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- 2006 -

Bruchrechnen?

Also wer auf 2/3 kommt kann einfach nicht Bruchrechnen...Die entstandene 2/3-Chance beruht darauf, dass man eine Tür geöffnet bekommt. Sieht auf den ersten Blick richtig ist, wenn man vergißt das es sich hier um Brüche handelt. Richtig hat man eine 1/1-Chanche dazu bekommen, d.h. wenn man das richtig zusammenrechnet hat man eine 2/4-Chance und gekürzt bleibt da leider wieder 1/2, also 50:50. Das kann man sich auch leichter merken, indem man bei Situationsveränderungen immer von einer neuen Situation ausgeht, und nicht die alte weiterführt. Da braucht man eigentlich nur ein bißchen seinen Kopf zu benutzen.

MfG Nadine

Was gibts denn da nich zu verstehen? Is doch TRIVIAL!

Hallo, Nadine, leider ist Deine Rechnung falsch. Eine Chance von 50% erhält man nur, wenn man zwischen den verbliebenen Türen zufällig auswählt, wenn der Moderator die Türen zufällig auswählt, oder wenn der Moderator dieselbe Tür auswählt, wie der Teilnehmer. Alle drei Möglichkeiten entsprechen aber nicht dem ursprünglichen (normalen) Spielverlauf. Bei diesem zeigte der Moderator immer eine Tür mit einer Ziege, und zwar eine Tür, die der Teilnehmer nicht gewählt hatte. Alle Grundlagen stehen im Artikel. Grüße von Bernd --Hutschi 17:01, 24. Mai 2006 (CEST)

Zeig mir bitte im Artikel die Formel, die wegen falscher Bruchrechnung zu einem falschen Endergebnis führt, während die Ursprungsformel korrekt ist. Ich fürchte, Du kennst Dich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht so gut aus, wie mit der Bruchrechnung. Die 2/3-Chance beruht darauf, dass man das Gegenteil zu der 1/3-Chance wählt, wenn man wechselt. 1-1/3 kannst Du mithilfe der Bruchrechnung leicht zu 2/3 kürzen. Selbstverständlich bekommt keine 1/1-Chance dazu, weil man ja auch ursprünglich bereits das Auto gewählt haben könnte. Selbstverständlich ergibt auch 1/3 + 1/1 nicht 2/4. Der Trick bei diesem Rätsel ist übrigens, dass man nach dem Öffnen einer Tür durch den Moderator gerade keine neue Situation hat. Der Moderator zeigt einem durch das Öffnen, das es hinter den beiden vom Kandidaten nicht gewählten Türen mindestens eine mit einer Ziege dahinter gibt. Das weiß man bei drei Türen und zwei Ziegen aber schon vorher. --AchimP 21:48, 24. Mai 2006 (CEST)

3-Türenproblem

Also ich verstehe das ganze nicht. Wenn eine falsche Tür wegfällt bleiben zwei übrig, von denen eine die Ziege enthält und die andere das Auto. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der gewählten Tür das Auto ist, beträgt nur noch 1/2, nicht 2/3. Das ist zwar immer noch mehr als 1/3, bedenkt man aber, dass eine falsche Tür automatisch wegfallen wird hat die Chance immer 1/2 betragen. Die in diesem Artikel aufgezeigte Rechnung funktioniert nur, wenn das Auto nach dem Öffnen der einen Tür verschoben wird und man nach der Wahrscheinlichkeit fragt, ob das Auto JEMALS hinter der betreffenden Tür war.

Und was wäre, wenn sich eine der Türen gar nicht öffen lassen würde? Warum willst Du das Problem umformulieren. Es ist doch relativ eindeutig formuliert und die richtige Antwort ist recht eindeutig begründet. Der Unterschied zwischen der gewählten Tür und den anderen Türen ist eben, dass über die anderen Türen die zusätzliche Information vorliegt, hinter welchen Türen sich Nieten befinden.

Ich hab damit auch noch immer ein Problem. Erstens glaube ich von Natur aus fest an eine Wahrscheinlichkeit von 50/50 und zweitens: Das Schema (Graphik) im Artikel, das die möglichen Fälle aufzeichnet, verlinkt doch 2 Fälle in einem (und zwar, die beiden, dass nach anfänglicher richtiger Wahl auf 2 unterschiedliche Nieten gewechselt wird. Demnach stünden doch 2 richtige Fälle 2 falschen gegenüber. Oder nicht?).

Gegen Glauben kann ein einfaches Experiment helfen. Nach etwa 30 bis 50 Versuchen sollte das Prinzip klar sein. Man sieht sehr deutlich, was passiert, wenn man drei Türen im Modell aufbaut und das erprobt. --Hutschi 11:41, 29. Mai 2006 (CEST)

Fehler im Pseudocode der Monte-Carlo-Simulation?

Fehlt dort vielleicht folgende Zeile unter "gezeigt :=...": "IF gezeigt == auto THEN gezeigt := 3 - auto - wahl END IF"? Ich meine, ja. Denn nur so wird verhindert, dass die "gezeigte" Tür das Auto hinter sich hat. Ich setzte den Pseudocode mittels der Programmiersprache Perl um. Ich erhielt die angegebenen Ergebnisse nur, wenn ich meinen Berichtigungsvorschlag mit umsetzte. (Ansonsten gab es je 50%.) -- Andreas Kück 84.128.179.154 11:24, 2. Jan 2006 (CET)

Meiner Meinung nach ist der Programmcode absolut überflüssig, und Monte-Carlo-Simulation muss auch ein bisschen mehr sein als nur "Schreibe ein Programm, das das Experiment 100000 mal durchführt"...--Gunther 11:30, 2. Jan 2006 (CET)

Ich bin der Meinung, dass der Programmcode vielleicht nicht ganz ueberfluessig ist, aber zumindest kann man ihn deutlich abkuerzen (dann sieht man auch "leichter" etwas, wie es im Artikel steht): Nach der Festlegung von auto und wahl kann man eigentlich schon die Zaehler hochzaehlen, weil klar ist welche Tuer vom Moderator geoeffnet wird und was beim Wechsel passiert, also man muss praktisch nur unterscheiden, ob die erste Wahl gleich auf das Auto gefallen ist oder nicht. Die Zuweisung von geoeffnet ueber eine Zufallszahl finde ich ebenfalls etwas irrefuehrend. -- Evolux 02:10, 8. Jan 2006 (CET)

Zustimmung. Dennoch zeigt das Programm im Original besser, was wirklich geschieht. Allerdings sind die MOD 3 der aktuellen Version (25.1.2006) ist in den Zeilen 11 und 14 überflüssig. Und die Ausdrücke (3 - wahl - gezeigt) bwz. (3 - wahl - auto) erschließen sich nicht selbstverständlich. Insbesondere weil es nie mit wahl==auto (bzw. gezeigt) genutzt wird (werden darf). So wird wohl so mancher das Programm nicht verstehen. Aber besseres ist mir auch (noch) nicht eingefallen. Bitte das Programm nicht entfernen. jb: 12:29, 25. Jan (CET)

Wie wäre es denn hiermit?

 BEGIN
   gewonnenOhneWechsel := 0
   n := 1000000
   REPEAT n TIMES
     auto := RANDOM(0..2)
     wahl := RANDOM(0..2)
     IF wahl == auto THEN
       gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
     ELSE
       gezeigt := 3 - wahl - auto
     END IF
     IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   END REPEAT
   PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
   PRINT "mit Wechsel ", 100 - gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 END

Es ist doch eigentlich klar, dass man entweder mit oder aber ohne Wechsel gewinnt, d. h. sich die beiden Zahlen wieder zu n summieren? Wobei ich sehe, das ist wohl Blödsinn, denn dann ginge es auch so:

 BEGIN
   gewonnenOhneWechsel := 0
   n := 1000000
   REPEAT n TIMES
     auto := RANDOM(0..2)
     wahl := RANDOM(0..2)
     IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   END REPEAT
   PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
   PRINT "mit Wechsel ", 100 - gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 END

Das ist dann zwar (in meinen Augen) auch die einleuchtende Erklärung, warum der Wechsel lohnt (ohne dass man das Programm überhaupt laufen lassen muss), aber enthält wahrscheinlich zu viele Annahmen, als das ein (un)voreingenommener Betrachter das Programm als korrekt akzeptieren würde? Freue mich über Kommentare ...

--calvini 14:24, 20. Apr 2006 (CET)

Edit: Sehe gerade, das entspricht ja dem Einwurf von Evolux.

--calvini 14:28, 20. Apr 2006 (CET)

Noch ein Versuch unter Berücksichtigung der Anmerkungen von jb:

 BEGIN
   gewonnenOhneWechsel := 0
   gewonnenMitWechsel := 0
   n := 1000000
   REPEAT n TIMES
     auto := RANDOM(0..2)
     wahl := RANDOM(0..2)
     IF wahl == auto THEN
       gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1
     ELSE
       gezeigt := 3 - wahl - auto
       wechsel := 3 - wahl - gezeigt
       IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
     END IF
   END REPEAT
   PRINT "gewonnen ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
   PRINT "gewonnen mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
   PRINT "verloren ", 100 - (gewonnenMitWechsel+gewonnenOhneWechsel)*100. / n, "%"
 END

Da kann man dann zumindest noch staunen, dass man "nie" verliert und sieht nach kurzer Zeit, dass das Einsetzen von "gezeigt := 3 - wahl - auto" in "wechsel := 3 - wahl - gezeigt" immer "wechsel := auto" ergibt. Aber je mehr ich mit diesem Programm hantiere, desto mehr komme ich zu der Ansicht, dass vielleicht auch gerade über das Programm (bzw. seine stufenweise Vereinfachung) die Überzeugung der Ungläubigen erreicht werden kann?

--calvini 14:50, 20. Apr 2006 (CET)

Nochmal zur Rolle des Moderators

In Abschnitt 3.6 steht: Eine andere Fehleinschätzung besteht darin, dass der Moderator versuche, den Teilnehmer irrezuführen und ihn zum Wechseln zu bewegen um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu verringern. Eine solche "Irreführung" würde aber in Wirklichkeit dem Teilnehmer helfen, seine Gewinnwahrscheinlichkeit zu verbessern – wenn er wechselt.

Dies gilt jedoch nur dann, wenn der Moderator tatsächlich in jedem Fall zum Überdenken auffordert und nicht etwa nur dann, falls der Kandidat ursprünglich die Gewinnertür gewählt hatte. In der Einleitung steht dazu lediglich:

Bei einer Spielshow soll der Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen. Hinter einem verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege, also Nieten. Der Spielablauf ist immer gleich: Es ist dort nicht explizit erwähnt, dass dieser immer gleiche Ablauf den teilnehmenden Kandidaten im Vorhinein bekannt ist – nur dann aber ist der Entscheidungsbaum vollständig und der Vorteil des Wechselns schlüssig.

Ich war so frei, den Satz in der Einleitung entsprechend zu ergänzen. Bei Einwänden gerne revert und Diskussion. --Pik-Asso 12:25, 3. Jan 2006 (CET) PS: Zur Vermeidung von Missverständnissen: der Satz "Wie soll der Kandidat sich entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?" wurde nicht von mir so formuliert oder verändert. Er impliziert IMO, dass nicht allein nach den faktischen Chancen, sondern nach einer für den Kandidaten entwickelbaren Gewinnstrategie gefragt ist - deshalb ist dessen Vorwissen wesentlich.

Nochmal in Einfach....

Also -am Anfang sind hinter 2 Türen Ziegen und hinter einem das Auto. Du suchst dir eine Tür aus -was denkst du ist jetzt wahrscheinlicher? Stehst du eher von einer Ziege, oder vor einem Auto?

Wenn du am Anfang eine Tür wählst, is das in 2 von 3 Fällen immer eine Ziege. Wenn der Moderator jetzt die andere Ziege aufdeckt und du mit hoher wahrscheinlichkeit AUCH vor einer Ziege stehst, dann bleibt ja nurnoch das Auto übrig.

Also in 2 von 3 Fällen wählt der Zuschauer am Anfang eine Ziege. Also is in 2 von 3 Fällen das Auto hinter einer anderen Tür (wenn nunroch eine Tür da ist hinter DER anderen Tür) (nicht signierter Beitrag von 84.166.80.202 (Diskussion) 02:14 9. Jan 2006)

Genau.--Gunther 02:18, 9. Jan 2006 (CET)

Im Artikel steht das aber nicht so schön einfach erklärt... --StYxXx ⊗ 04:47, 30. Sep 2006 (CEST)

Sich änderenden Chancen

Im Artikel steht "dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug, und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändern kann". Das ist sehr richtig, Chancen haben keine Chance sich zu ändern! Das betrifft auch die Chance ein Auto hinter der geöffnete Tür zu finden!! Was hier ubersehen wird ist dass es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt. Hätte der Moderator beide andere Türen geoffnet und zwei Ziegen gezeigt, auch dann ist die Chance auf ein Auto hinter der geschlossene Tür noch immer nur 1/3. Aber die bedingte Wahrscheinlichkeit, gegeben die beide geoffnete ist jetz 1. Est ist dieses Unterschied dass sich schwer zu verstehen lässt. Es soll denn auch heissen: "dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug, und nach dem öffnen eine der andere Türen durch den Moderator die bedingte Wahrscheinlichkeit auch 1/3 ist", (und dass ist nicht selbstverständlich) wenn jedenfalls der Moderator die richtige Strategie folgt.130.89.220.215 15:23, 17. Jan 2006 (CET)

Fehlverständnis der Rolle des Spielleiters

Im Artikel heißt es u.a: "Ein weiterer Grund für das Finden einer falschen Antwort ist ein falsches Verständnis von der Rolle des Moderators. Es wird oft fälschlicherweise angenommen, dass dieser irgendeine der anderen beiden Türen öffnet, wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt. Wäre dies so, dann wäre es tatsächlich egal, ob man wechselt....."

Das klingt ein bißchen danach, als ob ein solches Verständnis den Schluß auf die 50/50-Annahme rechtfertigen würde. Das ist aber bei Licht betrachtet mE durchaus nicht der Fall:

Die Regeln geben eindeutig vor, daß der Showmaster eine Ziegentür öffnet. Dies und nichts anderes ist also die Situation, die der Rätsellöser sich vorzustellen hat. Und nur diese Situation tritt bei Beachtung der vorgegebenen Regeln ein. Dafür spielt es überhaupt keine Rolle und müßte bei der Aufgabenstellung auch nicht mitgeteilt werden, ob dies zufällig geschieht (zB weil der Showmaster selbst nicht weiß, wo die Ziegen sich befinden), oder deshalb, weil der Spielleiter dieses Ergebnis aufgrund seiner Kenntnis der Inhalte gezielt herbeiführt. Auch bei zufälligem Öffnen der Tür spricht mE nichts für die 50/50-Lösung.

Denn die Wechselstrategie ist unter Wahrscheinlichkeitsgesichtspunkten auch dann die richtige, wenn der Vorgang nur ein einziges Mal geschieht. Entscheidend ist allein, daß nach dem Eingreifen des Showmasters eine Ziegentür offen steht (egal, ob zufällig oder nicht) und der Kandidat daraus die entsprechenden Schlußfolgerungen ziehen kann.

Zudem würde das zufällige Öffnen einer Tür durch den Showmaster, wie ja schon im Artikel völlig richtig dargestellt, sehr oft dazu führen, daß der Spielleiter selbst das Auto zum Vorschein bringt, so daß das Spiel in diesen Fällen ad absurdum geführt würde bzw. völlig leerläuft, was natürlich nicht der Sinn der Sache sein kann und damit als Grundlage für einen Lösungsansatz a priori ausscheiden muß.

Ich denke also, daß es letztlich überlegenswert wäre, in diesem Zusammenhang nicht von einem Fehlverständnis der Rolle des Spielleiters zu sprechen, das grundsätzlich die 50/50-Lösung tatsächlich rechtfertigen würde, sondern vielmehr die innere Irrelevanz/Redundanz des Zufalls-Ansatzes aufzuzeigen, dh darauf hinzuweisen, daß dieser Ansatz sich zum einen selbst widerlegt, weil er das Eintreten von Konstellationen impliziert, die den Spielregeln eindeutig widersprechen, und daß er zum anderen an der richtigen Lösung gar nichts ändern würde, solange nur die Spielregeln de facto eingehalten werden.

MfG Wilbert

Nein.--Gunther 22:07, 17. Jan 2006 (CET)

Artikeltext: "....wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt. Wäre dies so, dann wäre es tatsächlich egal, ob man wechselt."

WOFÜR wäre es denn in diesen Fällen egal, ob man wechselt?

Die Frage nach Sinn oder Unsinn eines Wechsels stellt sich doch nur unter dem Aspekt der Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel. Wenn nun aber die unterstellte Zufälligkeit der Aktion des Spielleiters dazu führt, daß er in einem Teil der Fälle die Autotür öffnet, ist es mE etwas verwirrend, zu sagen, es sei „egal“, ob man wechselt, denn die dem Rätsel zugrunde liegende Frage (die schließlich erst NACH dem Türöffnen durch den Spielleiter überhaupt zum Tragen kommt), stellt sich in diesen Fällen doch gar nicht, weil keine durch Wahrscheinlichkeitserwägungen aufzulösenden Ungewissheiten mehr existieren.

Und wenn der Spielleiter durch Zufallswahl eine Ziegentür öffnet, ist die Frage nach dem Wechsel mit „empfehlenswert“ zu beantworten, dann ist es also nicht „egal, ob man wechselt“.

Wilbert

Nein. Siehe Bayes-Theorem: A = "Hinter Tür 1 ist ein Auto", B = "Hinter Tür 3 ist eine Ziege",

P(A)=1/3

P(B)=2/3

P(B|A)=1

, also

P(A|B)=1/2

.--Gunther 12:04, 18. Jan 2006 (CET)

Sorry, aber ich habe den Eindruck, daß wir einigermaßen aneinander vorbei reden.

Das Bayes-Theorem liefert doch wohl das Ergebnis der Wahrscheinlichkeit aus einer ex ante-Betrachtung heraus, also VOR dem Öffnen der Spielleitertür, und bezieht daher die (unsinnige, weil das Spiel zerstörende) Möglichkeit mit ein, daß der Spielleiter die Autotür öffnet, woraus sich dann natürlich ein anderer Wahrscheinlichkeitswert ergibt. Das bestreite ich ja gar nicht.

Bei Beachtung der Regeln scheidet diese Möglichkeit aber aus, weil der Spielleiter immer eine Ziegentür öffnet. Daher ist das Ergebnis der Wahrscheinlichkeitsprognose bei regelgerechtem Vorgehen insoweit nicht davon abhängig, ob die Prognose ex ante oder ex post (also nach dem Öffnen) erfolgt, denn das Öffnen der Ziegentür steht bereits ex ante fest und findet ex post lediglich seine pflichtgemäße Bestätigung - beide Betrachtungsweisen führen also zwangsläufig zum selben Ergebnis.

Für die praktische Lösung, dh für die auf Gewinnmaximierung ausgerichtete Entscheidung des Kandidaten im gedachten Spielablauf, kommt es aber nicht auf eine ex ante-Einschätzung an, denn er muß sich nun mal nicht vorher festlegen, ob er unabhängig davon, was der Showmaster aufdecken wird, wechseln oder nicht wechseln wird, sondern erst dann, wenn er positiv weiß, was hinter der Tür des Showmasters steht.

Und falls dort eine Ziege steht und der Kandidat nach den unmißverständlichen Vorgaben erst JETZT die Entscheidung treffen muß (warum sollte man also einen anderen Zeitpunkt zugrunde legen?!), dann muß er sich für den Wechsel entscheiden. Denn die vorgefundene Konstellation erlaubt den sicheren und zweifelsfreien Schluß, daß sich hinter der letzten verbliebenen Tür in jedem Falle die GEGENchance zur Tür der ersten Wahl verbirgt. Und da die erste Wahl mit 2/3-Wahrscheinlichkeit auf eine Ziege fiel, steht hinter der letzten Tür mit identischer 2/3-Wahrscheinlichkeit das Auto als Gegenchance. (Am Rande bemerkt: Ich habe die Erfahrung gemacht, daß die Formulierung mit der Gegenchance, die komplementäre Wahrscheinlichkeitswerte entbehrlich macht, das Aha-Erlebnis bei den meisten Menschen erheblich beschleunigt). Diese zu dem allein maßgeblichen Zeitpunkt gezogene Schlußfolgerung ist selbstverständlich gänzlich unabhängig davon, ob der Spielleiter die Ziegentür zuvor mit Vorbedacht oder „blind“ geöffnet hat.

Falls aber der Spielleiter die Autotür öffnet, gibt es überhaupt nichts zu entscheiden. Was soll aber eine Variante, die für einen Teil ihrer praktischen Anwendungsfälle zu einer Konfiguration führt, welche die den einzigen Sinn des Spiels bildende Beantwortung der Gewinnmaxierungsfrage ad absurdum führt?

Wenn es im Artikel sinngemäß heißt, daß es bei Zufälligkeit des Showmasterhandelns egal sei, ob man wechselt, wird damit beim Leser doch mindestens unterschwellig der Eindruck erweckt, daß es unter dieser Voraussetzung tatsächlich zwei gleichwertige Entscheidungsmöglichkeiten gäbe. Und dies ist – dabei bleibe ich – eben nicht so, wenn in einem Teil der Fälle (zulässigerweise ex post betrachtet, s.o.) sehr wohl ein Wechsel angezeigt ist, und in dem anderen Teil der Fälle sich die Frage nach einem Wechsel nur noch als Verar...ung des Kandidaten darstellen würde und damit den Sinn des Spiels mit Füßen tritt.

MfG Wilbert

Hi Wilbert, da ich nicht genau verstehe, von welchem Fall genau du sprichst:

entweder der Moderator hält sich an die (auch dem Kandidaten bekannten!) Regeln -dann öffnet der Moderator die Tür nicht zufällig, sondern wählt aufgrund seines Vorwissens eine Ziegentür. Dann gilt die im Artikel geschilderte Überlegung, aufgrund derer der angebotene Wechsel empfehlenswert ist.
oder der Moderator öffnet zufällig (= ohne Berücksichtigung eventuellen Vorwissens) eine der beiden verbleibenden Türen - dann besteht eben auch (ohne irgendeine böse Absicht oder den Sinn des Spieles mit Füßen zu treten) die Möglichkeit, dass der Moderator das Auto wählt. Diesen Fall möchtest du nicht betrachten, sondern konzentrierst dich auf den Fall der offenen Ziegentür und der nun anstehenden Entscheidung. Richtig verstanden?

