest $np\geq 5$ und $n(1-p)\geq 5$ gelten. Je asymmetrischer die Binomialverteilung ist, d. h. je größer die Differenz zwischen $p$ und $1-p$ ist, umso größer sollte $n$ sein. Für $p$ nahe an 0 ist zur Näherung die Poisson-Approximation besser geeignet. Für $p$ nahe an 1 sind beide Approximationen schlecht, dann kann jedoch $S_{n}'=n-S_{n}$ statt $S_{n}$ betrachtet werden, d. h. bei der Binomialverteilung werden Erfolge und Misserfolge vertauscht. $S_{n}'$ ist wieder binomialverteilt mit Parametern $n$ und $1-p$ und kann daher mit der Poisson-Approximation angenähert werden.

Beispiel

Ein fairer Würfel wird 1000 Mal geworfen. Man ist nun an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass zwischen 100 und 150 Mal die Sechs gewürfelt wird.

Exakte Lösung

Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ mit der Ergebnismenge $\Omega :=\{0,\dotsc ,1000\}$, der Anzahl der gewürfelten Sechsen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge $\Sigma :={\mathcal {P}}(\Omega )$ und die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung $P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})$, wobei $n=1000$ ist und $p=1/6$. Es ist dann

$P(100\leq S_{n}\leq 150)=\sum _{i=100}^{150}{\binom {1000}{i}}p^{i}(1-p)^{1000-i}\approx 0{,}0837$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 8,4 % wird also zwischen 100 und 150 Mal die Sechs gewürfelt.

Approximierte Lösung

Es ist $\sigma ^{2}=np(1-p)\approx 138{,}9>9$, die approximierte Lösung ist also ausreichend genau. Folglich gilt

$P(100\leq S_{n}\leq 150)\approx \Phi \left({\frac {150+0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {100-0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)$

$\approx \Phi (-1{,}3718)-\Phi (-5{,}6993)\approx 1-\Phi (1{,}3718)\approx 0{,}0851$

Die Werte von $\Phi (z)$ sind meist in einer Tabelle vorgegeben, da keine explizite Stammfunktion existiert. Dennoch ist die approximierte Lösung numerisch günstiger, da keine umfangreichen Berechnungen der Binomialkoeffizienten durchgeführt werden müssen.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, Braunschweig 1988, ISBN 978-3-528-07259-9, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.