Rekurrenter Punkt

Die Begriffe der rekurrenten Punkte und rekurrenten Orbits werden in der mathematischen Theorie der (maßerhaltenden oder sogar stetigen) dynamischen Systeme verwendet. Anschaulich bedeutet die Rekurrenz eines Punktes unter einem Fluss (oder allgemeiner einer Gruppenwirkung), dass dieser Punkt unendlich oft in die Nähe seiner Ausgangsposition zurückkehrt.

Definition

Wir geben zunächst die Definition für diskrete dynamische Systeme, anschließend die sehr ähnlichen Definitionen für kontinuierliche dynamische Systeme (Flüsse) und für allgemeine Gruppenwirkungen.

Notationen: Eine Gruppenwirkung einer Gruppe $G$ auf einem metrischen Raum $(X,d)$ ist gegeben durch eine Abbildung $\Phi \colon G\times X\to X$, wobei man das Bild von $(g,x)$ mit $gx$ bezeichnet. Diskrete dynamische Systeme entsprechen dem Spezialfall $G=\mathbb {Z}$ und Flüsse dem Spezialfall $G=\mathbb {R}$. Im Fall $G=\mathbb {Z}$ bezeichnen wir mit $T\colon X\to X$ die Abbildung $x\mapsto \Phi (1,x)$ und mit $T^{n}\colon X\to X$ deren $n$-te Iteration für $n\in N$, also die Abbildung $x\mapsto \Phi (n,x)$. Im Fall kontinuierlicher dynamischer Systeme (Flüsse) bezeichnen wir $\phi _{t}(x):=\Phi (t,x)$ für $t\in \mathbb {R}$ und $x\in X$.

Diskrete dynamische Systeme

Es sei $(X,T)$ ein diskretes dynamisches System. Ein Punkt $x\in X$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ unendlich viele $n\in \mathbb {N}$ mit

$d(x,T^{n}x)<\epsilon$

gibt.

Äquivalent: es gibt eine Teilfolge $(n_{j})_{j}\subset \mathbb {N}$ mit

$\lim _{j\to \infty }T^{n_{j}}x=x$.

Der Orbit eines rekurrenten Punktes wird als rekurrenter Orbit bezeichnet.

Kontinuierliche dynamische Systeme

Es sei $(\phi _{t}\colon X\to X)_{t\in \mathbb {R} }$ ein Fluss. Ein Punkt $x\in X$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine gegen unendlich gehende Folge $t_{i}\to \infty$ mit

$d(x,\phi _{t_{i}}x)<\epsilon$

gibt.

Äquivalent: es gibt eine gegen unendlich gehende Folge $t_{i}\to \infty$ mit

$\lim _{i\to \infty }\phi _{t_{i}}x=x$.

Gruppenwirkungen

Es sei $\Phi \colon G\times X\to X$ eine Gruppenwirkung. Ein Punkt $x\in X$ heißt rekurrent, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine Folge $g_{n}$ paarweise unterschiedlicher Elemente aus $G$ mit

$\lim _{n\to \infty }d(x,g_{n}x)=0$

gibt. Die Gruppenwirkung heißt rekurrent, wenn die rekurrenten Punkte dicht liegen.

Maßerhaltende dynamische Systeme

Für maßerhaltende dynamische Systeme kann die Rekurrenzbedingung auch wie folgt formuliert werden. Es sei $(X,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum und $f\colon X\to X$ eine maßerhaltende Abbildung. Die Abbildung heißt rekurrent, wenn es für jede Menge $A\subset X$ mit $\mu (A)>0$ und für $\mu$-fast alle $x\in A$ unendlich viele $n\in \mathbb {Z}$ mit $f^{n}(x)\in A$ gibt.

Analog kann man Rekurrenz für maßerhaltende Wirkungen einer beliebigen Gruppe definieren. Die Wirkung einer Gruppe $G$ heißt rekurrent, wenn für jede Menge $A\subset X$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A)>0} und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} -fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in A} die Menge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G\colon gx\in A}

nicht relativ kompakt ist.

Spezialfälle

Spezialfälle rekurrenter Punkte sind

• Fixpunkte
• Periodische Punkte
• Fast-periodische Punkte, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in X} , so dass für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon>0} die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{n\in \N\colon d(x,T^nx)<\epsilon\right\}} eine syndetische Menge ist, also beschränkte Lücken hat.
• Wenn der Orbit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} dicht liegt, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} rekurrent.

Birkhoffscher Rekurrenzsatz

Jedes stetige dynamische System auf einem kompakten Raum hat fast-periodische und demzufolge rekurrente Punkte.

Poincaréscher Rekurrenzsatz

→ Hauptartikel: Wiederkehrsatz

Der Poincarésche Rekurrenzsatz besagt: Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} endliches Volumen hat, dann hat jede maßerhaltende Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X\to X} rekurrente Punkte. Weiterhin hat die Menge der rekurrenten Punkte volles Maß, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(R(f))=\mu(X)} .

Dieser Satz hat eine allgemeinere Version für maßerhaltende Gruppenwirkungen. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine nicht-kompakte, lokal-kompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und die auf einem Maßraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X,\sigma,\mu)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(X)<\infty} wirke. Dann ist die Wirkung rekurrent.

Beispiele

• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=S^1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X\to X} eine Drehung, dann ist jeder Punkt rekurrent.
• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine topologische Gruppe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma\subset G} ein kokompaktes Gitter. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in Z(G)\subset G} ein Element aus dem Zentrum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} . Die Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\to gx}

definiert ein dynamisches System auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G/\Gamma} und aus dem Birkhoffschen Rekurrenzsatz folgt, dass jeder Punkt rekurrent ist.

• Anwendung des vorhergehenden Beispiels mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=\R^d} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma=\Z^d} ergibt den Approximationssatz von Kronecker.

Eigenschaften

• Jeder rekurrente Punkt ist nichtwandernd.
• Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(f)} der rekurrenten Punkte ist invariant unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} . Ihr Abschluss ist die Birkhoff-Menge (engl.: Birkhoff center).
• Poisson-Stabilität: Die Eigenschaft eines Punktes rekurrent zu sein ist stabil unter geringfügigen Änderungen des dynamischen Systems.

Weblinks

• Terence Tao: Minimal dynamical systems, recurrence, and the Stone-Čech compactification
• Recurrent point (Encyclopedia of Mathematics)