Nun die Nachfrage: Was ist dem Kandidat in deinem Szenario bekannt? _Weiß_ er, dass der Moderator die Tür zufällig geöffnet hat?--Pik-Asso 18:41, 19. Jan 2006 (CET)

Hallo Pik-Asso,

danke der Nachfrage. Ich meine die Variante, in der der Moderator seine Tür nach dem Zufallsprinzip öffnet. Dabei ist es für mein Verständnis egal, ob der Kandidat dies weiß.

Ich konzentriere mich in der Tat auf die Fälle, in denen der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat. Und ich halte es ehrlich gesagt für nicht widerlegbar (bin aber natürlich dennoch auf Antworten gespannt, notfalls nehme ich mir eben einen Strick... :) ), daß allein die Tatsache, daß in dem Augenblick, wo dem Kandidaten die Entscheidung abverlangt wird, eine Ziegentür offensteht, für die zwingende Schlußfolgerung ausreicht, daß sich hinter den beiden anderen noch verschlossenen Türen ein Auto und eine Ziege befinden und daß die für einen etwaigen Wechsel zur Verfügung stehende Tür die Gegenchance zur ersten Wahl enthält. Dafür ist es nach meiner Überzeugung völlig irrelevant, welche Kausalitäten oder Bedingungen zu dem Ergebnis der offenen Ziegentür geführt haben. Allein die Tatsache, daß diese Ziegentür jetzt offensteht, rechtfertigt aus sich selbst heraus den Schluß – und legt somit für alle Ziegenfälle den Wechsel nahe.

Die Frage, ob der Mod (zeitlich nach der bereits geschehenen ersten Wahl des Kandidaten) zufällig oder mit Vorwissen gehandelt hat, hat auch nicht den geringsten Einfluß darauf, mit welcher Wahrscheinlichkeit die erste Wahl des Kandidaten auf Ziege oder Auto fiel. Anderenfalls hätten wir es ja wieder mit sich nachträglich ändernden oder rückbezüglichen Wahrscheinlichkeiten zu tun, über die man aber doch wohl hinweg ist….Daher benötigt der Kandidat auch keine Info über das Vorwissen des Mods, weil eben die Richtigkeit seiner Schlußfolgerung davon nicht abhängt.

Wenn man nun die Autofälle betrachtet, bedeuten diese, daß der Kandidat keine Gewinnchance mehr hat, er kann sich zwar theoretisch immer noch für Wechsel oder Nichtwechsel entscheiden und mag dies auch tun, aber er könnte es auch lassen, weil die Frage keinen Sinn mehr macht, aber lassen wir diesen Aspekt mal außen vor.…. Für die Autofälle ist es in der Tat egal, ob der Kandidat wechselt oder nicht, aber eben nicht für die Ziegenfälle.

Inzwischen sind mir dazu noch die folgenden Überlegungen in den Sinn gekommen:

Szenario: Der Mod wählt zufällig, öffnet also in 1/3 der Fälle die Autotür (=Autofälle), in 2/3 der Fälle eine Ziegentür (=Ziegenfälle).

a) Der Kandidat wechselt IMMER (der Bequemlichkeit halber auch in den Autofällen, obwohl er in diesen ebensogut entgegengesetzt handeln könnte, ohne daß sich das Ergebnis ändern würde):

Er gewinnt das Auto in 2/3 der 2/3-Ziegenfälle, also in 4/9 aller Fälle. In 5/9 aller Fälle gewinnt er das Auto nicht. Darin stecken einerseits das „normale“ Verlustrisiko bei Wechsel nach Ziege (sprich 1/3 * 2/3 = 2/9) plus das gesamte 1/3 = 3/9 der Autofälle, in denen nicht gewonnen wird, weil es nichts zu gewinnen gibt.

b) Der Kandidat wechselt NIE (Anmerkung wie zu a):

Nun gewinnt er das Auto in 1/3 der 2/3-Ziegenfälle, also in 2/9 aller Fälle, und in 7/9 gewinnt er nicht.

So, und nun zerreißt mich in der Luft….

mfg Wilbert

Die Fragen, ob der Kandidat gewinnt und ob der Moderator eine Ziegentür öffnet, sind offenbar nicht unabhängig voneinander, deshalb ist Deine Rechnung falsch. (Wenn der Moderator die Autotür öffnet, sind die Wahrscheinlichkeit auf den restlichen beiden Türen 0 und 0 und nicht

1/3\cdot 1/3

und

2/3\cdot 1/3

, wie es Deiner Rechnung entsprechen würde.) Die korrekten Wahrscheinlichkeiten sind: 1/3 Kandidat wählt Auto, 1/3 Moderator wählt Auto, 1/3 Auto ist hinter der dritten Tür. Wenn Du das anzweifelst, sage bitte, welche der drei angegebenen Zahlen falsch sind, und wieso. Anmerkung: Du kannst nicht nur eine einzelne anzweifeln, die Summe muss 1 ergeben.--Gunther 23:06, 19. Jan 2006 (CET)

Gunthers Zahlen sind (wohl unbestreitbar) richtig. Vielleicht hilft eine Tabelle noch dabei, sich den Sachverhalt zu veranschaulichen.

Sei K1 die Tür, die der Kandiadat als erstes wählt, M diejenige, die der Moderator öffnet und K2 diejenige, auf die der Kandidat danach noch wechseln könnte.

         K1   M    K2
Fall 1   A    Z    Z
Fall 2   Z    A    Z
Fall 3   Z    Z    A

Fall 2 interessiert Wilbert nicht. Bleiben Fall 1 und Fall 3 (die beiden "Ziegenfälle")- weitere gibt es nicht. --Pik-Asso 17:09, 20. Jan 2006 (CET)

_________________________________________________________________________

Danke, der Groschen ist (endlich, es wurde wirklich Zeit!) gefallen, Ihr habt mich überzeugt. Es ist so peinlich, und ich schäme mich….denn eigentlich bin ich gar nicht so doof wie Ihr glauben müßt. Aber das ist ja wohl gerade das Faszinierende am Ziegenproblem: Es ist alles so grundeinfach - und doch so anfällig für dicke Bretter vorm Kopp…. Inzwischen ist es mir schon völlig unbegreiflich, wie mir diese Fehleinschätzung unterlaufen konnte. Den Strick habe ich mir natürlich schon genommen, aber er war zu dünn und riß, daher kann ich noch ein paar Zeilen loswerden:

In verbaler Form auf den Punkt gebracht, lag mein Fehler einfach darin, daß der aus meiner Erklärung zur Standardversion übernommene „Lehrsatz“: "In beiden der 2/3-Fälle, in denen der Kandidat bei der 1. Wahl die Ziege trifft, kann nur das Auto die Gegenchance bilden", für die Zufallsvariante nichts taugt, weil bei dieser tatsächlich nur noch in einem dieser beiden Fälle das Auto die Gegenchance zur ersten Wahl ist, womit natürlich die Grundlage für die Schlußfolgerung entfällt.

So, das war’s, nun löscht einfach meine vermüllenden Texte – oder nehmt sie allenfalls noch als Grundlage für die Ausräumung eines weiteren denkbaren Mißverständnisses, wobei ich mich jetzt allerdings nicht weiter dazu äußern will, ob man diesen Irrtum wirklich noch als naheliegend genug bezeichnen könnte, um ihn vorsorglich zu widerlegen…..

Reumütige Grüße, Wilbert

Keine Sorge, Du bist nicht der erste, der sich verwirren ließ, vgl. z.B. weiter oben.--Gunther 20:10, 20. Jan 2006 (CET)

Super! Ich freu mich über diese konstruktive Diskussion, würde gern nochmal auf das Thema "Vorwissen" zurückkommen: IMO ist es für die Schlußfolgerungen des Kandidaten durchaus wesentlich, was er voraussetzen kann -zB muss er ja wissen (im Sinne von "annehmen","für wahr halten"), dass wirklich 1 Auto und 2 Ziegen gleichmäßig auf die 3 Türen aufgeteilt sind. Im selben Sinne muss er wissen, dass

~~der Moderator die Türen nicht zufällig öffnet und~~
ihm der Wechsel stets angboten wird (unabhängig davon, auf welche Tür seine 1.Wahl gefallen ist).

Sonst kann er nicht die im Artikel geschilderten Schlußfolgerungen ziehen. Sorry, falls ich hier insistiere oder offene Türen einrenne - aber dieser Punkt kommt mir häufig zu kurz. Oft wird der Ablauf der Show falsch geschildert etwa: "... und als der Kandidat die Klinke schon in der Hand hat, ruft der Moderator "Halt" und öffnet seinerseits eine Tür ...". Falls über diesen Punkt keine Einigkeit besteht, würde ich ihn gern klären. --Pik-Asso 10:27, 21. Jan 2006 (CET) ich vermute nämlich, dass er darüber nur wissen muss, dass ihm der Wechsel stets angeboten wird- dann scheint es mir unerheblich, auf welche Weise er die "Moderator-Ziege" zu Gesicht bekommt, ob per Zufall oder System. Aber da bin ich mir nicht so sicher, wie ichs gerne wäre.--Pik-Asso 10:33, 21. Jan 2006 (CET) Quark! Faktisch machts keinen Unterschied, ob die Ziegentür per Zufall oder System geöffnet wird. Die Intention spielt für das Resultat keine Rolle. --Pik-Asso 19:11, 21. Jan 2006 (CET)

Nachfrage von Domingus

Hoffe ich ergänze an dieser Stelle richtig: Mir scheint hier noch etwas Verwirrung zu sein, und trotz der Aufgabe von Wilbert, muss ich sagen, Wechsel ist immer richtig. Immer heißt natürlich im statistischen Durchschnitt am Besten, konkret kann man natürlich trotzdem noch verlieren. Pik-Asso hatte doch eine so schöne Tabelle gemacht, und dann wird die garnicht beleuchtet. Siehe Fall 1 und Fall 3: Der Witz dabei ist doch eben nicht, dass beim Wechsel man selber auf Auto sitzt und jetzt die Ziege bekommt oder umgekehrt. Sondern es geht darum herauszufinden, ob man selber vor dem möglichen Wechsel eher auf dem Auto sitzt oder auf der Ziege. Weil es 2 Ziegen gibt und nur ein Auto, sitzt ich selber eher auf ner Ziege, und das andere verbleibende Tor ist eher das Auto. Das heißt Fall 3 kommt doppelt so häufig vor wie Fall 1. Deshalb soll man wie in Fall 3 immer wechseln. Domingus --131.188.3.21 14:00, 25. Jan 2006 (CET)

Gib' bitte konkrete Wahrscheinlichkeiten für die drei Fälle an:

(A) Kandidat wählt Auto
(B) Moderator wählt Auto
(C) Das Auto ist hinter der dritten Tür

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein. Mit konkreten Zahlen und Argumenten dafür kann ich eher sagen, was an Deiner Argumentation falsch ist; meine Argumente sind oben nachzulesen.--Gunther 14:07, 25. Jan 2006 (CET)

1/3:* (A) Kandidat wählt Auto

1/3:* (B) Moderator wählt Auto

1/3:* (C) Das Auto ist hinter der dritten Tür

Beim normalen Spiel, wo der Moderator Bescheid weiß, nimmt der Moderator im B Fall eben auch die Ziege, deshalb ist das Auto wie bei C auch hinter der dritten Tür.

Danke, jetzt habe ich beide Varianten verstanden, mit wissendem Moderator, soll man immer wechseln, hat der Moderator keinen Plan ist egal, ob man bleibt oder wechselt. Domingus --131.188.3.21 15:28, 25. Jan 2006 (CET)

Ältere Diskussion

Im Moment stelle ich mir vor, daß Folgendes richtig sein könnte….

„Faktisch machts keinen Unterschied, ob die Ziegentür per Zufall oder System geöffnet wird.“

Aber wohl nur dann, wenn die Wahl des M entweder immer gezielt oder immer zufällig erfolgt, und der K dies weiß. Dann sollte K die Wechselstrategie wählen, weil (nur) unter diesen Bedingungen die Aussage gültig ist „Entweder (bei „Zwangsziege“) der Wechsel nutzt oder (bei Zufallswahl) er schadet jedenfalls nicht, weil in den Fällen, in denen er nichts nutzt, auch ein Nichtwechsel nichts nutzt.“ Wenn der M aber unberechenbar mal gezielt eine Ziege produziert, mal zufällig irgendeine der beiden Türen öffnet, gäbe es wohl keine Grundlage mehr für eine brauchbare Strategie.

„…muss er wissen, dass ihm der Wechsel stets angboten wird (unabhängig davon, auf welche Tür seine 1.Wahl gefallen ist).“

Nicht stets wechseln dürfen kann entweder bedeuten:

a) Nie wechseln dürfen – dann wäre das ganze Spiel auf reinstes „Lotto 1 aus 3“ reduziert, also vollständig ohne Klärungsbedarf hinsichtlich der Gewinnchancen.

oder

b) Mal Wechsel erlaubt, mal nicht erlaubt. Dann findet abwechselnd mal Lotto, mal das Ziegenproblem statt. Deshalb können mE die Lottofälle einfach aussortiert und die verbleibenden Fälle so behandelt werden, als gäbe es die Lottofälle gar nicht. Dann müßte K auch nicht wissen, ob er immer wechseln darf, er kann es einfach abwarten.

Oder?

mfg Wilbert

Um Mißverständnisse zu vermeiden - Was mir wesentlich scheint, ist Folgendes: dem Kandidaten muss vorab bekannt sein, dass ihm der Wechsel stets angeboten wird (unabhängig davon, auf welche Tür seine 1.Wahl gefallen ist). - Stell dir einen Kandidaten vor, der quasi "von der Straße" geholt wird, _nachdem_ der Moderator dem Publikum die Regeln der Show erläutert hat. Dieser könnte aus seiner Unkenntnis tatsächlich annehmen, der Moderator biete ihm den Wechsel nur deshalb an, _weil_ er sich richtig entschieden hat und vor der Gewinnertür steht. Dann sieht sein Entscheidungsbaum natürlich anders aus ... --Pik-Asso 12:58, 22. Jan 2006 (CET)

So gesehen, hast Du recht. Der K könnte jetzt die Falle einkalkulieren und deshalb erst recht nicht wechseln. Genau das hat der M aber seinerseits vielleicht auch gleich einkalkuliert, also doch Wechsel. Aber genau das hat der M vielleicht seinerseits vorausgesehen, usf., ad infinitum.....

Man landet also sofort in der bekannten Regression ins Unendliche nach dem Motto "was denkt er, daß ich denke, was er denkt, daß ich ich denke,..............", und die Frage, ob eine vorteilhafte Gewinnstrategie möglich ist, stellt sich unter einem völlig anderen Blickwinkel.

Das ist allerdings streng genommen kein mathematisches Problem, das Wahrscheinlichkeitsberechnungen zugänglich wäre, sondern im Kern ein psychologisches. Ich stimme Dir im Ergebnis aber zu, daß der K, solange er es mangels Aufklärung für möglich halten darf, daß ihm die Auflösung einer Regression ins Unendliche abverlangt wird (schweres Schicksal...), keine ausreichende Grundlage für die Entwicklung einer Gewinnstrategie hat. Er müßte deshalb wohl in der Tat informiert werden. Man muß sich nur dessen bewußt sein, daß diese Info aus anderen Gründen als der Ermöglichung von Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten INNERHALB DES ZIEGENPROBLEMS erforderlich ist.

mfg Wilbert

Hm, mal noch was ganz anderes..... Ich ergänze meinen letzten Text noch durch die Klarstellung, daß er natürlich nur für die Diskussion der von Pik-Asso erwähnten alternativen "Halt!"-Version gelten kann, da die Spielregel gem. Artikel eindeutig klarstellt, daß alles immer gleich abläuft und der K dies weiß. Und jener immer gleiche Ablauf ist ja anschließend incl. Wechselangebot dargestellt. Er enthält auch den Hinweis darauf, daß der M die Position der Ziegen kennt, so daß die Zufallsvariante nach den Regeln nie in Betracht kommt. Für die Frage des Wissens um Zwangsziege/Zufallswahl führen die bisherigen Überlegungen (ihre Richtigkeit unterstellt) also allenfalls dazu, daß DAFÜR die Mitteilung der Regeln nicht unbedingt nötig gewesen wäre (aber natürlich auch nichts schadet, indem sie K bequemerweise eine anderenfalls nötige Schlußfolgerung erspart ).

ABER: Wäre es wegen der umfassenden Info, die die Spielregeln der Artikelversion des Rätsels dem K geben, nicht von der Durchschlagskraft her - sozusagen unter didaktischen Gesichtspunkten mit Blick auf den unbefangenen Leser des Artikels - im Abschnitt "Fehlverständnis der Rolle des Moderators" klarer, wenn man die dort diskutierte Annahme, der M würde oder dürfte zufällig handeln, nicht nur etwas mittelbar durch den Begriff "Fehl"-Verständnis entkräftet, sondern ausdrücklich sagt, daß diese Annahme sich nach den eindeutigen Regeln a priori verbietet? Man könnte etwa sagen "Es wird häufig übersehen, daß die Spielregeln das gezielte Öffnen einer Ziegentür durch den M vorschreiben, und deshalb angenommen, daß..... , was tatsächlich den Schluß erlauben würde, daß... Allerdings würde der M......". Ist natürlich nur eine Formulierungsvariante, aber ich finde, das würde vom Duktus her glatter rüberkommen.

mfg Wilbert

Meine persönliche Quintessenz

Ich muss leider zugeben, dass ich mich erst jetzt durch alle Beiträge dieser Diskussionsseite durchgekämpft hab. Wie "IP 84.133.225.43" und "Mst" weiter oben in "Anderer Vergleich" recht geistreich dargelegt haben, ist es unerheblich, ob nach der Erstwahl verbunden mit dem Wechselangebot eine Ziegentür faktisch vom Moderator geöffnet wird. Es ist äquivalent, dem Kandidaten anzubieten, anstelle seiner Erstwahl selbst die beiden verbleibenden Türen zu öffnen und das Auto zu kassieren, falls es hinter einer von beiden steht. Oder noch weiter zugespitzt: der Moderator könnte dem Kandidaten (statt der Augenwischerei mit Ziegentür und Wechselangebot) von Anfang an anbieten, entweder _eine_ Tür zu öffnen oder aber _zwei_. Es hat eine Weile gedauert und einige Bandbreite hier verschwendet, bis ich kapiert hab, dass das Problem sich auf diese etwas reizlose Formulierung zusammenkochen lässt. Psychologisch interessant ist es, wie kompliziert man es sich selber macht, diesen Sachverhalt zu durchschauen. --Pik-Asso 13:22, 23. Jan 2006 (CET)

Interessant, das scheint mir widerspruchsfrei zu sein!--Berlin-Jurist 14:01, 23. Jan 2006 (CET)

Glaub ich auch. Folgender Dialog dazu wär möglich:

Kandidat: "Hab ich richtig verstanden: Nachdem ich mich auf eine Tür festgelegt haben werde, werden Sie eine der beiden verbleibenden Türen öffnen und mir die Ziege dahinter zeigen und mir zusätzlich anbieten, auf die dann noch allein verbliebene geschlossene Tür zu wechseln?"
Moderator: "Ja, genau."
Kandidat: "Dann nehm ich Ihr Wechselangebot bereits im Voraus an und Ihnen gern die Arbeit ab: Ich öffne beide Türen, die verbleiben, nachdem ich mich zunächst auf eine festgelegt hab und die ich auf diese Weise ausschließe."
Moderator: "Von mir aus gern - das kommt in jedem Fall auf dasselbe raus wie mein ursprüngliches Angebot, denn hinter je zwei beliebigen Türen steht ja mindestens eine Ziege."
Kandidat: "Fein, dann öffne ich jetzt einfach zwei Türen, kassiere dabei eventuell den Gewinn - und sie sehen dann ja selbst, welche Tür ich ausgeschlossen hab."

Dabei umgeht man die Frage der bedingten Wahrscheinlichkeit und erkennt die 2/3-Chance direkt, wie auch im gestrigen Artikelzusatz von "Achim P" dargelegt. --Pik-Asso 08:50, 25. Jan 2006 (CET)... und ist außerdem nicht mehr darauf angewiesen, zu klären, ob der Moderator Bescheid weiß über die tatsächliche Position der Ziege, ob er den Kandidaten nach seiner ersten Entscheidung irritiern will, ob er etwa nur zufällig eine Tür öffnet etc etc --09:49, 25. Jan 2006 (CET)

Bilder und Entscheidungsbaum nicht in sync

Leider sind in der Erklärung die Bezeichnungen zwischen der Tabelle unde dem folgenden Enscheidungsbaum nicht identisch gewählt. Kann evtl. derjenige, der in der Tabelle die Grafiken erzeugt hat, diese nochmal so generieren, daß das Auto hinter Tür A steht, so wie es im darunterliegenden Entscheidungsbaum erklärt ist.

Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems

Ist nicht eher die Wahrscheinlichkeit P(G_C|M_B,K_A) gesucht? In der derzeitigen Version wird z.B bei der konkreten Berechnung auf den ersten Blick nicht klar warum P(M_B|G_C)=1 ist, weil hier ja eigentlich die Wahrscheinlichkeit P(M_B|G_C,K_A) gemeint ist.

Intuition

Die Lösung ist zwar nicht intuitiv, aber es ist schon erstaunlich, wieviel man dazu schreiben kann, und immer noch gibt es Leute, die das Ergebnis anfechten 80.135.32.166 10:29, 24. Jan 2006 (CET)

Ich verstehs nicht oder es ist einfach falsch ;-)

Also ich find den Artikel bzw. die Problemlösung nicht nachvollziehbar. Wieso soll sich die Chance von 1/3 (während man 3 Türen zur Auswahl hat) nicht mehr ändern, wenn man danach nochmal im Prinzip neu wählen kann? Ob ich nun nur ein Angebot zum Wechseln auf die andere Tür bekomme oder meine Wahl einfach gelöscht würde und ich das selbe Tor nochmal neu anwählen müsste ist für mich das selbe, es besteht nach wie vor eine 50:50 Chance, dass sich hinter einer der beiden Türen das ersehnte Auto befindet oder eben nur eine Ziege. Der Verfasser geht ja davon aus, dass die Chance statisch bei 1/3 beim gewählten Tor bleibt und dementsprechend das 2. Tor (nachdem die Niete aufgedeckt wurde) dementsprechend die "Restchancen" verbucht bekommt - meiner Meinung nach erhöht sich bei beiden Toren die Wahrscheinlichkeit gleichermaßen, da soeben eine Niete aus dem Spiel entfernt wurde.

Naja, vielleicht versteh ichs auch einfach nicht richtig :> -- Jot 10:31, 24. Jan 2006 (CET)

Das stimmt im Prinzip schon, allerdings nur, wenn du beim zweiten Mal einfach zufällig eine Türe wählst (und praktisch alles vorherige aus deinem Gedächtnis "löschst" bzw. einfach nicht berücksichtigst). Du kannst aber deine Chancen erhöhen, wenn du dich für eine Stragtegie entscheidest ("wechseln" oder "nicht wechseln"), und dann wird das Spiel schon bei der 1. Wahl entschieden (die 2. Wahl ist dann vorgegeben!). --mst 11:44, 24. Jan 2006 (CET)

Du hast 3 Tore (A, B und C) mit 2 Nieten und einem Gewinn. Du wählst Tor B mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 aus, dass sich der Gewinn dahinter befindet. Nun öffnet der Moderator Tor A mit einer Niete. Dieses Tor wurde vom Moderator nicht zufällig gewählt sondern weil dieser über den Inhalt der Tore bescheid weiss. Tor B konnte nicht geöffnet werden, weil du dieses gewählt hast und kommt für den Moderator somit garnicht in Frage und Tor C weil dahinter vielleicht (danach mit einer 2/3 Wahrscheinlichkeit) der Gewinn befindet. 62.180.108.206 19:48, 24. Jan 2006 (CET)

Änderungsvorschlag Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators

Auf die Gefahr hin, ein Flamefest zu starten möchte ich vorschlagen, den genannten Abschnitt zu streichen, da er erstens ziemlich verworren und zweitens falsch ist. ;) "Wer wird Millionär" passt auch nicht so ganz rein. Wilbert, Gunther und Pik-Asso haben schon über die Wahrscheinlichkeiten diskutiert, und es wundert mich sehr, dass Wilbert aufgegeben hat, denn er liegt richtig.

Unter folgenden Spielregeln

1. Der Moderator muss immer irgendeine Tür öffnen

2. Der Kandidat darf immer wechseln, wenn eine Ziege gezeigt wurde

ist die Motivation des Moderators - ob zufällig, helfend oder böswillig - irrelevant. Nach dem Argument der Gegenwahrscheinlichkeit ist der Wechsel immer ratsam.

Jetzt, bedingte Wahrscheinlichkeiten erschliessen sich nicht so leicht der Intuition, darum gibt es ja auch so viele Diskussionen zum Thema. Zur Überzeugung der Zweifler, hier noch einmal der Beweis durch die Gegenwahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit, am Anfang auf das Auto zu setzen ist 1/3. Wenn nun eine Tür offensteht, die eine Ziege zeigt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich auf dem Auto sitze immer noch 1/3. Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass hinter der anderen Tür das Auto ist, ist somit 2/3.

Gern möchte ich diesen Beweis verteidigen, indem ich die Fehler in Gegenbeweisen aufzeige. Pik-Asso hatte folgende Tabelle genannt, wenn ich richtig verstanden habe zur Unterstützung des 50/50 Arguments.

         K1   M    K2
Fall 1   A    Z    Z
Fall 2   Z    A    Z
Fall 3   Z    Z    A

Wenn ich richtig verstanden habe, basierte die Argumentation auf Streichung des Fall 2. Das bedeutet aber nicht, dass die Wahrscheinlichkeiten einfach neu verteilt werden, Fall 1 hat nach wie vor die Wahrscheinlichkeit 1/3, Fall 3 hat nun die Wahrscheinlichkeit 2/3. Denn: die Streichung des Falls "Moderator zeigt Auto" bedeutet, dass Fall 2 verboten wird. Aber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ersten Wahl des Kandidaten bleibt bestehen, es wird nicht neu gemischt! Der Fall 2, der nun verboten wird, geschieht ja nur unter der Bedingung, dass K1 Z gewählt hat. Wenn unter dieser Bedingung Fall 2 verboten ist, gibt es nur noch die Möglichkeit der Wahl des Fall 3. Somit entfallen nun 2/3 auf Fall 3. Das sieht man besonders gut, wenn man sich den vollständigen Spielbaum für den Fall "Wechsel" anschaut inklusive der Möglichkeiten "Auto Moderator" und die dann streicht.

Ui, ich fürchte, meine Erklärung ist auch nicht ganz klar. :-/ Konnte ich schon überzeugen? Ich schreibe es gern nochmal deutlicher auf, denn es tut mir in der Seele weh, wenn es gerade in diesem Artikel Fehler gibt. ;)

--Georg.Wilckens 11:54, 24. Jan 2006 (CET)

Mal angenommen, ich gehörte zu den Zweiflern, dann würde ich Deinem Argument

Die Wahrscheinlichkeit, am Anfang auf das Auto zu setzen ist 1/3. Wenn nun eine Tür offensteht, die eine Ziege zeigt, 
so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich auf dem Auto sitze immer noch 1/3. Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass hinter 
der anderen Tür das Auto ist, ist somit 2/3.

folgendes entgegnen: Du behauptest also, das Öffnen Ziegen zeigender Türen verändere nicht die Wahrscheinlichkeit, dass hinter meiner Türe das Auto stehe. Dann nimm einmal an, der Moderator öffne auch noch die zweite Tür, die ich nicht ausgewählt habe, und hinter der sei auch eine Ziege. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass hinter meiner Tür das Auto ist, nicht mehr ein 1/3 (oder 1/2), sondern 1. Damit ist also Deine Aussage widerlegt, dass das Öffnen Ziegen zeigender Türen die Wahrscheinlichkeit, dass hinter meiner Tür das Auto steht, nicht verändert - somit hast Du auch nicht bewiesen, dass die Auto-Wahrscheinlichkeit meiner Tür nach dem Öffnen der ersten Tür noch 1/3 ist. ;-) --AchimP 12:26, 24. Jan 2006 (CET)

Natürlich ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim öffnen der Tür. Am Anfang ist klar bei 3 Türen hat jede Tür 1/3 Auto-Wahrscheinlichkeit, wovon der Kandidat eine auswählt. Nun öffnet der Moderator eine Tür, und die Wahrscheinlichkeit von 1/3 wird auf die restlichen Türen verteilt. FALSCH der Moderator kennt den Inhalt der Türen, und er darf die Autotür nicht öffnen, sondern es muss von den beiden nicht vom Kandidaten besetzten Türen die Ziegentür öffnen, deren Wahrscheinlichkeit von 1/3 geht auf die dritte verbleibende Tür über. Aufgrund dieses Insider-Wissen, ist das Verhältniss bei der Frage, ob der Kandidat wechselt 1 zu 2. Ohne das Insider-Wissen, also wenn z.B. ein Mensch aus dem Publikum eine der drei Türen, die schonmal ausscheidet öffnen soll, würde ja sonst aus versehen sofort das Auto aufgedeckt.

Öffnet der Moderator dann auch noch seine Tür, dann geht die Autowahrscheinlichkeit auf das verbleibende Tor über zu Null oder Eins, denn hier wählt der Moderator auch nichts mehr aus, er hat keine Wahl.--131.188.3.21 13:09, 24. Jan 2006 (CET)

AchimP: Stimmt, gute Kritik. Ich meinte, dass sich die a-priori-Wahrscheinlichkeit nicht ändert. Die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit aufgrund der neuen Informationen ändert sich natürlich schon. Und jetzt ist noch zu zeigen, dass die a-priori-Wahrscheinlichkeit anzunehmen ist für die Berechnung. Aber das kann ich grad nicht klar und verständlich in Worten darlegen. Mit einem Spielbaum ist es aber ganz schnell klar. --Georg.Wilckens 13:25, 24. Jan 2006 (CET)

Siehe den Entscheidungsbaum im Artikel. Wenn die Möglichkeit "Moderator zeigt Auto" noch reinkommt, so bleibt der linke Pfad mit 1/3 Wahrscheinlichkeit intakt. --Georg.Wilckens 13:35, 24. Jan 2006 (CET)

Moderator wählt auch - Insider-Wissen

Zum Ziegenproblem: Habe ich 2 Tore, eines mit Ziege und eines mit Auto, so ist die Wahrscheinlichkeit 50/50.

Den einzigen Vorteil, um meine Wahrscheinlichkeit zu erhöhen einen Treffer zu landen ist Insider-Wissen, und das erhalte ich, wenn ich weiß, welches der 2 Tore der Kandidat in der Runde zuvor aus 3 oder auch mehr Toren ausgewählt hat, und welches der Moderator. Damit sind die beiden Tore nämlich markiert, wie gezinkte Karten.

Weil am Ende mit 2 Toren immer auch noch das Auto dabei sein soll, wählt der Moderator als verbleibendes Tor immer das Auto, außer der Kandidat hat es zu Beginn erwischt, dann nimmt der Moderator irgendein Ziegentor, der Rest wird ja geöffnet. Der Moderator wählt also auch ein Tor aus.

Weil der Kandidat in der ersten Runde eher eine Ziege erwischt, muss der Moderator also öfters das Auto-Tor auswählen, der Rest wird geöffnet. Hier handelt es sich um Insider-Wissen, der Moderator weiß, wo das Auto drin ist, und wählt genau dieses Tor zum verbleiben aus. Außer der Kandidat trifft es beim ersten mal gleich selber, aber das ist eher unwahrscheinlich.

Aufgrund dieser Markierung ist es immer besser das vom Moderator gewählte Tor in der zweiten Runde zu nehmen, also zu wechseln.

Auch ein Münzwurf ändert daran nichts. Wenn ich sage Kopf bleiben, Zahl ist Wechseln, wird viel häufiger Zahl ein Auto bringen und Kopf eher nicht. Werfe ich die Münze 6 mal, kommt im Schnitt 3 mal Kopf und 3 mal Zahl. 3 mal Kopf heißt bleiben bei 1/3 Auto-Wahrscheinlichkeit, bekomme also ein Auto raus. 3 mal Zahl heißt Wechsel zu 2/3 Auto-Wahrscheinlichkeit, bekomme also zwei Auto raus.

Anders ist das wenn ich nicht verrate, welches der Zwei Tore der Kandidat, und welches der Moderator ausgewählt hat. Das heißt, ich enferne die Markierung, und mische die zwei Tore sozusagen nochmal durch. Ich kann den Münzwurf jetzt auch nicht mehr mit Wechsel oder oder bleiben durchführen, denn ich weiß ja nicht wo ich bin, habe die Markierung entfernt. Es bleibt nur die offene Frage linkes oder Rechtes Tor, bzw Tor 1 oder Tor 2, und weil außer der Tor-Nummer nichts mehr markiert ist, ergibt hier mein Münzwurf 50/50. Bei so einem Spiel hat die vorherige Runde keine Bedeutung, es wäre davon unabhängig, also ein ganz unabhängiges neues Spiel. Dann hätte man sich die vorherigen Runden aber auch sparen können.--131.188.3.21 12:58, 24. Jan 2006 (CET)

Falsch: Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation

Im Artikel steht dieser Absatz:

Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation

Der häufigste Grund für das Finden einer falschen Antwort besteht darin, dass man sich nach dem Öffnen des Ziegentores fälschlicherweise eine „vergleichbare“ Situation vorstellt: Wenn man die Auswahl zwischen zwei Toren hat, aber nur eines das richtige ist, dann stehen die Chancen 50:50. Dies ist auch korrekt, aber nur wenn der Kandidat einfach nur zufällig eine der beiden verbleibenden Türen wählt, also mal wechselt, mal nicht: wenn er sich zu diesem Zeitpunkt neu entscheidet, ohne sein Vorwissen zu berücksichtigen – indem er zum Beispiel eine Münze wirft –, dann sind die Gewinnchancen ausgeglichen.

Ich habe ergänzt, dass die Chancen des Kandidaten auf ein Auto ausgeglichen erscheinen, bei 6 mal spielen nimmt er 3 Autos mit und 3 Ziegen, aber offensichtlich die eine Seite der Münze öfter Autos abwirft als die andere, nämlich die Münzseite, die für Wechsel steht.

--131.188.3.21 13:55, 24. Jan 2006 (CET)

Voraussetzung dafür ist aber, dass er die Vorgeschichte nicht kennt. Denn er wählt mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die 1/3-Tür und mit einer von 50% die andere. Hierbei spielt es aber dann gar keine Rolle, wie die Wahrscheinlichkeiten auf die Türen verteilt sind, sofern nur die Summe eins beträgt. --Hutschi 16:01, 24. Jan 2006 (CET)

intuitive widerlegung der falschen annahme einer 50:50 chance

falsche annahme: die zweite entscheidung erfolgt unabhängig von der ersten, bzw. durch das öffnen der tür wird die 1/3 chance dieser tür gleichmäßig auf die beiden restlichen türen verteilt, was beides in einer 1/2 chance der restlichen türen resultieren würde.

intuition: je mehr informationen zur verfügung stehen, desto wahrscheinlicher kann eine richtige entscheidung getroffen werden, zumindest aber kann die wahrscheinlichkeit richtig zu entscheiden durch zusätzliche informationen nicht sinken (unter der voraussetzung das der entscheider optimal handelt und die informationen korrekt sind).

wenn man nun statt des autos eine ziege haben möchte, stehen die chancen 2/3 dass man bei der ersten entscheidung richtig liegt. öffnet der moderator nun eine tür mit einer ziege, steht dem entscheider eine zusätzliche information zur verfügung. würde aber die annahme der 50:50 umverteilung stimmen, hätte der entscheider jetzt nur noch eine 1/2 chance eine ziege zu ergattern, dh. die wahrscheinlichkeit richtig zu entscheiden würde trotz mehr informationen von 2/3 auf 1/2 sinken. da dies intuitiv nicht sein kann, kann man wohl den argumenten der wikipedia glauben schenken :)

KEINE intuitive widerlegung der falschen annahme einer 50:50 chance

So einfach kann man die Kenntnis von Informationen nicht wiederlegen... Wenn ich unbedingt eine Ziege gewinnen will - stehen die Chancen dafür bei 2/3. Soweit richtig. Durch die zusätzliche Information, wo sich kein Auto befindet - wüsste ich sofort wo eine Ziege gewesen wäre - allerdings entfällt diese Ziege auch aus dem Spiel. Somit verschlimmert sich meine Chance eine Ziege zu gewinnen auf 1/2, da ich die aufgedeckte Ziege ja nicht mehr wählen kann.

Sicherlich besteht intuitiv die Chance, eine Ziege zu gewinnen bei 2/3, wenn ich bei meiner ursprünglichen Wahl bleibe. Diese fällt auf 1/3, wenn ich die Tür wechsle. Daran würde sich nur etwas ändern, wenn die Ziege in der Zwischenzeit hin- und herlaufen könnte - oder wenn ich sie durch superfeine Geruchsnerven durch die geschlossene Tür riechen könnte ... --Hutschi 16:47, 24. Jan 2006 (CET)

100 Türen Problem... 99:1 Problem...

Das Problem kann man viel einfacher erklären...
Grund dafür ist wirklich der wissende Showmaster (er weis wo das Auto ist)
Mit größeren Zahlen versteht man das Problem dann auch deutlich besser...

Folgender Fall: es gibt 100 Türen - 1x Auto & 99x Ziege
der Kandidat wählt eine Tür - mit 1/100 Warscheinlichkeit...
der Showmaster öffnet jetzt 98 Türen die alle Ziegen enthalten...
es bleiben 2 Türen stehen...
die Kandidaten-Tür & die Tür die der Showmaster stehen gelassen hat...
der Kandidat habe mit einer Warscheinlichkeit von 1/100 auf das Auto getippt
der Showmaster weis wo das Auto ist und musste 98 Türen entfernen die Ziegen enthalten.
damit ist es fasst (99/100) sicher das die letzte Tür des Showmasters die Autotür sein muss, es sei denn ich hatte (1/100) soviel Glück und habe selber das Auto aufgedeckt.
wer von euch würde bei diesem Spiel auf seiner Tür verharren? Intuitiv...!

Erweitert von mir aus die 100 Türen auf 1.000.000 mit zunehmender Anzahl von Türen wird das Problem eigentlich immer deutlicher!

Hier ist also der Knackpunkt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der zweiten Entscheidung von der Existenz einer ersten abhängig gemacht wird. D. h. gibt man mir zuerst 100 Tore zur Auswahl, ich treffe aber keine Wahl und danach werden direkt 98 Tore geöffnet, beträgt die Verteilung 0,5 und 0,5 oder wie? --Jazzman 17:27, 24. Jan 2006 (CET)

ja, das ist der Knackpunkt --WikiWichtel Cappuccino? 18:16, 24. Jan 2006 (CET)

Ich versteh es immer noch nicht...

Hallo, ich hab mir mehr oder weniger alle Absätze des Artikels durchgelesen aber ich versteh das Problem noch immer nicht:

Erste Situation 1 von 3 Toren wird gewählt, d. h. P(Treffer)=1/3; P(Niete)=2/3

Zweite Situation - eine Niete wird weggenommen 1 von 2 Toren muss gewählt werden => P(Treffer)=1/2; P(Niete)=1/2

oder? --Jazzman 17:04, 24. Jan 2006 (CET)

Ich hoffe du hast auch einige Absätze der Diskussion durchgelesen. Hier werden nochmal einige Erklärungsansätze gebracht, die für den Artikel zu ausführlich waren, bzw. aus anderen Gründen nicht hinein passen. Meiner Ansicht nach sind alle Erklärungsansätze ziemlich ausgeschöpft und es wird dir niemand eine neue Erklärung liefern können. Mein persönicher Tip ist, das Problem mit Freunden einfach mal auszuprobieren: Einer legt die die Ziegen hinter die Türen (oder Linsen und Erbsen unter Hütchen) und spielt den Moderator und Du musst das Spiel spielen. Einigt euch vorher darauf, dass ihr eine Serie spielt, bei der immer umentschieden wird, bzw. bei der Wahl geblieben wird, und notiert die Ergebnisse. 100 Versuche sind ausreichend für so ein einfaches Experiment. Danach überlege selbst, warum das Ergebnis so ist, wie es ist und lies noch einmal die Diskussion dieser Seite.

Zu deiner Beruhigung: Man muss die wissenschaftliche Theorie (bedingte Wahrscheinlichkeiten) nicht gelernt und verstanden haben, um zu verstehen, warum das Ziegenproblem die Lösung hat wie im Artikel beschrieben. Ich jedenfalls habe es damals ohne theoretische Vorbildung kapiert. --Ariser 17:23, 24. Jan 2006 (CET)

Verstehst Du das Problem nicht, oder die Lösung nicht (Deine ist falsch)? Er kann sich ein Tor aussuchen, P(Treffer)=1/3. Nun hat er die Wahl, statt des einen beide anderen Tore zu bekommen. P(Treffer)=2/3.

Dass der Moderator ihm vor seiner Entscheidung eines der beiden Tore öffnet, dient nur zur Verwirrung der Mathematiker. --AchimP 17:28, 24. Jan 2006 (CET)

Hallo und danke für die zahlreichen Antworten. Mein Problem ist, dass hier offensichtlich die Wahrscheinlichkeitsverteilung in Situation 2 von der Existenz von Situation 1 abhängig bemacht wird.

Stellt der Moderator alle drei Tore vor, schließt dann aber sofort ein Tor als Niete aus und gibt mir so von Anfang an die Auswahl zwischen zwei Toren, dann beträgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung doch wohl 0,5 und 0,5 oder? Warum sollte es dann eine Rolle spielen, ob ich mir vorher schon ein Tor ausgesucht habe? --Jazzman 17:37, 24. Jan 2006 (CET)

Beide Ereignisse sind nicht unabhängig voneinander, z. B. kannst Du Dir nicht das Tor "ausgesucht haben", das der Moderator öffnet. Vergiss doch mal, dass ein Tor geöffnet werden wird und lies Dir nochmal meine Erklärung durch.--AchimP 18:06, 24. Jan 2006 (CET)

Sind sie doch. In der zweiten Situation habe ich die Wahl zwischen einem "falschen" einem "richtigen" Tor. Vorher hat der Moderator ein "falsches" Tor geöffnet, also aus der Situation quasi gestrichen. Wenn ich am Anfang das "richtige" Tor ausgewählt hatte, konnte der Moderator zwischen zwei Toren das zu öffnende auswählen, wenn nicht, stand für ihn fest, welches er öffnen würde. Das ändert aber nichts am Aufbau der zweiten Situation. --Jazzman 18:54, 24. Jan 2006 (CET)

Er hat aber nicht ein beliebiges Tor geöffnet, sonderen eines von den zweien, die Du übrig gelassen hast. Deine Wahl hat also die seine beeinflusst, also sind die zwei Ereignisse nicht unabhängig. Vorschlag: Mache die empirische Versuchsreihe, überzeuge Dich dadurch davon, dass der regelmäßige Wechsel die Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppelt und lies dann im Artikel nach, warum das so ist. --AchimP 00:25, 25. Jan 2006 (CET)

Hallo Jazzman, deine Frage finde ich von der Idee her gut und dem ersten Teil stimme ich zu. Aber die Situationen sind nicht vergleichbar, denn der Moderator reagiert auf den Kandidaten, abhängig von dessen Wahl, indem er ihm eines der beiden anderen Tore zeigt. Wegen dieser Abhängigkeit darf die Reihenfolge der Vorgänge nicht vertauscht werden. --Wiegels „…“ 19:44, 24. Jan 2006 (CET)

Doch. Es kommt ja auf die Wahrscheinlichkeit an mit der du das richtige Tor triffst, wenn du 3 Versuche hast: in 1 von 3 Versuchen hattest du vorher das richtige Tor schon gewählt, aber in 2 von 3 Versuchen hattest du zuerst ein falsches Tor gewählt. Dieses Wahrscheinlichkeitsverhältnis von 1/3 zu 2/3 bleibt erhalten, auch wenn der Moderator das eine falsche Tor öffnet. Wenn du dich dann das Tor tauscht hast du eine Chance von 1:2 das richtige Tor zu treffen. schau auch mal unten den Abschnitt #Praktisch an - vielleicht verstehst du`s dann? gruß ••• ?! 19:41, 24. Jan 2006 (CET)

Ich möchte meine Meinung zu dem "Problem" noch mal verdeutlichen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3.

Ist definitiv falsch. Deutlich wird das an dem weiter unten sichtbaren Entscheidungsbaum. Dort werden zwei Wahrscheinlichkeiten als 1/3 und 2/3 gezeigt, allerdings sind dies die Wahrscheinlcihkeiten, dass Gewinn und Verlust bei der anfänglichen Wahl a) von A b) von B oder C eintreten. Isoliert für einen Ast des Baumes erhält man als abhängige Wahrscheinlichkeiten jeweils 1/2 und 1/2. --Jazzman 23:12, 24. Jan 2006 (CET)

mit "ist definitiv falsch" solltest du vorsichtig sein ;) 217.84.27.1 23:23, 24. Jan 2006 (CET)

Ergo ist das Diagramm in seiner Aussage unzutreffend, es zeigt nur, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten, zum richtigen bzw. falschen Ergebnis zu kommen, 1/3 zu 2/3 verteilt sind. Logisch, denn die Wahrscheinlichkeit, am Anfang A zu wählen, beträgt 1/3. Korrekterweise müsste man aber für jeden Ast die Wahrscheinlichkeiten getrennt betrachten, um die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Situation zu ermitteln. --Jazzman 23:38, 24. Jan 2006 (CET)

Ich habs doch noch verstanden und will kurz meinen Erklärungsansatz erläutern, sodass nicht noch mehr Leute wie ich einen ganzen Tag damit vergrübeln:

Wir müssen von zwei Annahmen ausgehen: 1. Wenn meine anfängliche Wahl falsch ist, komme ich zum richtigen Ergebnis, wenn ich wechsle, 2. Wenn meine erste Wahl richtig ist, dann komme ich zum richtigen Ergebnis, wenn ich nicht wechsle. Da die Wahrscheinlichkeit, dass ich am Anfang richig gewählt habe, aber nur 1/3 beträgt, ist logischerweise auch die Wahrscheinlichkeit, dass ich ohne zu wechseln zum richtigen Ergebnis komme, auch nur 1/3. Fertig. --Jazzman 00:21, 25. Jan 2006 (CET)

Der Artikel ist verwirrend

Ich habe den Artikel gelesen und ich habe es nicht verstanden. Dann habe ich es durchdacht und meine es verstanden zu haben. Dann habe ich den ersten Teil des Artikels nochmals gelesen und irgendwie gefällt er mir überhaupt nicht(leider ohne genau sagen zu können, wie man es besser machen kann):

Die Lösung ist sicherlich richtig, dass die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns mit dem Wechsel auf 2/3 der URSPRÜNGLICHEN Wertemenge steigt. Aber wie erklären, wenn doch die Wahrscheinlichkeit dass der Gewinn hinter einem der verbliebenen Tore liegt tatsächlich 0,5 (der verbliebenen Tore) beträgt.

Ich meine, die Alternative lautet nicht "bleibe ich bei Tor X oder wechsle ich zu Tor Y" sondern "bleibe ich bei einem einmal gewählten Tor oder ziehe ich einen Wechsel als Möglichkeit in Betracht". Es sind zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchzuführen. Im ersten Fall stimmen die angegebenen Wahrscheinlichkeiten. Es ist zu 2/3 wahrscheinlicher, dass es nicht das gewählte Tor ist.

Im zweiten nicht mehr, denn dann gibt es ein neues Spiel mit einer neuen Wahl und neuen Wahrscheinlichkeiten, denn die liegen dann bei 1/2 der NEUEN Wertemenge ganz egal ob ich tatsächlich wechsle oder nicht.

Die Strategie "immer-wechseln" ist nur eine Variante der 2.Möglichkeit und ist somit auch nicht wahrscheinlicher als die Strategie "immer-neu-wählen".

Praktisch

Mal praktisch: 3 Durchgänge, Susi verschiebt hinter den Toren immer die Zonks und das Auto, wenn ich zufällig wählen würd und dabei bliebe ist meine Wahrscheinlichkeit das Auto zu bekommen bei 1/3 - aber ich bin ein Fuchs wähle zuerst immer Tor 1 und wechsel dann das Tor nach der "Immer wechseln"-Methode

Tore	Tor 1	Tor 2	Tor 3
hinter den Toren:	Zonk	Zonk	Auto
Ich wähle zunächst	x
Moderator öffnet		x
Ich tausche			x

Tore	Tor 1	Tor 2	Tor 3
hinter den Toren:	Zonk	Auto	Zonk
Ich wähle zunächst	x
Moderator öffnet			x
Ich tausche		x

Tore	Tor 1	Tor 2	Tor 3
hinter den Toren:	Auto	Zonk	Zonk
Ich wähle zunächst	x
Moderator öffnet		x
Ich tausche			x

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 wähle ich natürlich zunächst einen Zonk, weil dann aber ein weiterer Zonk vom Moderator ausgeschaltet wird, verbleibt in jedem Fall das Auto, da ich dieses aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 am Anfang gewählt habe, wechsel ich und bekomm in 2 von 3 Versuchen das Auto :) Vielleicht kann man das ja auch in dem Artikel zur Verdeutlichung einbringen? gruß ••• ?! 17:43, 24. Jan 2006 (CET)

du hast nur drei Tabellen gemalt, was ist mit dieser hier?

Tore	Tor 1	Tor 2	Tor 3
hinter den Toren:	Auto	Zonk	Zonk
Ich wähle zunächst	x
Moderator öffnet			x
Ich tausche		x

mfg --WikiWichtel Cappuccino? 18:19, 24. Jan 2006 (CET)

Hallo WikiWichtel, hehe, ist doch für den Spieler das gleiche welchen Zonk er bekommt. ;-)

Nein, ich hab doch in unserem vereinfachten Modell drei Versuche - in der realen Quizshow hab ich sogar nur einen Versuch bei drei Toren (deswegen 1/3-Chance) - und du bringst hier auf einmal einen vierten Versuch rein. Dass ist wie wenn du sieben mal würfelst und dann behauptest der Würfel sei kaputt, weil du 2 mal die 1 gewürfelt hast. gruß ••• ?! 18:35, 24. Jan 2006 (CET)

Teilsperrung

Wegen des Vandalismus habe ich den Artikel halbgesperrt und ihn auf eine Version ohne auffälligen Vandalismus zurückgesetzt.--Gunther 20:29, 24. Jan 2006 (CET)

Die im Textbaustein genannten Vorraussetzungen von schweren und häufigen Fällen von Vandalismus sind meiner Ansicht nach nicht erfüllt. Soweit ich gesehen habe, wurden nur einmal drei Überschriften verändert. --Jazzman 23:54, 24. Jan 2006 (CET)

Es waren verschiedene IPs am Vandalismus beteiligt, eine Sperrung einzelner IPs hätte vermutlich nichts gebracht. Abgesehen davon habe ich den Eindruck, dass hier viel zu viel ohne Überlegung umgeschrieben wird; der Artikel verleitet offenbar jeden, der das Prinzip verstanden hat, dazu, den Weg des eigenen Verständnisses mit der Welt zu teilen.--Gunther 12:15, 25. Jan 2006 (CET)

Ich halte die folgende Abwandlung der Grundvariante des Spiels für strukturell gleichwertig mit der üblichen Situation mit Türen,Ziegen und Auto, sie ist aber möglicherweise für viele im wahrsten Sinne des Wortes "greifbarer" und funktional wahrnehmbarer, jedenfalls für diejenigen, die das visuell-operative Denken in Abläufen dem statischen Denken in Formeln und abstrakten Prädikationen vorziehen:

In einem Beutel befinden sich zwei schwarze Kugeln (Nieten) und eine weiße (Gewinn). Der Kandidat weiß dies. Nun zieht er blind eine Kugel aus dem Sack, darf sie aber nicht anschauen (und als ehrliche Haut schummelt er auch nicht - wir sind halt nicht bei Wetten daß...). Er behält die Kugel in der Hand. Der Moderator darf in den Sack hineinsehen, holt eine schwarze Kugel heraus, zeigt sie dem Kandidaten, legt sie offen in ein Kästchen und stellt den Kandidaten nun vor die Wahl, entweder die Hand zu öffnen und zur Beendigung des Spiels die darin befindliche Kugel zu behalten, oder aber diese Kugel in das Kästchen neben die dort schon befindliche schwarze zu legen und noch mal in den Sack zu greifen, um die letzte Kugel herauszuholen, die er dann behalten muß.

Vor der möglichen zweiten Wahl kann der Kandidat sich sagen: Zu Beginn des Spiels waren zwei schwarze und eine weiße Kugel im Beutel.Ich kann also nicht sicher sein, welche Farbe die Kugel in meiner Hand hat. Aber eine der beiden schwarzen ist inzwischen nicht mehr im Sack, sondern liegt jetzt im Kästchen vor mir. Falls ich jetzt eine weiße Kugel in der Hand halten sollte, kann die einzige noch im Sack verbliebene also nur noch die andere schwarze sein. Und umgekehrt. Ich will die weiße Kugel gewinnen. Diese ist mit Sicherheit im Sack (und in diesem Fall müßte ich also wechseln), wenn sich in meiner Hand die andere schwarze befindet. Jetzt muß ich also nur noch wissen, ob irgendetwas dafür spricht, daß ich die andere schwarze Kugel in der Hand habe. Je mehr schwarze Kugeln sich im Sack befunden hätten (neben der einzigen weißen), desto größer wäre meine Chance, eine schwarze herauszugreifen. Nun weiß ich ja, daß es nur zwei schwarze waren. Aber auch dann ist es immer noch wahrscheinlicher, eine der beiden schwarzen zu ziehen als die einzige weiße. Wenn das aber so ist, spricht mehr dafür, daß ich tatsächlich eine schwarze in der Hand halte. Und ich weiß ja, daß dann die weiße im Sack liegt.Also hole ich jetzt lieber mal die letzte Kugel aus dem Beutel.

Ich habe das Spiel vor vielen Jahre mal programmiert, und selbstverständlich bestätigte sich bei der Auszählung, daß sich die Gewinnquote permanent dem Erwartungswert von 66,6-Periode-% annähert, je mehr Durchgänge man den Compi fahren läßt.

Daß man "in zwei von drei Fällen" eine Niete erwischt, geht ja eigentlich davon aus, daß es mindestens auch 3 Fälle gibt. Die in einem abstrakten Bruch ausgedrückte Wahrscheinlichkeit stellt in diesem Sinne nur die Quintessenz einer permanenten Wiederholung der Fälle dar, indem sie alle vorkommenden Fälle eines vorgestellten Vorgangs, der "historisch" in zeitlichen Dimensionen abläuft, auf einen einzigen dimensionslosen Augenblick reduziert, indem sie jedem einzelnen vorkommenden Fall immer denselben Durchschnittswert zuweist, der für diesen Einzelfall aber keineswegs der "historischen" Realität entsprechen muß. Schließlich bildet auch der Zufall Klümpchen, wie man zB bei den Pari-Chancen des Roulette an den immer wieder mit berechenbarer Durchschnittshäufigkeit auftretenden "langen Serien" zB einer gleichen Farbe sehen kann, in denen dennoch jeder einzelne darin enthaltene Wurf im Voraus nur eine 1/2-Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Farbe hatte. Solche Serien widersprechen nicht nur nicht, sondern entsprechen vielmehr explizit der Mathematik, aber sie widersprechen in hohem Maße der Intuition.

Liegt die zentrale intuitiv begründete Schwierigkeit beim Verständnis des Ziegenproblems möglicherweise darin, daß eigentlich in keiner Spielregel angegeben ist, wie viele Durchgänge es für den konkreten Kandidaten geben wird (man darf sich also durchaus auch vorstellen, daß das Spiel für jeden Kandidaten nach einem Durchgang beendet ist, was ja wohl auch eher der Realität entspräche), und daß die Vorstellung, daß eine aus einer gedachten Vielzahl von Fällen entwickelte Rechenregel mir nichts darüber sagen kann, welches Ergebnis der für mich hier und jetzt einzige jemals vorkommende Fall haben wird, den ich gerade entscheiden soll? Dieser intuitive Gedanke findet denn, wenn auch nur scheinbar, seine Bestätigung darin, daß es schon einer ganzen Reihe wiederholter Versuche bedarf, bis der Durchschnittswert präzise der Erwartung entspricht.

mfg Wilbert

Bingo Wilbert!,

Für die Menge aller Kandidaten die an dem Spiel Teilnehmen gilt:

Die Wechselstrategie führt nach einer Reihe von Spieldurchgängen (empirisch und mathemathisch wohl bewiesen ) dazu, daß der Sender mehr Autos rausrücken muß. Ein Kandidat der nur einen Spieldurchgang erhält, braucht nicht strategisch zu handeln, das macht nur Sinn wenn er mit den anderen vereinbart hat, den Sender zu schädigen und die Beute zu teilen. Denkt er nur an sich, wird er feststellen das sich die Chance für Ihn, mit seiner Einzelchance nicht signifikant (!) erhöht. 1:1 ist eben nicht gleich 50:50 Nehmen wir 2 Loshaufen a 33 Stück, einer mit 34 Stck es gibt genau ein goldenes los. Wer 300 Versuche hat erhöht seine Chancen wenn er grundsätzlich aus dem 34er nimmt wer nur einmal zugreifen darf, braucht sich den Kopf nicht zu zerbrechen. Das nenn ich jetzt mal Fuzzy Statistik. ~Hein ohne Abi

Wesentliche Vorraussetzung etwas umformulieren?

Meines Erachtens müsste man im Abschnitt „wesentliche Vorraussetzungen“ im zweiten Satz noch mal explizit darauf hinweisen, dass der Moderator eine beliebige Tür aufmacht. Also möglicherweise auch die vom Kandidaten gewählte. Wählt er nämlich immer eine beliebige andere, spielt es keine Rolle, ob der Moderator Bescheid weiß oder nicht. Man sollte für den Fall, dass der Moderator ein Nietentor aufmacht, trotzdem wechseln. Jetzt handelt es sich ja um die Standardsituation. Öffnet der Moderator das Gewinntor hat man eh Pech gehabt und braucht sich mit dem Wechelproblem dafür auch nicht mehr befassen. Gruss --Olivhill 21:44, 24. Jan 2006 (CET)

Hallo Olivhill, der Moderator öffnet eines der beiden Tore, die der Kandidat nicht gewählt hat. Zusätzliche Einschränkung für ihn ist, dass sich dahinter nicht das Auto befindet. --Wiegels „…“ 21:49, 24. Jan 2006 (CET)

Das wäre ja wieder die Standardsituation und würde Vorrausetzen, dass der Moderator Bescheid weiß. Ich meine die Möglichkeit, dass der Moderator zwar auch keinen blassen Schimmer hat, aber in jedem Fall nicht das vom Kandidaten gewählte Tor öffnet. --Olivhill 22:06, 24. Jan 2006 (CET)

Der Moderator weiß Bescheid und gibt einen Teil seiner Information weiter. Wenn er nicht Bescheid wüsste, könnte er im zweiten Schritt auch die Tür mit dem Auto aufmachen. Das würde die Gewinnwahrscheinlichkeit auf Null reduzieren. Wie weiter oben bereits gesagt wurde, reduziert sich die Fragestellung auf: Willst Du die erste Tür nehmen oder die beiden anderen (unter Verzicht auf die Ziege). --Hutschi 07:52, 25. Jan 2006 (CET)

Hallo Wiegels und Hutschi, die Frage von Olivhill befasst sich mit einem anderen Punkt. Und zwar mit einer Formulierung im Abschnitt Wesentliche Vorraussetzung, darin ist überlegt was man machen soll wenn der Moderator nicht weiß, wo das Auto ist. Es wird behauptet, dass es egal ist ob man Wechselt, in dem Fall sei die Wahrscheinlichkeit auf einen Auto-Gewinn immer 1/3.

Das ist völlig falsch. Der ganze Abschnitt ist nicht richtig. Denn wesentliche Vorraussetzung, die Gewinnchancen zu steigern ist die Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Unter der Bedingung, dass ich in der ersten Runde eher eine Ziege erwischt habe, entscheide ich mich in der Zweiten Runde auf die verbleibende Tür zu wechseln, nach dem die meisten Ziegen enttarnt wurden und eher in der verbleibenden das Auto steckt.

Wenn er es nicht weiß und versehentlich das Auto enttarnt, dann ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, es noch zu bekommen, gleich Null. --Hutschi 12:40, 25. Jan 2006 (CET)

Konkret zum Abschnitt, so war es formuliert: Wesentliche Voraussetzung

Eine wesentliche Voraussetzung für diese überraschende Lösung ist allerdings, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor sich der Hauptgewinn befindet und dass der Moderator auf jeden Fall ein anderes Tor aufmacht. Wenn auch der Moderator nicht weiß, wo der Hauptgewinn verborgen ist, öffnet er in 1/3 aller Fälle das Tor für den Hauptgewinn. Die Chance, dass der Kandidat den Hauptgewinn erhält, bleibt dann 1/3, sowohl mit als auch ohne Wechsel.

--131.188.3.21 10:26, 25. Jan 2006 (CET)

Nachdem der Abschnitt "Wesentliche Voraussetzung" eine ganz andere Variante behandelt, wo der Moderator auch das Auto-Tor öffnen darf und zudem falsch ist, (wenn er nicht wechselt, dann verschenkt er hier zusätzlich zum Verlust, wenn der Moderator das Auto öffnet, den Ziegenproblembonus. Seine Hauptgewinnchance ist mit immer Wechseln bei 1/3, ohne bei weniger als 1/4, (bei 2/9 glaube ich), also keine "wesentliche Vorraussetzung" für unser Ziegenproblem darstellt, habe ich den Abschnitt entfernt.--Domingus 10:43, 25. Jan 2006 (CET)

Na Vorsicht, möglicherweise war der Abschnitt doch richtig. Wo ich jetzt eine Nacht darüber nach gedacht habe ist das ganze seltsamer als zuvor. Ich ging von folgender Annahme aus: Ich wähle Tor A (Gewinnchance 1:3), der Moderator öffnet ein beliebiges anderes Tor, z.B. C (Gewinnchance Moderator 1:3). Falls hinter dem Tor vom Moderator kein Auto ist, soll ich nun Wechseln? Ich ging nun davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Tor B und C zusammen 2:3 betragen. D.h. wie in der Standardsituation ist in diesem Fall ein Wechsel auf Tor B angebracht (Gewinnchance 2:3). So, die Möglichkeit zum Wechsel habe ich aber nur in 2:3 aller Fälle, da der Moderator in 1:3 aller Fälle das Gewinntor öffnet. Somit gewinne ich mit einer Chance von 2:3 in 2:3 aller Fälle. D.h. wenn ich wechsle habe ich eine Gewinnchance von 4:9. Wie kann aber hinter Tor B, mit einer Chance von 4:9 das Auto stehen, wenn Tor A und Tor C bereits jeweils eine Gewinnchance von 1:3 besitzen? Irgendwo ist hier der Wurm drin. --Olivhill 11:48, 25. Jan 2006 (CET)

Böser Wurm: Was machst du: In 2:3 Fällen ists 2:3 und in 1:3 Fällen ist 0 (Moderator hat Auto-Tür geöffnet), daraus folgt die Gesamtwahrscheinlichkeit und jetzt kommt dein Denkfehler

[(2:3 * 2:3) + (1:3 * 0)] / 2 = [(4:9) + 0] / 2 = 2:9

d.h. du musst alle Möglichkeiten zusammenzählen und durch die Anzahl teilen, Durchschnitt eben, also im Schnitt gewinnt man mit 2:9 Wahrscheinlichkeit. Das Tor B aus deinem Beispiel erhält die 4:9 doch erst, nachdem der Moderator ein Tor mit Ziege geöffnet hat, wieso hat Tor A und Tor C noch jeweils 1:3 bei dir, wo doch der Moderator eines von beiden geöffnet hat? Zudem, wenn du davon ausgehst, dass der Moderator nicht das Auto-Tor erwischen wird, dann sind unter dieser Bedingung die Restwahrscheinlichkeiten pro Tor 2:9, nämlich (2:3):3, das andere 1:3 ist ja wenn der Mod das Auto direkt öffnen wird. So und das eine 2:9 geht nach dem öffnen auf das andere über zu zusammen 4:9, so hast du es ja berechnet, und wie beim klassischen Ziegenproblem sollte man wechseln, und verdoppelt so seine Gewinnchance von 2:9 auf 4:9. Von wegen Vorsicht, du kannst gerne einen neuen Abschnitt zu diesem anderen Ziegenproblemvariante schreiben, dann aber mit unserem Inhalt, aber niemals ist es die wesentliche Vorraussetzung, mit der es für das klassische Ziegenproblem tituliert wurde. Grüße Domingus --131.188.3.21 13:09, 25. Jan 2006 (CET)

Wenn er es nicht weiß und versehentlich das Auto enttarnt, dann ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, es noch zu bekommen, gleich Null. Wenn er dagegen die Tür mit der Ziege öffnet, dann ist eventuell hinter der anderen noch das Auto. Die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einer von zwei Türen ist, ist zwei Drittel. Wenn er also die Tür öffnet und kein Auto dahinter ist, ist es besser zu wechseln. Im anderen Fall hat es keinen Sinn, da für beide verbliebenen Türen die Wahrscheinlichkeit Null ist, zumindest, solange kein weiteres Auto im Spiel ist. --Hutschi 12:39, 25. Jan 2006 (CET)

Siehe die Diskussion weiter oben unter der Überschrift "Sich ändernden Chancen". Wenn der Moderator nichts weiß, lohnt sich ein Wechsel nicht.--Gunther 12:46, 25. Jan 2006 (CET)

Also Gunther richtig ist: Wechsel ist immer richtig. Immer heißt natürlich im statistischen Durchschnitt am Besten, konkret kann man natürlich trotzdem noch verlieren. Habe noch was dazu Abschnitt [#Sich_.C3.A4nderenden_Chancen|"Sich ändernden Chancen"]] ergänzt. Domingus--131.188.3.21 13:47, 25. Jan 2006 (CET)

Ich sehe nichts. Welches Datum, welche Uhrzeit?--Gunther 13:57, 25. Jan 2006 (CET)

Ok, jetzt.--Gunther 14:02, 25. Jan 2006 (CET)

Ich denke, ich mache euch dort die schöne Pik-Asso Tabelle nochmal in vollständiger Version. Ich liebe bedingte Wahrscheinlichkeit :-) Domingus --131.188.3.21 14:04, 25. Jan 2006 (CET)

An dieser Stelle bin ich irritiert. Ich muss es noch mal in Ruhe durchrechnen. Es fallen die Fälle weg, in denen die falsche Tür aufgedeckt wird. Bei Wissen des Moderators fallen sie nicht weg. Damit ist die Wahrscheinlichkeit nur noch 1/3, statt 2/3, da die Hälfte der Fälle wegfällt. Damit ist tatsächlich 1/3 gegen 1/3. Also ist die chance beim Wechsel gleich, wenn der Moderator auch keine Ahnung hat. Gunther hat vollkommen recht. --Hutschi 13:08, 25. Jan 2006 (CET)

Wenn der Moderator nichts weiß, lohnt sich ein Wechsel nicht. Das kann ich immer noch nicht glauben. Dies würde bedeuten, dass es einen logischen Fehler in dem "Dialog" weiter oben gibt im Abschnitt "Meine perönliche Quintessenz". Wo steckt der Fehler? --Pik-Asso 14:05, 25. Jan 2006 (CET)

Wenn der Moderator nicht weiß, wo das Auto ist lohnt sich zwar der Wechsel nicht (genau genommen lohnt er sich genauso wahrscheinlich, wie er das Auto verspielt).

Mit Wsk 1/3 wählt der Kandidat zuerst die Auto-Tür (*g*)

In diesem Fall öffnet der Moderator nie die Tür mit Auto. Man gewinnt, ohne Wechsel und verliert beim Wechseln.

Mit Wsk 2/3 wählt der Kandidat zuerst eine Ziegentür.

Mit Wsk 1/2 öffnet der Moderator eine Ziegentür. In diesem Fall gewinnt man beim Wechsel und verliert ohne.

Öffnet der Moerator die Autotür (*gg*) verliert man auf jeden Fall.

Insgesamt ist die Wsk das Auto zu bekommen mit Wechsel gleich 2/3 * 1/2 = 1/3 und ohne Wechsel gleich 1/3.

-- Towa

Durch Gunthers Überzeugungsarbeit bin ich jetzt auch mit der Wesentlichen Vorraussetzung total glücklich! Und immer gilt: "erst denken - dann handeln" - Domingus --131.188.3.21 15:57, 25. Jan 2006 (CET)

Also, ich habe da, durch Diskussion mit anderen, jetzt endlich ein Gedankenweg gefunden, mit dem ich das auch nachvollziehen kann. Angenommen das Modell wird auch hier auf 100 Türen erweitert. Der Moderator macht blind 98 Türen auf. Die gewählte Tür wird in jedem Fall ausgelassen. Öffnet er den Hauptgewinn, so wird das Spiel wiederholt bis es klappt. Es handelt sich nun um eine ganz andere Situation, bei der die Gewinnchancen für die beiden verbleibenden Türen gleich sind. Im Gegensatz zum Standardziegenproblem fixiert der Spieler die Chance für die gewählte Tür nicht vor dem Eingreifen des Moderators, sondern die Chancen verteilen sich immer gleichmäßig auf die verbleibenden Türen. Es handelt sich nicht um ein Spiel, sondern bei jedem erneuten Versuch um ein neues Spiel mit neuer Chancenverteilung. Ich finde diese Abwandlung insofern erwähnenswert, da es denkbar wäre dem Spieler diese Tatsache zu verheimlichen (wenn auch für eine solche Spielshow etwas abwegig). Also das Spiel im Hintergrund solange zufällig ablaufen zu lassen, bis der Moderator nur Niete(n) öffnet. Bei drei Türen sollte dies recht schnell gelingen. Dem Spieler präsentiert man nur das Ergebnis. Er kann dann die Situation also nicht vom Standardziegenproblem unterscheiden, würde aber, wenn er die Chance hätte dieses Spiel häufiger zu Wiederholen, verwundert feststellen, dass seine Gewinnchance nicht 66 %, sondern nur 50 % beträgt. Insgesamt sollte man immer noch im jedem Fall wechseln, da man dadurch die Gewinnchance nie verringert. Irgendwie sollte diese Abwandlung in dem Text aufgenommen werden, da es zumindest mir gezeigt hat (und an den Diskussionen sieht man, dass nicht nur ich in diese Falle gelaufen bin), wie leicht man eine Situation fehlerhaft einschätzen kann, obwohl man gerade geglaubt hat, dass ganze verstanden zu haben. Insofern finde ich, dass dies immer noch zum Ziegenproblem dazu gehört. Meinungen? --Olivhill 01:41, 13. Mär 2006 (CET)

Ich finde diese Variante nicht erwähnenswert. Sie hat nichts mit dem Lemma zu tun und trägt nicht zu dessen Verständnis bei. --02:36, 13. Mär 2006 (CET)

Risiko(a)version

Im Geh auf's Ganze Teil steht Risikoversion, es ist doch aber sicherlich Risikoaversion gemeint!? http://de.wikipedia.org/wiki/Risikoaversion

ja natürlich, ist mir auch eben aufgefallen; ganz offensichtlich ein Tippfehler. Entscheidend ist wie Risikoscheu oder -freudig er ist. -800XL-Imp 00:13, 25. Jan 2006 (CET)

Mein Fehler. Ich hatte das fälschlich "korrigiert". DUH! --AchimP 00:20, 25. Jan 2006 (CET)

auch: Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems

Hallo, ich bin nicht registriert - sorry, wenn ich was unsittlich mache :-)

In diesem Absatz steht unter den Definitionen:

> MA:Der Moderator hat das Tor A geöffnet, ...

müsste es nicht heißen: > MB:Der Moderator hat das Tor B geöffnet, ...

sonst taugt die schöne Formel doch nichts, oder?

arndtsoehlkeemail unkenntlich gemacht wg. Spam

Das ist schon auch gemeint. Soll man lieber MX: Der Moderator hat das Tor X geöffnet schreiben, damit klar ist, dass A für irgendein Tor steht?--Gunther 14:12, 26. Jan 2006 (CET)

_______________________________________________________________________

Die von mir kürzlich angerissene Frage, wie viele Durchgänge der Kandidat spielt, hat mich noch zu folgenden Gedanken gebracht:

Ob man aus den abstrakten Wahrscheinlichkeitswerten (als Darstellung des Durchschnitts bei unendlicher Wiederholung) zugleich eine Handlungsempfehlung für jeden einzelnen vorkommenden Fall (also auch für den ggfs. einzigen) ableiten kann (und um darum geht es bei dem Ziegenspiel nun mal im Kern), kann bei verschiedenen Varianten des Spiels unterschiedlich sein:

Geht man von der Grundvariante des Ziegenspiels aus (Mod muß Ziege zeigen), läßt sich aus der 2/3-Wahrscheinlichkeit, daß K bei seiner 1.Wahl eine Ziege erwischt hat, auch bei nur einem einzigen Durchgang die Wechselempfehlung ableiten. In diesem Fall decken sich Durchschnittswahrscheinlichkeit und Einzelfallwahrscheinlichkeit.

Anders sieht es aber wohl aus, wenn nur ein einziger Durchgang gespielt wird, der Mod zufällig wählt und die Autotür öffnet (was der K spätestens erfährt, wenn dieser Fall eintritt). Hier bleibt die abstrakte Durchschnitts-W auch nach dem Erscheinen des Autos natürlich unverändert und ist auch nicht durch den Einzelfall widerlegt: Der K hatte zuvor immer noch mit 2/3-W eine Ziege und mit 1/3 das Auto erwischt. Aber diese abstrakte Wsk. hat jetzt für eine Handlungsempfehlung keinerlei Relevanz und kann dafür nicht nutzbar gemacht werden – wohl aber könnte sie das, wenn es anschließend noch eine Vielzahl von folgenden Durchgängen mit M-Zufallsöffnung gäbe (= „sicherster Weg“ wegen desjenigen Teils der künftigen Fälle, in denen M zufällig eine Ziegentür öffnet, bei Gewinn-Neutralität der übrigen Fälle).

mfg Wilbert

Wiktionary-Link

Vielleicht könnte jemand so nett sein und bei den Weblinks das hier einfügen:

 {{wiktionary|Ziegenproblem}}

Danke :-) --84.163.123.232 16:58, 29. Jan 2006 (CET)

Done. --AchimP 19:29, 29. Jan 2006 (CET)

Ist das sinnvoll?--Gunther 19:33, 29. Jan 2006 (CET)

IMO genau dann, wenn es den verlinkten Artikel in wiktionary gibt. Ob dieser dort sinnvoll ist, weiß ich nicht - das mögen die Wiktionaren entscheiden. Ich bin nicht so der wiktionary-Fan. Aber solange es den Artikel dort gibt, mag man dorthin verlinken. --AchimP 19:39, 29. Jan 2006 (CET)

Einfacher und trivialer Erklärungsversuch

Ich treffe ja nur an einer Stelle im "Spiel" wirklich eine Entscheidung, und zwar in dem Moment, wo ich zwischen "Wechseln" und "Bleiben" zu wählen habe. Zum Zeitpunkt der ersten "Wahl" habe ich keinerlei Informationen, kann also genausogut eine Münze werfen (wenn sie denn drei Seiten hat).

Was weiß ich aber in dem Moment, wo der Moderator ein Tor geöffnet hat? Es gibt drei Tore: Eines habe ich gewählt, eines ist bekannt und eines ist unberührt. Das gewählte Tor hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 (das dürfte unstrittig sein). Das vom Moderator geöffnete Tor hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0, Null, Zero (schließlich sieht man ja, dass es eine Niete ist, ich muss also nicht mehr mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, soweit es dieses Tor betrifft). Somit müssen die noch offenen 2/3 Gewinnchance auf dem noch unberührten Tor liegen. --Jeremy 21:55, 1. Feb 2006 (CET)

Deine Erklärung stimmt zwar im Ergebnis mit den tatsächlichen Verhältnissen überein, ich halte die Erklärung aber im Grunde für falsch - zumindest nicht für ausreichend. Nehmen wir an, der Spielverlauf wäre ein anderer. Nehmen wir an, der Moderator öffne regelmäßig nach einer zufälligen Auswahl eines der beiden verbliebenen Tore, und zufällig befände sich im konkreten Fall dahinter eine Ziege. Dann hätte doch gemäß Deiner Erklärung auch dann das vom Moderator gewählte Tor "eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0, Null, Zero" (schließlich sähe man ja, dass es eine Niete sei, man müsse also nicht mehr mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, soweit es dieses Tor beträfe)", oder? In diesem Falle wäre es aber falsch zu schließen, dass "die noch offenen 2/3 Gewinnchance auf dem noch unberührten Tor liegen" - tatsächlich ist es dann entgegen Deiner Erläuterung eine 50:50 Chance, beim Wechsel das Auto zu erwischen. Wie passt das also mit Deiner obigen Erklärung zusammen? --AchimP 23:42, 1. Feb 2006 (CET)

Der Moderator öffnet aber das Tor eben gerade nicht zufällig. Er wirft keine Münze (na gut, falls Du im ersten Versuch das richtige Tor geraten hast, muss er zwischen zwei Nieten auswählen, von denen er Dir eine zeigt). Er weiß, wo der Gewinn ist, und öffnet den eben berade nicht.

Neuer Erklärungsversuch: Wenn man den Verlauf des Spiels lediglich umformuliert, dann sieht die Taktik "Bleiben" so aus: "Ich wähle eins aus drei und bleibe dabei, egal was passiert." Die Taktik "Wechseln" bedeutet jedoch: "Ich schließe ein Tor aus (meine erste Wahl), das ich auf keinen Fall will. Von den verbleibenden zwei Toren erfahre ich bei einem, dass es eine Niete ist, und entscheide mich dann für das andere." Auf diese Weise gewinne ich immer dann, wenn ich bei der ersten Wahl falsch liege (also in zwei von drei Fällen) und verliere nur dann, wenn ich bei der ersten Wahl schon richtig dran gewesen wäre (in einem Drittel der Fälle). Das beinhaltet keine großartige Mathematik, sondern eigentlich nur Menschenverstand. --Jeremy 07:00, 2. Feb 2006 (CET)

Ich fälle während des Spiels keine Entscheidungen, ich lege die Strategie vorher fest. Während des Spiels folge ich nur mehr der festgelegten Strategie: Die Strategie "Wechsel" ergibt einen Erwartungswert von 2/3. Eine einfache mögliche Beschreibung:

Ich verwerfe ein Tor (mit EW 1/3), der Moderator verwirft ein weiteres (mit EW 0), übrig bleibt also eins mit EW 2/3.

--stefan (?!) 13:46, 2. Feb 2006 (CET)

Neuer Erklärungsversuch für alle "Ungläubigen"

Es geht nicht um den Gewinn in einer Gameshow, sondern um Leben und Tod. Der Kandidat wird zum Delinquenten, der Moderator zum Henker, und die drei Tore werden zu drei Pistolen, von denen eine einzige geladen ist. Der Delinquent darf bestimmen, mit welcher Waffe auf ihn geschossen wird. Dazu wählt er erst eine Pistole aus. Daraufhin überprüft der Henker die beiden anderen Pistolen und sortiert eine ungeladene davon aus.

Ist es nun für den Delinquenten günstiger, wenn der Henker die erste oder die letzte Pistole für den Hinrichtungsversuch verwendet?

Wie sieht es aus, wenn 5 Pistolen, 10 Pistolen oder 100 Pistolen im Spiel sind?

Die Regeln sind genau die gleichen, außer dass der Delinquent natürlich versucht, dem "Treffer" aus dem Weg zu gehen. Würde er das nicht tun, käme das dem Selbstmord gleich: "Lieber Henker, schau doch nochmal bei den verbleibenden 2, 4, 9, oder 99 Pistolen nach, ob Du nicht da die Pistole findest, mit der Du mich erschießen kannst!" --Jeremy 14:46, 7. Feb 2006 (CET)

Link hinzufügen

Auf dieser Seite findet man eine sehr gute (weil anschauliche, benutzerfreundliche und vielseitige) Spiel-Simulation:

http://www.userpages.de/ziegenproblem

Er sollte mit entsprechender Beschreibung zu den Weblinks hinzugefügt werden

Ich habe den Weblink hinzugefügt, nachdem ich die Simulation getestet habe. --Wiegels „…“ 21:20, 17. Feb 2006 (CET)

Hallo, ich hab das ganze mal mit *Squeak* nachsimuliert, mit Squeak braucht man nur 28 Zeilen Code und hat dann eine visuelle Interpretation. http://www.squeakland.org/project.jsp?http://www.emergent.de/pub/smalltalk/squeak/projects/MontyHall.pr

Falls man das Plugin noch nicht installiert hat, das gibt es hier: http://www.squeakland.org

Wäre toll, wenn man das auch mit verlinken könnte.

Viele Grüße,

Markus

Das wird hier leider nicht akzeptiert werden, Markus. Wikipedia:Weblinks: Keine Links auf Internetseiten mit bevormundenden Mechanismen (Popups, Browser-Manipulation, nur auf bestimmten Browsern überhaupt darstellbar, nur per Flash zugänglich, nur bei aktivem JavaScript bedienbar, Frames und so weiter). --Berlin-Jurist 13:47, 4. Mai 2006 (CEST)

Die Wahrscheinlichkeit ist von Anfang an 1/2 !!! (oder?)

Hallo,

ich denke, ob die eine der beiden Nieten VOR dem Spiel oder erst nach der ersten Wahl "entlarvt" wird, ist egal. In Wirklichkeit geht es von Anfang an darum, zwischen zwei Türen die richtige zu finden, die Wahrscheinlichkeit ist von Anfang bis Ende 1/2. --A. Rhein 20:09, 15. Mär 2006 (CET)

Wenn der Spieler sich nach dem Aufdecken der Ziege stets zufällig (also beispielsweise durch den Wurf einer fairen Münze) zwischen den beiden verbleibenden Türen entscheidet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 1/2. Wenn der Spieler sich nach dem Aufdecken der Ziege stets für das Beibehalten der ursprünglichen Wahl entscheidet, dann ist die Wahrscheinlichkeit eben die, schon bei der ersten Wahl den Gewinn erwischt zu haben, und das ist 1/3. Warum ist die Situtation komplizierter, wenn der Spieler sich nach dem Aufdecken der Ziege stets für das Wechseln zur nicht aufgedeckten Tür entscheidet? kw 21:26, 15. Mär 2006 (CET)

Hallo A. Rhein, die Reihenfolge ist nicht egal, weil der Moderator abhängig von der Wahl des Kandidaten handelt. Am Anfang steht das Auto zufällig hinter einem von drei Toren, sodass die Wahrscheinlichkeit wegen der Gleichverteilung für jedes Tor 1/3 beträgt. Was später passiert, hat darauf keinen Einfluss. --Wiegels „…“ 21:20, 28. Mär 2006 (CEST)

Das Problem ist unscharf gestellt

Hallo,

Das Ziegenproblem hat keine eindeutige Lösung, da die Aufgabe unscharf gestellt ist. Eine ausführliche Diskussion, die beide Ergebnisse darstellt, findet sich im Buch von Georgii über Wahrscheinlichkeit auf Seite 54. Kurzfassung: die Lösung 2/3 erhält man nur, wenn man implizite Annahmen über die Wahrscheinlichkeit macht, mit der der Moderator die Tür des Kandidaten öffnet. Sie beträgt in der Rechnung 0. Das ergibt sich NICHT direkt aus der Aufgabe. Setzt man diese Wahrscheinlichkeit auf 1/3, ist das Ergebnis 1/2, und damit der Schlusssatz: "wenn er sein Wissen geschickt nutzt" falsch. --Richardigel 15:47, 13. Apr 2006 (CEST)

Dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator die Tür des Kandidaten öffnet, 0 ist, ergibt sich aus

# Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.

# Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden anderen Tore, …

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil … ;-) --AchimP 16:06, 13. Apr 2006 (CEST)

Ich muss schon ein tolles Genie sein, das ich es gelernt habe zu schreiben, ohne lesen zu können. Seis drum, per Telepathie begreife ich den unwürdigen Einwurf und kontere folgendermaßen:

Das Ziegenproblem wurde nicht von der Wikipedia erfunden, sondern das Problem existiert auch außerhalb der Wikipedia. In der im Georgii zitierten Fassung taucht keine Einschränkung dieser Wahrscheinlichkeit auf, die wird nur gern implizit angenommen (und hier sogar axiomatisiert, wenn ich das mal so reißerisch ausdrücken darf)--Richardigel 16:10, 13. Apr 2006 (CEST)

Die Frage, was passiert, wenn der Moderator die Tür zufällig (mit Gleichverteilung) wählt, wurde im Artikel behandelt. Wenn Georgii eine andere Fassung des Ziegenproblems verwendet (zufällige Öffnung der Türen), ergibt sich sicher eine andere - gegebenenfalls sogar von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängige - Lösung. Wenn die Ziege immer hinter Tür 1 steht und die zweite immer hinter Tür 2 und der Moderator immer die 2. Tür öffnet, dann ist bei Wechsel die Wahrscheinlichkeit 100 %, dass man gewinnt. Implizit gilt aber Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten und Wissen des Moderators, alles andere hätte bereits vorher zu anderen Lösungen geführt, die durch Beobachtung entstanden wären. Man kann es natürlich auch berechnen, wenn eine andere Verteilung der Wahrscheinlichkeiten besteht. Wenn die Zuschauer aber merken, dass die Ziege in 50% der Fälle hinter Tür 2 steht, dann ziehen sie Tür 2 vor. --Hutschi 16:22, 13. Apr 2006 (CEST)

Gewäsch. Gleichverteilung ist natürlich anzunehmen, das tut auch Georgii. Wie gesagt: Seite 54. --Richardigel 16:39, 13. Apr 2006 (CEST)

Wissen ist Vorraussetzung. Bitte aber keine Beleidigungen. Ich habe das Problem lediglich verallgemeinert, wie es auch Georgii tat. Hier eine Quelle mit originalem Problem, da ist das Wissen des Moderators klar konstatiert: http://www.vanderbilt.edu/~bednarjt/monty/montyhall.html --Hutschi 16:46, 13. Apr 2006 (CEST)

Das war nicht als Beleidigung gemeint. Also, der Kasus Knaxus ist hier: „opens another door, say No. 3“ (Original). In der Rechnung wird jetzt gefragt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gerade 3? 1/2. Man nimmt also (implizit!) an, der Moderator hätte auf keinen Fall die gewählte Tür geöffnet. Er hat es nicht getan, ja sicher, aber er hat gekonnt - das wird nie ausgeschlossen. Darum kann man mit gleichem Recht sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass Tür Nummer drei Aufgeht, ist 1/3. --Richardigel 16:55, 13. Apr 2006 (CEST)

Im Original steht You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the other doors, opens another door. Das englische another bedeutet "eine weitere" oder "eine andere". Da die erste Tür nicht geöffnet ist, kann man nicht "eine weitere" öffnen, also öffnet der Moderator eindeutig eine "andere" als die zuerst gewählte. Im englischen Wiki-Artikel steht allerdings: The version of the problem popularized by Parade unfortunately leaves room for possible misunderstandings, some of which may affect the correctness of the answer. An unambiguous statement of the problem, with explicit constraints on the host, was described by Mueser and Granberg Es ist also immer noch das gleiche Rätsel - nur präziser formuliert. Und so steht's auch in diesem Lemma. --AchimP 17:37, 13. Apr 2006 (CEST)

"Another" bedeutet ein ZWEITES (other = anderes = Zweites, nicht "weiteres"). Da steht zwar: er öffnet ein anderes, aber der Spieler muss sich jetzt fragen: hätte er das immer und zwangsläufig getan? Er hätte ja auch (Kinder, lest doch auch mal Bücher, wenn ihr Literaturverweise bekommt, ich bin doch kein Bücherabtipper) das gewählte Tor öffnen können und rufen: "Oh! You had bad luck, but I'll give you a second chance." Das kann man nicht ohne weiteres ausschließen, also kann man es in die Gleichverteilung einschließen und erhält als Endresultat: Ob man nach der geöffneten Tür wechselt oder nicht, ist ganz wurscht. --Richardigel 19:02, 13. Apr 2006 (CEST)

leo Und natürlich muss man sich fragen, ob er das immer und zwangsläufig macht. Das ist die von mir erwähnte, nehmen wir mal Deinen Begriff, "Unschärfe" der dort zitierten Veröffentlichung. Das ist aber nicht die einzige und auch nicht die erste Veröffentlichung zum Thema. Und dem Lemma ist diese Unschärfe genommen. Ist doch supi! --AchimP 23:25, 13. Apr 2006 (CEST)

Das Leo das so listet ist ja interessant. Das Wort Other findet sich auf der Liste der häufigsten Übersetzungsfehler, weil es gelegentlich grob falsch als "weiteres" übersetzt wird. Da war das klassische Beispiel: "Every other band plays shit". Das heißt: Jede ZWEITE Band spielt Scheiße.

Das übrige deiner Erwiderung verstehe ich nicht. Wir haben die Originalfassung der Aufgabe, einen Standardwerk zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, das zwei verschiedene Lösungen für die Aufgabe bietet, aber der Lösung 1/2 den Vorzug gibt. Was hat das mit "einzige und erste Veröffentlichung" zu tun? --Richardigel 00:58, 14. Apr 2006 (CEST)

"an other" (zwei Wörter) ist etwas anderes als "another" (ein Wort). Und ich bezweifle, dass wir im Link die Originalfassung oder einzig authentische Fassung des Problems sehen. --AchimP 01:41, 14. Apr 2006 (CEST)

Da der Ausgangspunkt ein reales Spiel war und dort der Spielleiter nie die Tür öffnete, die der Kandidat gewählt hatte, zumindest, soweit ich es verstehe, ist die Frage klar. Deshalb ist die konkrete Formulierung auch resistent gegen leichte Unschärfen in der Übersetzung oder in der Überlieferung. Die Unschärfe, dass der Spielleiter ein bereits gewähltes Tor öffnet, gibt es nicht. --Hutschi 12:11, 18. Apr 2006 (CEST)

PS: Klar ist, dass das Problem sofort unscharf wird, wenn die (impliziten) Regeln des Spiels geändert werden. Mr. Hall führte das in einem Experiment vor. Nachdem der Kandidat Tor 1 gezeigt hatte, sagte Mr. Hall, nachdem er Tor 1 geöffnet hatte: "Zu schade, das war eine Niete." (Siehe von mir angegebene Quelle.) Die Unschärfe liegt darin, dass Mr. Hall nicht an die Regeln gebunden war, die sich aus bisherigen Spielen ergaben. Als Spielleiter legte er selbst die Regeln fest. Da sie vorher nicht aufgeschrieben waren, sondern sich nur induktiv erschließen ließen, hatte er tatsächlich alle Freiheiten. Mithin: Nicht Marilyn vos Savants Regeln waren maßgebend, sondern die von Mr. Hall. Unter dieser Voraussetzung ist das Problem tatsächlich nicht lösbar - und in diesem Sinne hat Richardigel recht. In weiteren Experimenten bot er auch Geld für das Wechseln an und erhöhte damit die psychologische Beeinflussung, ähnlich wie in der deutschen Version. Frau Savage akzeptierte das auch, allerdings hatte keiner vorher diesen Einwand gemacht. --Hutschi 14:52, 20. Apr 2006 (CEST)

Ich habe einen Abschnitt eingefügt, der das Problem verdeutlicht:

Unschärfe Das Problem scheint in der hier vorhandenen Version scharf gestellt. In der originalen amerikanischen Version war aber nicht festgelegt, dass Mr. Hall das bereits gewählte Tore nicht öffnet, das erschien nur so nach den bisherigen Spielen. Mr. Hall demonstrierte dass auch. Nachdem ein Kandidat das Tor 1 gewählt hatte, öffnete er es und sagte: "Leider eine Ziege." Unter dieser Voraussetzung erhöht sich die Wahrscheinlichkeit des Gewinns beim Wechseln von Null auf 1/2, sofern Wechseln noch möglich ist, sonst ist sie Null. Als Spielleiter hatte Mr. Hall das in der Hand.

In "Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein Gewinn und eine Niete." steht nicht, dass das bereits gewählte Tor nicht geöffnet werden darf. Hier steht nur, dass er die Tür mit dem Gewinn nicht öffnet.

--Hutschi 15:44, 20. Apr 2006 (CEST)

Deine eingefügten Aussagen sind unscharf. ;-) Zuerst sagst Du, das Problem scheine scharf gestellt. (Oder meintest Du das im Sinne von scheinbar?) Und dann deckst Du doch eine Unschärfe auf. Anstatt im Stile einer Diskussionseite über die Unschärfe zu berichten, habe ich sie behoben und Deinen Abschnitt entsprechend um diese Aussage gekürzt. --AchimP 21:28, 21. Apr 2006 (CEST)

Erklärung durch Reduktion des Pseudocodes der Monte-Carlo-Simulation

Original

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
  ELSE
   gezeigt := (3 - wahl - auto) MOD 3
  END IF
  IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
  wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
  IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Kopieren des Teiles

  IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
  wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
  IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF

in beide Teile der IF-Abfrage.

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gezeigt := (3 - wahl - auto) MOD 3
   IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
  IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
  wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
  IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Reduzieren bzw. Entfernen von

  IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gezeigt := (3 - wahl - auto) MOD 3
   IF wahl == auto THEN gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Entfernen von

  MOD 3

an den Stellen, wo sich sowieso nur Zahlen zwischen 0 und 2 ergeben

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gezeigt := (3 - wahl - auto) MOD 3
   wechsel := (3 - wahl - gezeigt) MOD 3
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Einsetzen von

   gezeigt := 3 - wahl - auto

   wechsel := 3 - wahl - gezeigt

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := 3 - wahl - gezeigt
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gezeigt := 3 - wahl - auto
   wechsel := 3 - wahl - gezeigt
   wechsel := 3 - wahl - (3 - wahl - auto)
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Auflösen von

   wechsel := 3 - wahl - (3 - wahl - auto)

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := 3 - wahl - gezeigt
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   wechsel := 3 - wahl - (3 - wahl - auto)
   wechsel := auto
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Eliminieren von

   wechsel := auto
   IF wechsel == auto THEN

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + wahl) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := 3 - wahl - gezeigt
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   wechsel := auto
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Innerhalb von

   IF wahl == auto THEN

wahl durch auto ersetzen

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + autowahl) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := 3 - autowahl - gezeigt
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Jetzt muss ich leider erstmal abbrechen, aber es wäre nur noch zu zeigen, dass aufgrund der Definitionen von gezeigt und wechsel immer gilt

wechsel <> auto

und damit

BEGIN
 gewonnenOhneWechsel := 0
 gewonnenMitWechsel := 0
 n := 1000000
 REPEAT n TIMES
  auto := RANDOM(0..2)
  wahl := RANDOM(0..2)
  IF wahl == auto THEN
   gezeigt := (RANDOM(1..2) + auto) MOD 3
   gewonnenOhneWechsel := gewonnenOhneWechsel + 1 END IF
   wechsel := 3 - auto - gezeigt
   IF wechsel == auto THEN gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  ELSE
   gewonnenMitWechsel := gewonnenMitWechsel + 1 END IF
  END IF
 END REPEAT
 PRINT "ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100. / n, "%"
 PRINT "mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100. / n, "%"
END

Womit bereits im Quellcode die Verteilung klar wird - ich würde mich freuen, wenn jemand den fehlenden Schritt nachreichen kann ...

-- Calvini 16:58, 20. Apr 2006 (CEST)

Der Intuition unzugänglich

Man kann durchaus verstehen, dass die Zweifler zweifeln. Es ist keineswegs selbstverständlich und auf der Hand liegend, dass es die geeignete Strategie für den Kandidaten ist, statt der zu Anfang gewählten Tür im zweiten Spielzug auf die dritte verbleibende Tür zu wechseln. Zur Ehrenrettung aller Zweifler muss zugestanden werden: Sie befinden sie sich in allerbester Gesellschaft. Hier kann als Kronzeuge etwa der ungarische Mathematiker Paul Erdös (1913 - 1996) genannt werden. Nachdem Marilyn vos Savant 1990 / 1991 das Ziegenproblem vorgestellt hatte, geriet in der Folge auch Erdös, der als einer der großen Mathematiker des 20. Jahrhunderts gilt, bei eben diesem Ziegenproblem in die "Intuitionsfalle" . Und darüber dann in einen heftigen Streit mit Vázsonyi, einem seiner besten Freunde , welcher ebenfalls ein bekannter Mathematiker ist. Erdös vertrat wütend die Meinung, es mache keinen Unterschied, ob der Kandidat die Tür wechsele oder beibehalte. Vázsonyi dagegen vertrat dezidiert die Auffassung, dass der Kandidat die Tür wechseln müsse. Vázsonyi hat den Beweis mittels eines Entscheidungsbaum (ähnlich wie in dem Artikel) geführt und, als Erdös sich nicht überzeugt zeigte, den Beweis noch einmal unter Zuhilfenahme eine Computersimulation untermauert . (So dargestellt in dem Buch von Paul Hoffman über Erdös: "The Man Who Loved Only Numbers", erschienen 1998 bei HYPERION, New York, oder auch in der deutschen Übersetzung von 1999, erschienen bei ULLSTEIN.) Hier sieht man: Es ist offenbar gerade der Witz des Ziegenproblems, dass es vollständig gegen die Intuition läuft. Mit welchem gedanklichen Vehikel auch immer man sich der Sache nähert: Mit der Intuition allein ist jedermann auf verlorenem Posten, selbst wenn es sich um einen Mathematiker handelt, der schon viele Male gezeigt hat, dass er über eine herausragende Intuition verfügt. Weiter wird folgendes klar: Die einzige Möglichkeit, die Frage der geeigneten Strategie fundiert zu entscheiden, besteht darin, ein sauberes mathematisches Modell zu erstellen und durchzurechnen. Wenn man dies aber erst einmal tut, so gibt es keinen Zweifel an der Antwort: Der Kandidat muss die Tür wechseln, wenn er eine optimale Gewinnchance haben will. Noch ein Hinweis: Es gibt es zum Ziegenproblem eine sehr gut lesbare knappe Darstellung in dem "Lexikon der populären Irrtümer" von Walter Krämer und Götz Trenkler (Serie PIPER 2446 ; Taschenbuch von 1998) unter dem Stichwort "Ziegentür". --195.158.131.10 17:06, 22. Apr 2006 (CEST)

Versuch einer grafischen Erklärung aus Sicht des Moderators

http://atheisten.org/phpBB2/viewtopic.php?p=15319#15319

Thaukelt 02:21, 3. Mai 2006 (CEST)

Georgiis Ansatz mit Ergebnis 1/2

Wie ich oft versuchte anzumerken, gibt Georgii wegen der Unschärfe zwei Lösungen. Der zweiten gibt er den Vorzug, hier seine Rechnung:

[...] Dazu müssen wir den Sachverhalt präzise interpretieren. Wir nummerieren die Türen mit den Zahlen 1,2,3. Da die Türen äußerlich gleich sind, können wir der Gewinntür ohne Einschränkung die Nummer 1 geben. Zwei Türen werden zufällig ausgewählt: vom Spieler und vom Moderator. Diese werden beschrieben durch Zufallsvariablen S und M mit Werten in {1,2,3}. In der Aufgabe wird nun angenommen, dass das Ereignis A:= $\{S\neq M\neq 1\}=\{M\neq S\}\cap \{M\neq 1\}$ eingetreten ist, und dem Spieler in dieser Situation die Change gegeben wird, nochmal seine Tür zu wählen, entweder dieselbe wie vorher oder die verbliebene dritte Tür. Im ersten Fall beträgt die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit P(S=1|A). [...] Nun wird der Moderator das Spiel aber nicht regelmäßig durchführen (dann gäbe es für Spieler und Zuschauer keinen Überraschungseffekt), sondern nur einmal. Unter diesem Gesichtspunkt ist die subjektive Interpretation angemessener. Also kommt es darauf an, wie der Spieler das Verhalten des Moderators einschätzt. Der Spieler darf sicher wieder vermuten, dass der Moderator nicht die Gewinntür öffnen wird, und also den Ansatz $P(M\neq 1)=1$ machen. Dann ist $P(A|S=1)=P(M\neq 1|S=1)=1$ und somit gemäß Bayes-Formel ${P(S=1)P(A|S=1)} \over {P(S=1)P(A|S=1)+P(S\neq 1)P(A|S\neq 1)}$ . Also kommt es darauf an, wie der Spieler die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|S\neq 1)$ einschätzt. [Er kann] durchaus zu dem Schluss kommen, dass $P(M\neq S)=1$ und also P(A) = 1. Er kann aber auch zum Beispiel davon ausgehen, dass der Moderator jede der beiden Ziegentüren mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 öffnet, egal welchen Wert S der Spieler gewählt hat. Im Fall M = S würde der Moderator dann zum Beispiel sagen: „Look! You had bad luck. But I'll give you a second chance, pick another door!“ Dann ist P(M = S|S = s) = 1/2 für $s\in \{2,3\}$ und daher auch $P(M=S|S\neq 1)=1/2P(S=2|S\neq 1)+1/2P(S=3|S\neq 1)=1/2$ . Infolge der Annahme $P(M\neq 1)=1$ ergibt sich hieraus $P(S\neq 1)=P(M\neq S|S\neq 1)=1/2$ und mit Bayes P(S=1|A) = 1/2. Das ist gerade die Antwort der Kritiker! - Georgii

Ich hoffe, das ist einsichtig Richardigel 16:27, 5. Mai 2006 (CEST)

Einsichtig, aber irrelevant. Offensichtlich hat Georgii kein US-TV empfangen können, denn im Gegensatz zu seiner Prämisse Nun wird der Moderator das Spiel aber nicht regelmäßig durchführen (dann gäbe es für Spieler und Zuschauer keinen Überraschungseffekt), sondern nur einmal. hat Monty Hall das "regelmäßig" so gemacht. Außerdem ist das hier im Lemma explizit so definiert. --AchimP 21:34, 5. Mai 2006 (CEST)

(a) Der subjektive Ansatz hat auch bei regelmäßig stattfindenden Ereignissen Gewicht. (b) Es ist ganz egal, wie "hier"^TM das Lemma definiert ist. Richardigel 23:39, 5. Mai 2006 (CEST)

Rate mal, worüber "hier" diskutiert wird. --AchimP 00:51, 6. Mai 2006 (CEST)

Über das Ziegenproblem. Und rate mal, was wäre, wenn es hier definiert würde? Begriffsbildung.--Richardigel 08:53, 6. Mai 2006 (CEST)

Es ist hier so definiert, wie es Monty Hall praktiziert hat, und wie es allgemein, außer von Georgii und Dir verstanden wird.--AchimP 12:55, 6. Mai 2006 (CEST)

Ich stimme hier AchimP zu. Die Wikipedia hat nicht die Aufgabe der Begriffsbildung. Der Fall des zufälligen Öffnens wurde innerhalb des Artikels mit behandelt, ist aber nicht das Ziegenproblem. Ich habe den Fall des zufälligen Öffnens noch leicht ergänzt. Im Übrigen kommt es nicht darauf an, was der Mitspieler denkt, sondern wie der Moderator tatsächlich auswählt. Insofern ist der Ansatz von Georgii falsch. Richtig wäre, wenn Georgii schriebe, dass der Moderator sowohl zufällige als auch bewusste Auswahl durchführen könne. Da der Mitspieler gegebenenfalls nicht weiß, wie es zustande kommt, müsse er das bei seiner Strategie berücksichtigen. Der subjektive Ansatz hat allerdings seine Berechtigung als Näherungslösung, wenn es keinen anderen Ansatz gibt. Führen wir ihn durch: Man kann immerhin die Wahrscheinlichkeit von 1/3 bei Nichtwechsel auf 1/2 bei (eigenem) zufälligem Wechsel erhöhen, wenn man dabei auch die Möglichkeit von 2/3 verschenkt. Wenn unbekannt ist, wie der Moderator handelt, ist Wechseln trotzdem günstiger. Bei zufälliger Auswahl durch den Moderator ergibt sich bei "Immerwechselstrategie" dann 1/2 -- bei nichtzufälliger 2/3 Wahrscheinlichkeit. --Hutschi 08:03, 8. Mai 2006 (CEST)

Simulationsprogramm

Hallo,

gestern stieß ich im Net auf eine Simulation, die ich recht beeindruckend finde:

http://www.unizh.ch/biostat/kurs/kyle/MontyHall.htm

Sie bietet neben der Standardvariante (Spielleiter MUSS eine Ziegentür öffnen) auch die Option, daß der Spielleiter zwischen den beiden nicht vom Kandidaten (K) gewählten Türen ohne Vorwissen zufällig auswählt - und für beide Varianten besteht übergreifend die Möglichkeit, mittels eines Schiebereglers alle Strategien des K von „Immer wechseln“ bis „Nie wechseln“ stufenlos (!) einzustellen, so daß sich allerlei Kombinationsmöglichkeiten ergeben, deren unterschiedliche Ergebnisse simuliert werden können.

Ich rege an, diese Simulation, die ich für die bisher lehrreichste halte, in die Linkliste aufzunehmen (soweit das rechtlich zulässig ist, was ich nicht beurteilen kann).

MfG Wilbert

Es sind eh schon zu viele Links (fünf ist eigentlich die Maximalanzahl). Ich verstehe auch nicht, was Du an dieser Simulation so beindruckend findest. Das Benutzerinterface finde ich unter aller Kanone. Was der Unterschied zwischen "Neu zeichnen 10", "100 Läufe" und "Neu zeichnen 100", "10 Läufe" ist, darf man experimentell herausfinden. Die Ergebnisspalten sind mit Bezeichnungen wie "G", "S" und "W" wohl selbsterklärend? Die Bedeutung von G (bei mir bisher immer eins) habe ich noch nicht herausgefunden. Dass S (und nicht W) für "Wechsel" steht, bekommt man erst heraus, wenn man mal am Schalter "Wechseln" gedreht hat. Dass unter "Dist" die Wahrscheinlichkeit angezeigt wird, kann man sich zwar denken, aber für was steht "Dist"? Weiterhin finde ich die Grafik eines Durchgangs völlig unzureichend. Man sieht eine Tür mit der Aufschrift "Spieler". Ist das nun die Tür, die er am Anfang gewählt hat, oder die, zu er gewechselt hat, wenn er wechselt? Wenn letzteres, welche Tür hatte er am Anfang gewählt? Die, die zu bleibt. Ach so. Und woran sehe ich, ob er gewechselt hat? An der Spalte "S", wenn Du mal eben runterscrollst. Supi! Fazit: Wenn ich das Problem nicht schon verstanden hätte, würde mir diese Simulation nicht helfen. Die Erklärung des Problems im Text unter drunter ist gut (bis auf die Bezüge zum Programm - die genannten Knöpfe "Step", "Switch" und "Stop Freq." gibt es überhaupt nicht), aber eine gute Erklärung haben wir ja auch schon im Lemma. --AchimP 13:08, 20. Mai 2006 (CEST)

Mir gefiel diese Simulation auch nur inhaltlich. Vor allem, daß auch die Variante „Spielleiter öffnet blind“ gespielt werden kann, ebenso wie die Möglichkeit, die Wechselstrategie mit Zwischenwerten zu definieren, finde ich interessant (wobei natürlich vor allem der 50/50-Fall wichtig und instruktiv ist).

Die Selbsterklärlichkeit läßt allerdings zweifellos zu wünschen übrig, da stimme ich zu. Warum die Erwartung mit Dist angegeben wird, kann ich mir auch nicht erklären, und auch die (nach 5 Durchgängen leider verschwindenden) Buchstaben der auf der linken Seite befindlichen 3-spaltigen Einzelauswertung sind aus sich selbst heraus unverständlich bezeichnet. Vielleicht sind sie versehentliche Überbleibsel der englischen Version, auf die im Text noch Bezug genommen wird.

Andererseits habe ich keine 2 Minuten gebraucht, um experimentell folgendes festzustellen: 1=ja, 0=nein. Spalte G (goat?) gibt an, ob der Spielleiter eine Ziegentür geöffnet hat (1) oder nicht. Wechselnde Anzeigen bekommt man hier natürlich nur in der Version "blind". Die Spalte S informiert über Wechsel / Nichtwechsel des K, und W (win?) gibt den Gewinn an.

Wenn der K nicht wechselt, ist die gelbe Tür diejenige, die zu keinem Zeitpunkt geöffnet wurde (K wählt, Showmaster öffnet eine der beiden anderen, K öffnet die Tür seiner ersten Wahl). In den Fällen, in denen K wechselt, ist die gelbe Tür diejenige seiner ersten Wahl.

MfG Wilbert

Beweis an Unbekannten?

Hallo,

kann man die Formel auch anwenden, wenn man (als Beobachter) nicht weiß, wo der Gewinn ist?

Runde 1: alle drei Tore sind verfügbar
Tor A: ?
Tor B: ? - wird vom Spieler gewählt
Tor C: ?

Runde 2: Eine Niete wird gestrichen
Tor A: ?
Tor B: ? - vom Spieler gewählt
Tor C: Niete
Der Spieler weiß ja nur, dass er entweder eine Niete oder den Gewinn hat. Die Wahrscheinlichkeit vom Tor C ist nun Null. Wieso hat der Spieler jetzt eine höhere Gewinnchance wenn er das Tor wechselt? In Wirklichkeit ist die Runde 2 doch unabhängig von der Runde 1, da immer eine Niete entfernt wird. Somit bleibt für das gewählte Tor doch immer P = 0.5? TRCyberOptic 19:23, 23. Jun 2006 (CEST)

Das liegt daran, dass der Spielleiter einen Teil seines Wissens an den Spieler weitergibt und damit die Symmetrie in der zweiten Runde bricht. Einzelheiten sind bereits mehrmals beschrieben. --Hutschi 11:57, 5. Sep 2006 (CEST)

Das letzte Wort zum Unsinn des Ziegenproblems

Das Ziegenproblem ist kein Problem. Folgender Fehler wird von den Kritikern immer gemacht, weil das Problem immer falsch erklärt wird. Beim einmaligen Spielen ist die Variante mit den 50/50 Chancen akzeptabel. Man geht dann aber davon aus, das die Tore nicht numeriert sind. Man versteht das Spiel wie folgt: Es existieren 3 Tore, von denen eines gar nicht gewählt werden kann, und hinter welchem eine Ziege steckt. (Eines wird immer weggenommen). Es ist beim ersten mal also eine 50/50 Chance, beim zweiten mal nochmals eine 50/50 Chance. Die erste Runde zählt nun aber niht.

Die Tore sind aber numeriert.

Die Wahrscheinlichkeit meines Treffers (erster Wurf) ist also 1/3. Dann ist die Beliebigkeit des zweiten Tores 100%. Wenn wir wechseln, verlieren wir nun auf jeden Fall. Weiter, was offensichtlich ist, wenn wir beim ersten mal nicht Treffen, was eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 hat, dann treffen wir beim 2. mal mit 100%.

Die Wahrscheinlichkeit beim 2. Mal 100% richtig zu liegen, weil wir die Regel des Spieles begriffen haben, ist 2/3.

Beim einmaligen spielen gibt es aber keine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit stabilisiert sich erst beim unendlich vielen Durchgängen, oder zumindest bei sehr vielen Durchgängen. Erst dann können wir überhaupt sagen, dass die Wahrscheinlichkeit größer ist, beim Wechseln zu gewinnen. Demnach ist es für alle Spieler, wenn sie ihr Geld nach n Durchgängen teilen, optimal, wenn sie immer wechseln. Für einen einzigen Spieler ist die Wahrscheinlichkeit jedoch anders. Nämlich 50/50. Entweder er trifft oder er trifft nicht. So sind die Realitäten.

(nicht signierter Beitrag von NormenBenjamin (Diskussion | Beiträge) 00:17, 12. Sep 2006)

Genau das ist einer der gedanklichen Fehler, der immer wieder gemacht wird: "Für einen einzigen Spieler ist die Wahrscheinlichkeit jedoch anders. Nämlich 50/50. Entweder er trifft oder er trifft nicht. So sind die Realitäten." Nach dieser Logik könnte ich genauso sagen, dass ich beim Würfeln eine 50/50-Chance habe , eine Sechs zu treffen, denn es gibt ja nur zwei Möglichkeiten: Entweder ich treffe eine Sechs oder nicht. Zurück zum Ziegenproblem: Wären die Regeln so gestaltet, dass der Spielleiter kein Tor öffnet und der Spieler sich entscheiden darf, ob er bei seinem einen Tor bleibt oder lieber die beiden anderen nimmt, so wäre es einigermaßen deutlich, dass eine höhere Wahrscheinlichkeit besteht, den Gewinn in den beiden Toren zu finden.

Fall die Strategie "immer wechseln" lautet, wird die Entscheidung über Sieg oder Niederlage in dem Moment getroffen, wo der Spieler seine erste Auswahl trifft. Sollte er nämlich das Pech haben, hier den Treffer zu finden, so wird er nach dem Wechseln verlieren. Sollte er aber, was wahrscheinlicher ist, hier eine Niete finden, so kann er in aller Ruhe zusehen, wie der Spielleiter die restlichen Nieten entfernt (beim Dreiherspiel ist es nur noch eine), und dann den Treffer einsammeln. --Jeremy 09:07, 12. Sep 2006 (CEST)

Jeremy hat das sehr gut erklärt. Die Überschrift "Das letzte Wort zum Unsinn des Ziegenproblems" aber reiht sich perfekt ein in die Beschimpfungen, denen sich die amerikanische Journalistin ausgesetzt sah. --Hutschi 11:53, 12. Sep 2006 (CEST)

Vielen Dank für die Blumen. Ich trage mich ernsthaft mit dem Gedanken, einen Neuentwurf für den gesamten Artikel anzulegen, da mich der inzwischen eher an ein Schlachtfeld nach mehrjährigem Grabenkrieg als an einen informativen Arktiel erinnert. Evtl. unter Ziegenproblem:Neukonzeption? Wie denkt man darüber? --Jeremy 14:16, 12. Sep 2006 (CEST)

Ich denke, es könnte sich lohnen, der Artikel scheint recht hoch frequentiert, und wenn der Artikel überzeugend und umfassend auf die Zweifler eingeht und am Ende sie vielleicht ein wenig Stochastik begreifen, würde das WP sicherlich gut tun. igel +- 10:35, 13. Sep 2006 (CEST)

Man sollte aber nicht vergessen, warum der Artikel so ist, wie er ist: Jeder findet einen anderen Zugang einfach und einleuchtend (beispielsweise finde ich 100 Türen absolut unintuitiv), und in einem gewissen Maß müssen wir uns dem fügen. Einfach den Artikel aus der eigenen Sicht optimal neuzugestalten ist keine dauerhafte Lösung.--Gunther 10:42, 13. Sep 2006 (CEST)

Der Artikel erinnert mehr an eine Collage als an etwas, das man "Artikel" nennen dürfte. Und was z.B. der Pseudocode hier zu suchen hat, versteh ich beim besten Willen nicht. --mst 14:04, 14. Sep 2006 (CEST)

Automatisierung

Es wird nicht ausreichend erklärt, wie sich die Erkenntnisse aus dem Krugvergleich auf das ursprüngliche Problem übertragen, aber ohne Quelle ist das auch so schon zuviel Theoriefindung.--Gunther 11:32, 14. Sep 2006 (CEST)

Fachliche Frage

Eine Frage an die Mathematiker: Wenn bei einer Lottoziehung ich schon 5 Richtige habe, ist dann bei der Ziehung der letzten Kugel nicht meine Chance einen Sechser zu erzielen 44 (49 - der bereits gezogenen Zahlen) :1 ?--HDara 02:32, 19. Nov. 2006 (CET)

Fast. Die Wahrscheinlichkeit liegt dann bei 43:1 (bei noch 44 vorhandenen Kugeln). --Ĝù ^{sprich mit mir!} 12:19, 19. Nov. 2006 (CET)

Das ist doch sehr davon abhängig, wie Wahrscheinlichkeiten angegeben sind. In der üblichen Darstellung einer Wahrscheinlichkeit als Zahl zwischen 0 und 1 entspricht ein guter Fall unter 44 möglichen Fällen sicher der Wahrscheinlichkeit 1/44. Die Darstellung als Wettchancen-Quotient ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eher nicht üblich. kw 16:12, 20. Nov. 2006 (CET)

Quelle/Wortwahl

Das es beim Thema heiß hergeht merkt man ja schon auf der Diskussionsseite ;-), dennoch wäre hierfür eine Quelle interessant. Die Wortwahl "üble" Beschimpfung ist doch recht sagen wir mal "hart". grüße --Mathemaduenn 15:40, 4. Dez. 2006 (CET)

Ich habe das Wort "übel" entfernt. Dass sie beschimpft wurde, ist Fakt. --Hutschi 11:42, 5. Dez. 2006 (CET)

Parade

Ich denke, "Parade Magazine" ist falsch, da das Magazin "Parade" heißt. Derselbe Fehler ist auch im Artikel zu Marilyn vos Savant enthalten. Sollte man nicht lieber '"Parade" Magazin', bzw., 'Magazin "Parade"' schreiben?

Deutlich wird dieser Namen in der englischen Wikipedia, auf der Homepage von Marilyn vos Savant, sowie auf der Homepage des Magazins: http://www.parade.com 82.135.5.132 00:08, 30. Dez. 2006 (CET)

Review Dezember06/Januar/Februar 07

Der Artikel wurde im April 2005 unter die exzellenten gewählt, hat sich aber seither nur verschlechtert und ist jetzt in einem schlimmen Zustand. Es finden sich mehrfache Wiederholungen der Erklärung und Varianten, die teilweise struktur- und zusammenhanglos im Text ergänzt wurden. Zwei grobe Redundanzen habe ich schon gelöscht, aber entweder sollte man ihn auf eine alte Version reverten oder gründlich überarbeiten. -- Nurmalgucken 01:53, 2. Dez. 2006 (CET)

Welche ältere Version würdest Du denn nun konkret vorschlagen?

Aus mathematischer Sicht ist der Artikel sowieso ziemlich aufgebläht, es wird viel zu viel darum herum geredet.

Dafür fehlt noch:

Im Prinzip wäre es möglich, dass der Moderator Ziege und Gewinn (eigentlich eine arme Ziege, so negativ dargestellt zu werden; durfte man die dann wenigstens auch behalten?) vertauschen lässt. In diesem Fall wäre die Gewinnwahrscheinlichkeit wieder anders (je 1/2 bei "fairem" Moderator)
Mathematiker, die andere übel beschimpfen – das hat natürlich Seltenheitswert, und braucht einen Quellennachweis.
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird zu salopp verwendet. Für den einzelnen Teilnehmer ist das Experiment sowieso nicht wiederholbar, er hat es nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun. Entweder ist der Gewinn hinter dem Tor oder nicht. Interessant ist die Sache nur für den Sponsor der Show. --Enlil2 20:49, 2. Dez. 2006 (CET)

Ich finde die exzellente Version aufgrund ihrer Straffheit besser. Was seither dazugekommen ist:

Hintergrund (Kann bleiben, muss dann aber deutlich ausgearbeitet werden. So ist das Mist.)
Varianten / Alternativen und Erweiterungen (Zusatzinformation, die doch etwas vom eigentlichen Thema weggeht. Interessant, aber hier mE nicht passend.)
Haufenweise Schlacke, schlechte Formulierung und Strukturierung.

Mein Vorschlag: Diese Version zugrundelegen und nur das aus der aktuellen Version integrieren, was dem Artikel "etwas gibt". -- 88.76.240.15 22:05, 2. Dez. 2006 (CET)

Das ist kein Fall für den Review. Wenn die Sache durch Zurückgehen auf die exzellente Version behehbar ist, mit anschließenden Ergänzungen, dann das einfach in dieser Reihenfolge durchführen. Ansonsten wäre eine Abwahl das probate Mittel. "Exzellenter Artikel" und "Review" schließen sich an sich logisch aus.--Berlin-Jurist 22:09, 2. Dez. 2006 (CET)

Das schliesst sich schon nicht aus. Vor der Abwahl sollte ein Rettungsversuch unternommen werden, also ins Review. Ob die alte Version nach den aktuellen Massstäben noch exzellent ist, bezweifle ich. --Enlil2 23:00, 2. Dez. 2006 (CET)

OK, ich habe mich inzwischen bei unseren Experten informiert. Du hast Recht.--Berlin-Jurist 23:37, 2. Dez. 2006 (CET)

Spricht denn etwas dagegen, den Artikel auf die vorgeschlagene exzellente Version zurückzusetzen? --Scherben 10:43, 4. Dez. 2006 (CET)

Dem könnte ich mich vom Grundsatz her schon anschließen. Allerdings ist für mich persönlich (wenn mir diese persönliche Anmerkung gestattet ist) weniger das Ziegenproblem an sich interessant, sondern viel mehr die Art und Weise, wie aus einem trivialen mathematischen Rätsel(chen) eine Diskussion entstehen kann, in der die Meinungen so hart und unnachgiebig aufeinanderprallen können. Insofern sehe ich das Ziegenproblem nicht so sehr als mathematisches , sondern eher als soziologisch-kommunikatives Phänomen. Und gerade dieser Aspekt kommt in der o.g. Version etwas zu kurz. --Jeremy 12:33, 4. Dez. 2006 (CET)

Ein soziologisch-kommunikatives Phänomen kann ich hier nicht erkennen. Eher würde mich auch eine Quelle hierfür interessieren. Man beachte den edit Kommentar "leichte Ergänzung" ;-) Grüße --Mathemaduenn 15:22, 4. Dez. 2006 (CET)

Die Quelle für die Beschimpfung stammt aus dem Buch von von Randow. @Jeremy: Das Rätsel ist nicht trivial, und die Quellen für das von dir vermutete "soziologisch-kommunikative Phänomen" sind doch arg dürftig. --Scherben 18:00, 4. Dez. 2006 (CET)

OK, vielleicht habe ich nicht verständlich gemacht, was ich damit meinte: Ich denke, dass das Ziegenproblem weniger als mathematische Aufgabe interessant ist (da empfinde ich es tatsächlich als vergleichsweise trivial), sondern viel mehr als Paradebeispiel dafür, wie man einen einfachen Sachverhalt durch geschickte Beschreibung so verklausulieren kann, dass das zugrundeliegende Problem weit in den Hintergrund tritt und sich der Intuition verschließt. Würde man, ohne an den Spielregeln und am Spielablauf etwas zu ändern, das Problem nur geringfügig anders beschreiben, so würde die intuitive Deutung wohl anders ausfallen (Achtung: persönliche Annahme!). Ich versuche mal, es so zu formulieren:

"Gegeben sind drei Tore, hinter denen sich zwei Nieten und ein Gewinn verbergen. Gegeben sind außerdem zwei Spielteilnehmer, von denen der eine ("Kandidat") keinerlei Kenntnis über die Gewinn-Nieten-Verteilung hat, der andere dagegen ("Moderator") ist darüber im Bilde. Der Kandidat kann sich entscheiden, welche von zwei denkbaren Spielvarianten er wählt: Entweder entscheidet er sich dafür, anfangs ein Tor zu wählen und dabei zu bleiben, oder er entscheidet sich dafür, zwei Tore zu verwerfen und das Tor zu bekommen, das am Schluss übrigbleibt. In diesem Fall besagt die Spielregel, dass er das erste Tor ohne Kenntnis der Gewinnverteilung selbst verwirft und dass der Moderator in voller Kenntnis dieser Verteilung auf jeden Fall eine Niete aussortiert. Welche Spielvariante erscheint aussichtsreicher?

Schon allein der Begriff "Bleiben" oder "Behalten" bringt die Intuition ja dazu, dies mit einer positiven, beständigen, verlässlichen Einstellung zu assoziieren, wogegen "Wechseln" die Intuition eher in die unzuverlässige, sprunghafte, leicht beeinflussbare Richtung drängt. Der Gedanke "Der Moderator versucht ja nur, mich zu beeinflussen!" führt dazu, dass man gegen alle Vernunft an der einmal getroffenen Entscheidung festhält.--Jeremy 09:53, 15. Dez. 2006 (CET)

Die ersten zwei Absätze müssen so aussehen:

Das Problem

Bei einer Spielshow kann ein Kandidat ein Auto gewinnen. Die Regeln sind wie folgt:

Aufbau: Drei verschlossene Türen, ein Auto (Gewinn) und zwei Ziegen (Nieten) im Spiel. Der Moderator ist über die Positionen informiert, der Kandidat nicht.
Der Kandidat wählt eine Tür aus, und stellt sich davor.
Der Moderator öffnet eine Tür mit einer Ziege („…Was für ein Glück, dass Du nicht hier standest.“).
Der Moderator frägt: „Willst Du die Tür wechseln ?“. Der Kandidat bleibt vor der Tür stehen, oder stellt sich vor die andere.
Der Moderator öffnet die Türen, was hinter der Tür liegt, vor der der Spieler derzeit steht, wird ausgezahlt.

Gibt es eine richtige Strategie ?

Lösung und Beweis

Ja, die richtige Strategie ist „immer wechseln“. Beweis:

Paul: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zu Beginn ausgewählte Tür eine Ziege verbirgt ?
Georg: Die Wahrscheinlichkeit ist 2/3.
Paul: Angenommen, Du standest am Anfang vor einer Ziege. Der Moderator deckt, entsprechend den Regeln, eine weitere Ziege auf. Wo ist dann das Auto ?
Georg: Hinter der anderen Tür.
Paul: Wenn Du dann wechselst...
Georg: Dann hab ich das Auto.
Paul: Und wir haben festgestellt, die Wahrscheinlichkeit, dass Du am Anfang vor einer Ziege standest, war 2/3.
Georg: Ja.
Paul: Wenn Du also immer wechselst, wirst du in 2/3 aller Spiele gewinnen.
Georg: Ja.

Der jetzige "Lösung und Erklärung" Absatz müsste dann gestrichen werden. Dreadn 12:32, 13. Jan. 2007 (CET) Dreadn 12:49, 13. Jan. 2007 (CET)

Ich habe deine Überschriften mal aus der TOC entfernt, damit die nicht so voll ist. Der bis heute anhaltende Diskurs unter mathematischen Laien zeugt von einer breiten Ablehnung solcher geleiteter Dialoge, wie du ihn vorschlägst. In der Sache hast du jedoch recht: Der Absatz ist eindeutig zu verschwurbelt. Man sollte die Wahrscheinlichkeit, dass am Anfang eine Ziege gewählt wurde, früher bringen. Etwa: Nach seiner ersten Entscheidung steht der Kandidat zu 1/3 vor dem Auto und zu 2/3 vor einer Ziege. Dies ist immernoch so, wenn der Moderator eine Tür öffnet, da die Preise hinter den Türen nicht verschoben werden. Da er immer eine Tür mit Ziege öffnet, vor der der Kandidat nicht steht, wird der Wechsel in 2/3 der Fälle zum Gewinn führen und nur in 1/3 der Fälle zum Verlust.

Aber egal, wie man es aufzieht, der Artikel hat sowieso keine Chance gegen das tiefsitzende "50:50-Paradigma": Jeder mathematische Laie glaubt zu wissen, dass bei einer Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten unabhängig von allen anderen Faktoren die Wahrscheinlichkeit 50% ist, "richtig" zu wählen. Kein noch so wasserdichter Beweis schützt vor dem Vorurteil.

Deine Version der Problemstellung lässt übrigens einen wichtigen Parameter aus: "Der Moderator öffnet eine Tür mit einer Ziege, vor der der Kandidat nicht steht." Insofern ist da der momentane Text besser. Bei Ergänzung würde ich jedoch deine Variante vorziehen. --88.76.228.173 16:27, 13. Jan. 2007 (CET)

Dieser ehemals schöne Artikel ist ja echt verhunzt worden. Was mich besonders stört sind:

der Abschnitt "Hintergrund". Die zwei Sätze, wer das Problem als erstes gestellt und wer es bekannt gemacht hat, gehören in die Einleitung. Der Rest ist nichtig
die ellenlangen, sprachlich ungeschickten, von Wiederholungen gespickten Absätze über die Gründe für die einfache Antwort "wechseln" und Erklärung diverser Fehlinterpretationen. Wegen mir würden nur die ersten zwei Absätze des Punktes "Lösung und Erklärung" stehen bleiben, der Rest bis "Schema..." würde ich bis auf eine Erwähnung, dass der Moderator meist nicht frei entscheiden kann, welches Tor er öffnet und den damit verbundenen Unterschied zu "Wer wird Millionär" löschen. Von mir aus sei auch noch erwähnt, dass die übliche Fehleinschätzung die einer 50-prozentigen Gewinnchance sei, aber das versteht sich m.E. von selbst.
der Quellcode bringt absolut keine neuen Einblicke
der ganze Rest nach dem Quellcode bis auf das n-Türen-Problem (und vielleicht die "sprachlich einfache Erklärung", die aber dort, an diesem Platz nichts zu suchen hat)
die Unmengen an schlechten Weblinks

Oben angegebene alte Version ist, denke ich, bedeutend besser, wenn auch nicht optimal. Wäre an dem Artikel nicht so ein kleiner, grüner Stern dran, würde ich ihn erstmal rabiat kürzen. --yuszuv 02:01, 28. Jan. 2007 (CET)

Ignorier den Stern - im Zweifelsfall kann man den Artikel nach der Überarbeitung zur Wiederwahl bei den exzellenten Artikeln einstellen. Adrian Bunk 09:12, 14. Feb. 2007 (CET)

Zitat aus "Einfache Erklärung": "Wenn von den beiden Toren, auf die zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3 zutrifft, dasjenige mit der Niete geöffnet wird, verbleibt die höhere Wahrscheinlichkeit von 2/3 allein auf dem letzten Tor. (....) Faktisch hat nämlich das bloße Öffnen eines der beiden verbliebenen Tore mit einer Niete dahinter keinerlei Auswirkungen auf die Gewinnwahrscheinlichkeit."

Die Formulierung "von den beiden ... dasjenige mit der Niete..." ist m. E. irreführend und kann den Leser daher hinsichtlich des zuvor gerade gewonnenen Verständnisses der Regeln wieder verunsichern, denn der Satz in der aktuellen Fassung legt (wegen "dasjenige") sprachlich die Prämisse nahe, daß sich hinter diesen beiden Türen immer ein Auto und eine Niete befinden - während es in Wahrheit bekanntlich auch zwei Ziegen sein können. Also besser: "Wenn..., eines mit einer Niete geöffnet wird, ..."

Wilbert, 8. März 2007

- 2007 -

Exzellent und trotzdem noch im Review?

Oder anders gefragt: gibt es noch eine Steigerung? <eg> --80.136.178.233 12:06, 19. Feb. 2007 (CET)

Bitte um Änderung des Artikels

Hey, zuerst möchte ich erwähnen, dass ich den Artikel verstanden habe und als Mathe-Student auch das Problem an sich. Dennoch sollte der Artikel im Punkt "Das Problem" unter Unterpunkt 2 geändert werden. Es muss hier klar werden, dass der Moderator nicht irgendeine Tür herausnimmt, die dann zufällig eine Niete ist, sondern, dass der Moderator PER DEFINITION DES SPIELS eine Niete aus dem Spiel nimmt. Das sollte besonders betont werden, da sonst viele den Artikel nicht verstehen, wie die Diskussion ja zeigt :-) Vielen Dank.

Eigentlich stand das schon da. Ich habe es noch ergänzt, so dass es völlig klar sein dürfte. Dass es sich umn die Definition des Spieles handelt, sollte aber klar sein. "Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden nicht vom Kandidaten ausgewählten Tore, und zwar eines, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein Gewinn und eine Niete. " --Hutschi 07:55, 19. Feb. 2007 (CET)

100 Türen-Problem

Der Autor der folgenden Zeilen hat recht. Das weiß ich allerdings schon durch eigenes Nachdenken seit anfang Mai 03. Das 100 Türen Problem ist eine unzulässige Gleichsetzung mit dem Ziegenproblem. Das ist auch nicht ganz richtig, was ich als letztes sagte (sorry). Vielmehr ist beim 100 Türen Problem die Umentscheidung zur anderen Tür a u c h unerheblich also nicht chancenverbessernd (übrigens auch nicht verringernd)

Die Chance von 1/100 auf 99/100 ist keine Verbesserung? Mathe 6, Setzen! (nicht signierter Beitrag von 84.158.233.65 (Diskussion) )

Hier muss ich 84.158.233.65 recht geben. Wenn 1/100 nicht überzeugt, mach doch ein Lotto-Problem daraus. Du tippst 6 aus 49 Zahlen, danach zeigt dir der Moderator 13.838.816 falschen Zahlen (incl. aller 3-er, 4-er und 5-er), und du stehst vor der Frage, ob deiner oder der noch fehlende Tipp richtig ist. Bist du dann noch sicher, dass dein Tipp, ursprünglich 1/13.838.816, dann auf einmal auf 1/2 gewachsen ist? -- Martin Vogel 07:18, 29. Mär. 2007 (CEST)

2. Voraussetzung

Es braucht dem Teilnehmer nicht bekannt sein, dass der Moderator nur eine Niete öffnet. Der Moderator öffnet die Tür und damit ist klar, dass es eine Niete ist. Die optimale Lösung ergibt sich unabhängig von der Kenntnis des Teilnehmers. Allerdings würde er sie gegebenenfalls nicht finden. --Hutschi 09:49, 3. Apr. 2007 (CEST)

Dies ist vollkommen korrekt. Es geht aber nicht darum, dass der Teilnehmer weiß, dass der Moderator nur eine Niete öffnet. Es geht darum, das der Teilnehmer wissen muss, dass der Moderator die Tür (ob Niete oder nicht) öffnet, gleichgültig ob er (der Teilnehmer) mit seiner ersten Wahl den Hauptpreis getroffen hat oder nicht. Dies ist für die Umentscheidungsstrategie entscheidend. Mein Beitrag erläutert, dass die Voraussetzung in der Problembeschreibung im Artikel "Folgender Spielablauf ist immer gleich und den Kandidaten vorab bekannt" für die gezeigte Lösung essentiell ist. --Detlef S. 10:46, 3. Apr. 2007 (CEST)

Zitat aus dem Artikel (Text von Detlef S.): Die zweite wesentliche, bei der Formulierung des Problems häufig missachtete Voraussetzung ist, dass dem Kandidaten im voraus bekannt gewesen sein muss, dass der Moderator in jedem Fall eine Nietentür öffnen und ihm das Angebot zur Umentscheidung machen wird. Zur Erläuterung folgendes Spielszenarium, welches die Voraussetzung verletzt: Angenommen die Show wird zum ersten Mal gespielt und man wird nach seiner eigenen Auswahl einer Tür mit dem Öffnen einer Nietentür durch den Moderator und einem Umentscheidungsangebot durch diesen konfrontiert ohne dass man weiß, dass dieses Angebot Bestandteil der Spielregeln ist. Dann ließe sich durch den Kandidaten nicht ausschließen, dass der Moderatur ihm dieses Angebot nur aus dem Grunde gemacht hat, weil er die richtige Tür gewählt hatte und der Moderator ihm den Hauptpreis wieder entreißen möchte.

Warum muss das dem Kandidaten im Voraus bekannt sein? Für die Lösung des Problems ist es irrelevant. Wenn der Kandidat es nicht weiß, hat das keinerlei Einfluss auf seine erste Entscheidung. Er nimmt eine Tür. Der Spielmeister öffnet eine andere Tür - eine mit einer Niete. Das Wissen des Kandidaten über die Spielregeln geht nirgends ein, sie werden jeweils rechtzeitig bekannt gemacht. Wenn der Kandidat glaubt, der Spielmeister würde ihn irreführen wollen, dann wird er zwar die falsche Lösung wählen. Das ist aber völlig irrelevant für das Problem. Der Kandidat kann es glauben. Dann wird er falsch reagieren und die in 2/3 der Fälle ungünstigere Lösung wählen. Bitte noch mal darüber nachdenken. Bekannt sein sollte lediglich, dass es drei Türen gibt und einen Gewinn. Der Teilnehmer entscheidet sich nach dem Öffnen der Tür um. Also weiß er, dass die Tür geöffnet ist.

Der Spielmeister muss sich lediglich an die entsprechenden Regeln halten. Es ist nicht erheblich, ob der Teilnehmer sie vorher vollständig kennt. --Hutschi 11:07, 3. Apr. 2007 (CEST)

Das Ziegenproblem ist ein Problem, wo es um die Ermittlung einer optimalen Strategie geht (siehe Aufgabenstellung im Artikel: Wie soll der Kandidat sich entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?). Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen, welche zu dem Ergenis 2/3, 1/3 führen, sind hierbei nur das Hilfsmittel zum Finden dieser optimalen Strategie. War dem Kandidaten der beschriebene Ablauf durch die Spielregeln verlässlich vorgegeben, so führen die bekannten wahrscheinlichkeitstheoretischen Berechnungen tatsächlich zu der optimalen Strategie "Immer umentscheiden." Die Hauptgewinnwahrscheinlichkeit unter dieser Voraussetzung ist 2/3. Ist das Umentscheidungsangebot nicht Bestandteil der Reglen, oder sind dem Kandidaten diese Regeln nur nicht bekannt, so muss dieser bei Konfrontation mit einem Umentscheidungsangebot zur Ermittlung seiner optimalen Umentscheidungsstrategie auch andere Fälle (z.B. den des Moderators, der seine Kandidaten linken will) zur Ermittlung seiner optimalen Strategie berücksichtigen. --Detlef S. 12:38, 3. Apr. 2007 (CEST)

Wenn klar ist, dass der Moderator die zweite Tür nur dann öffnet, wenn der Kandidat die richtige Tür gewählt hat, im anderen Fall dagegen nicht, dann kann der Kandidt sicher sein, dass, wenn er gefragt wird, seine erste Wahl richtig war. Falls er bei seiner ersten Wahl falsch gelegen ist, wird er halt nicht mehr gefragt, und hat deshalb verloren. In 2/3 aller Fälle hat er verloren, in 1/3 aller Fälle soll er von seinem Gewinn abgelenkt werden, und der Kandidat ist gut beraten, wenn er sich nicht darauf einlässt. -- Martin Vogel 11:46, 3. Apr. 2007 (CEST)

Das ist einleuchtend, ging aber aus dem Text nicht klar genug hervor. Es muss gesichert sein, dass der Moderator eine Tür öffnet und ein Angebot macht. Wenn der Moderator je nach Lust und Laune oder nach festen Regeln kein Angebot macht, ändern sich die Verhältnisse. --Hutschi 12:02, 3. Apr. 2007 (CEST)

Ich möchte doch noch einmal kurz antworten, um ein wichtiges Detail zu erläutern. Die Formulierung "Es muss gesichert sein, dass der Moderator eine Tür öffnet und ein Angebot macht" trifft die notwendige Voraussetzung besser als die Formulierung "Das Umentscheidungsangebot muss Bestandteil der Regeln sein". Aber darüber hinaus ist es eine weitere notwendige Voraussetzung, dass der Kandidat um diese Gesichertheit auch weiß. Der Wissensstand des Kandidaten in dieser Entscheidungssituation ist grundsätzlich für die Wahl der optimalen Strategie von Belang. Dies kann man sich z.B. klar machen, indem man sich einmal vorstellt, der Kandidat hätte durch Zufall während der Show gesehen, dass der Hauptgewinn sich hinter Tür 3 befindet, und diese Tür dann schließlich auch gewählt. Selbstverständlich ist bei diesem Wissensstand des Kandidaten die optimale Strategie für die Reaktion auf das Umentscheidungsangebot, auf der Wahl von Tür 3 zu bestehen, gleichwohl die wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen aus dem Artikel sich nicht verändert haben. --Detlef S. 16:14, 3. Apr. 2007 (CEST)

Um eine optimale Strategie wählen zu können, muss man alles wissen, was möglich ist und sein Wissen so gut wie möglich verwenden. Doch sollte die Formulierung im Artikel noch etwas klarer sein. Aus unserer Diskussion ging das Problem hervor. In der Artikelversion verstehe ich den Zusammenhang nur teilweise. --Hutschi 16:26, 3. Apr. 2007 (CEST)

Ich werde versuchen, die Formulierungen im Artikel noch zu verbessern. Da in der Diskussion sich auch Unklarheiten bezüglich der ersten Voraussetzung ergaben, werde ich diese in meine Umarbeitung mit einbeziehen.--Detlef S. 09:13, 4. Apr. 2007 (CEST)

Bitte den Abschnitt "Warum verändert sich die Chance nicht" in der Diskussion mit beachten. Es ist ein Unterschied im Ergebnis, wenn der Moderator die Türen zufällig öffnet. Gunther hat das gut erklärt. --Hutschi 09:52, 5. Apr. 2007 (CEST)

mein revertieren

zu detlef:"älle das Tor für den Hauptgewinn. Hätte er zufällig eine Nietentür geöffnet, so betragen dann die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten für die verbleibenden Türen jeweils 1/2...." DANN wäre es keine '(bedingten) Wahrscheinlichkeiten, hab mal alles reveriert, weil das ImHO so grundfalsch ist und ich das richtige in den änereungen ned raussuchen mag, sorry, lg --^°^ 11:18, 5. Apr. 2007 (CEST)

Zur Problemstellung

Artikel-Text: "Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden nicht vom Kandidaten ausgewählten Tore, und zwar eines, hinter dem sich eine Ziege befindet."

Ich glaube, das Wissen des Moderators um die Position des Gewinnes ist nicht notwendig, sondern nur hinreichend. Der Zusatz im Text ", der die Position des Gewinns kennt" könnte meines Erachtens gestrichen werden, da für die Modellierung nur wichtig ist, dass sicher gestellt ist, dass der Moderator eine vom Kandidaten nicht gewählte Ziegentür öffnet. Wie dies sicher gestellt wird, ist nicht von Belang. --Detlef S. 09:56, 16. Apr. 2007 (CEST)

Das stimmt zwar. Ich denke auch, dass das gestrichen werden könnte, es muss aber klar vom zufälligen Öffnen abgegrenzt sein. Zum Beispiel öffnet sich die entspechende Tür automatisch. Wichtig ist, dass es nicht zufällig geschieht. Aber das automatische Öffnen ist prinzipiell gleichwertig zum Wissen des Moderators, beide Annahmen sind ohne EInschränkung der Allgemeinheit. Ebenso könnte jemand anderes die Tür öffnen. --Hutschi 10:31, 16. Apr. 2007 (CEST)

Folgendes denkbare Szenarium, bei welchem der Moderator "eingeschränkt" zufällig eine Tür öffnet, wäre denkbar: Der Moderator wählt für sich zufällig eine der beiden verbleibenden Türen aus. Bevor er diese aber öffnet, fragt er bei der Regie heimlich an, ob dies eine Ziegentür ist. Falls ja, so öffnet er diese, falls nein, öffnet er die andere vom Kandidaten nicht gewählte Tür. Im Falle der positiven Antwort von der Regie kennnt er nicht die Gewinntür, er ist in diesem Fall genauso ahnungslos wie der Kandidat, außerdem hätte er diese zufällig ausgewählt. Bei diesem Szenarium sollte das Modell weiterhin korrekt sein. --Detlef S. 11:52, 16. Apr. 2007 (CEST)

Korrekt, aber keine Erweiterung. Nach der Anfrage weiß der Moderator Bescheid. Dann ist es kein Unterschied zum Artikeltext. Man kann das, was er vorher gedacht hat, einfach mit Ockhams Rasiermesser abschneiden. :) Auch eine scheinbare Verwirrung des Kandidaten spielt keine Rolle. Alles, was er ihm sagt, beeinflusst nicht das Spiel, sofern nicht die Regeln selbst geändert werden (zum Beispiel durch Angebot von Geld wie in der deutschen Fassung). --Hutschi 11:58, 16. Apr. 2007 (CEST)

Der Moderator fragt die Regie nicht nach der Position des Hauptgewinns. Er fragt nur nach, ob seine favorisierte Tür eine Ziegentür ist. Als Antwort bekommt er ein Ja oder ein Nein. Bekommt er die Antwort JA, dass diese Tür eine Ziegentür ist, so öffnet er diese. In diesem Fall kennt er die Position des Hauptgewinns wie der Kandidat NICHT. --Detlef S. 12:07, 16. Apr. 2007 (CEST)

Wir können auch noch den Moderator streichen, die Tür öffnet sich von "selber". Es ist, pardon, scheißegal, ob ein wissender Moderator, ein wissender Computer oder eine wissende Regie öffnet. Irgendjemand muss es wissen, in unserem Beispiel heißt die Rolle halt Moderator, weil das in der Monty-Hall-Show so war. Das Beispiel muss nicht bis zur Unkenntlichkeit verfremdet werden durch das Einführen zusätzlicher Rollen (Regie). Es gibt zwei wesentliche Rollen, hier Kandidat und Moderator, es gibt Regeln, die dem Kandidaten bekannt sind, und es gibt eine daraus folgende optimale Strategie. Mehr ist da nicht. Der erwähnte Passus ist zwar nicht notwendig, verdeutlicht aber die Regeln. Wir schreiben für den Leser. --stefan (?!) 12:13, 16. Apr. 2007 (CEST)

Der erste Teil des Arguments, dass der Passus mathematisch korrekt ist, scheint ja akzeptiert zu sein. Ob diese Überflüssigkeit in irgendeiner Form Eingang in den Artikel finden sollte, ist aber noch nicht klar. Beim Ziegenproblem führen kleine Unterschiede in der Problemformulierung zu großen Unterschieden im Modell. Dies zeigt sich auch in der Geschichte der Lösung des Problems. Wir schreiben zwar für die Leser, doch welche Schwerpunkte wir legen, liegt an uns. Ein wichtiger Teil bei der Lösung von wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen sind die Fragen zur Modellierung. Probleme in der Modellierung lassen sich häufig, wie hier, auf Probleme der Problemformulierung zurückführen. Warum nicht den Leser hierauf hinweisen. M.E. führen derartige Hinweise, z.B. im "Kommentar zur Problemstellung" zu einem tieferen Verständnis des Problems. --Detlef S. 12:46, 16. Apr. 2007 (CEST)

Ziegenproblem#Erklärung mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation

Mal was anderes, ich will nix neues rein haben, sondern einen Absatz zur Diskussion stellen. Ich finde obgenannten Absatz nicht nur unnötig, sondern sogar qualitätsmindernd.

es handelt sich nicht um eine Erklärung, sondern um einen statistischen Nachweis
Die Bewunderung für die Monte-Carlo-Simulation hat hier nichts verloren, allenfalls in Monte-Carlo-Simulation
Es ist im Programm gut zu erkennen, .. - Nonsens. Ist die Lösung des Problems selbst in wohlformulierten Sätzen und Grafiken offensichtlich anspruchsvoll, so gliche ein Erkennen der Lösung aus dem Pseudocode durch einen Leser nahezu einem Wunder.

Der Absatz trägt nichts Erhellendes bei und behandelt eigentlich ein anderes Thema, lenkt vom Problem ab. Ich denke der Absatz sollte ersatzlos raus. Wegen des Exzellenzbapperls hätte ich dazu gerne weitere Meinungen. --stefan (?!) 13:10, 16. Apr. 2007 (CEST)

Ich plädiere auch dafür, diesen Abschnitt zu löschen. --Stefan Birkner 13:38, 16. Apr. 2007 (CEST)

Ich seh gerade, der fragliche Abschnitt war zum Zeitpunkt der Exzellenz-Kandidatur noch gar nicht im Artikel, ich schreite mal zur Tat. --stefan (?!) 22:39, 16. Apr. 2007 (CEST)

2. Voraussetzung

Der Spielmeister muss sich lediglich an die entsprechenden Regeln halten. Es ist nicht erheblich, ob der Teilnehmer sie vorher vollständig kennt. --Hutschi 11:07, 3. Apr. 2007 (CEST)

mein revertieren

Zur Problemstellung

Artikel-Text: "Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden nicht vom Kandidaten ausgewählten Tore, und zwar eines, hinter dem sich eine Ziege befindet."

Ziegenproblem#Erklärung mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation

Mal was anderes, ich will nix neues rein haben, sondern einen Absatz zur Diskussion stellen. Ich finde obgenannten Absatz nicht nur unnötig, sondern sogar qualitätsmindernd.

es handelt sich nicht um eine Erklärung, sondern um einen statistischen Nachweis
Die Bewunderung für die Monte-Carlo-Simulation hat hier nichts verloren, allenfalls in Monte-Carlo-Simulation
Es ist im Programm gut zu erkennen, .. - Nonsens. Ist die Lösung des Problems selbst in wohlformulierten Sätzen und Grafiken offensichtlich anspruchsvoll, so gliche ein Erkennen der Lösung aus dem Pseudocode durch einen Leser nahezu einem Wunder.

Ich plädiere auch dafür, diesen Abschnitt zu löschen. --Stefan Birkner 13:38, 16. Apr. 2007 (CEST)

Ich seh gerade, der fragliche Abschnitt war zum Zeitpunkt der Exzellenz-Kandidatur noch gar nicht im Artikel, ich schreite mal zur Tat. --stefan (?!) 22:39, 16. Apr. 2007 (CEST)

Entscheidungsbaum

Der Entscheidungsbaum der hier für das Ziegenproblem gezeigt wird ist schlicht und einfach falsch. Besser gesagt sind die gezeigten Wahrscheinlichkeiten falsch. Wird davon ausgegangen, dass hinter A der Gewinn ist und Tor A gewählt wurde betragen die W´keiten für Tor B und C (die der Moderator also öffnen kann) nicht 1/6 (wie bei diesem Baum auf der Seite) sondern 1/2, da der Moderator eins der beiden Tore ZUFÄLLIG und mit GLEICHER W´KEIT öffnet. Alle anderen verbleibenden Wahrscheinlichkeiten (außer die 1/3 ganz am Anfang) betragen 1, da nur noch eine Möglichkeit (nur ein Tor) zur Auswahl steht. Das ganze kann man auch in Gero von Radows Buch "Das Ziegenproblem" auf S. 57 nachlesen. (nicht signierter Beitrag von 77.179.234.230 (Diskussion) )

{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}

. Ist es jetzt klar? --Stefan Birkner 20:11, 10. Mai 2007 (CEST)

Video-Erklärung

Unter http://www.glumbert.com/media/montyhall findet sich eine sehr gute Erklärung in englischer Sprache. Möglicherweise ein guter Kandidat um unter Weblinks hinzugefügt zu werden. --88.64.172.172 00:03, 11. Mai 2007 (CEST)

Aufräumen dieser Diskussionsseite

Ich denke man sollte diese Diskussionsseite mal ausmisten, da hier nicht mehr produktiv über den Artikel diskutiert werden kann. Artikel wie Fachliche Frage, wo ohne Bezug zu diesem Problem nach Wahrscheinlichkeiten beim Lotto gefragt wird, sind genauso überflüssig wie die jener, die das Problem zwar nicht durchschaut haben, aber meinen es besser zu wissen und immer noch behaupten die Wahrscheinlichkeit sei 1/2. Ebenso überflüssig sind meiner Meinung nach die Artikel, die umfangreiche Rechnungen hier aufführen, wo man in der Mathematik doch immer versucht alles so einfach wie möglich zu machen. (An dieser Stelle möchte ich mal die Artikel Meine persönliche Quintessenz und Einfachstmögliche Erklärung erwähnen - genial, dem ist nichts hinzuzufügen.)

Schaut euch mal die Diskussionsseite der englischen Wikipedia an. Die ist ganz klein und oben drüber steht: Please note: The conclusions of this article have been confirmed by experiment. Das hätte dieser Seite hier auch gut getan.

Also sagt was dazu und wenn ihr mir zustimmt fangen wir an Artikel zur Löschung vorzuschlagen. --Chomo 11:43, 7. Jun. 2007 (CEST)

Leg doch einfach eine Archivseite an. Alle Abschnitte, die nach dem 30. März 2007 nicht mehr angefasst wurden, kommen ins Archiv. --tsor 11:48, 7. Jun. 2007 (CEST)

Gute Idee, das wäre wohl das einfachste. Ich bin dafür! --Chomo 11:58, 7. Jun. 2007 (CEST)

Erledigt, siehe oben auf der Seite. -- Sdo 12:25, 7. Jun. 2007 (CEST)

Charlie Eppes, Numb3rs

http://www.youtube.com/watch?v=P9WFKmLK0dc

vielleicht ja wert auch aufgenommen zu werden unter den externen Links?

Danke für den Link, aber neue Erkenntnisse bietet er eigentlich nicht. Insofern würde ich ihn nicht aufnehmen, siehe auch Wikipedia:Weblinks. Gruß, Sdo 16:55, 14. Aug. 2007 (CEST)

Wahrscheinlichkeiten

Ich finde die Wahrscheinlichkeiten am Entscheidungsbaum sollten erläutert werden! lg Hans --80.109.197.124 19:08, 23. Okt. 2007 (CEST)

Ist das wirklich nötig? Wir haben hier eine Gleichverteilung, da sollte die Herkunft der Wahrscheinlichkeiten offensichtlich sein, oder? -- Sdo 23:18, 23. Okt. 2007 (CEST)

Anonym

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Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/002

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3-Türenproblem

Fehler im Pseudocode der Monte-Carlo-Simulation?

Nochmal zur Rolle des Moderators

Nochmal in Einfach....

Sich änderenden Chancen

Nachfrage von Domingus

Ältere Diskussion

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Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems

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Ich verstehs nicht oder es ist einfach falsch ;-)

Änderungsvorschlag Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators

Moderator wählt auch - Insider-Wissen

Falsch: Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation

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KEINE intuitive widerlegung der falschen annahme einer 50:50 chance

100 Türen Problem... 99:1 Problem...

Ich versteh es immer noch nicht...

Der Artikel ist verwirrend

Praktisch

Teilsperrung

Wesentliche Vorraussetzung etwas umformulieren?

Risiko(a)version

auch: Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems

Wiktionary-Link

Einfacher und trivialer Erklärungsversuch

Neuer Erklärungsversuch für alle "Ungläubigen"

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Die Wahrscheinlichkeit ist von Anfang an 1/2 !!! (oder?)

Das Problem ist unscharf gestellt

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Review Dezember06/Januar/Februar 07

- 2007 -

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100 Türen-Problem

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