Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe $\Gamma$ heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements $\gamma \in \Gamma$ liegen keine weiteren Elemente von $\Gamma$.

Eine Darstellung $\rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )$ einer (abstrakten) Gruppe $\Gamma$ heißt diskret, wenn das Bild $\rho (\Gamma )$ eine diskrete Untergruppe von $GL(n,\mathbb {C} )$ ist.

Beispiele

• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$ ist keine diskrete Untergruppe
• $GL(n,\mathbb {Z} )\subset GL(n,\mathbb {R} )$ ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter

Sei $G$ eine lokalkompakte $\sigma$-kompakte topologische Gruppe, $\pi \colon G\rightarrow \Gamma \backslash G$ die Projektion und $\mu$ das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ erzeugt das Haarmaß $\mu$ ein wohldefiniertes Maß $\mu _{\Gamma }$ auf $\Gamma \backslash G$ wie folgt: für alle Mengen $A\subset G$ mit $A\cap \gamma A=\emptyset \forall \gamma \in \Gamma -\left\{e\right\}$ definieren wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_\Gamma(\pi(A))=\mu(A)} .

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma\subset G} , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma\backslash G} endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma\backslash G} kompakt ist.

Ein Gitter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma\subset G} heißt reduzibel, wenn sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} als direktes Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=G_1\times G_2} zerlegen lässt, so dass es Gitter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma_1\subset G_1,\Gamma_2\subset G_2} gibt, für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma_1\times \Gamma_2} eine Untergruppe von endlichem Index in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} ist. Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Springer, New York, Heidelberg 1972. 
• G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks

• Venkataramana: Lattices in Lie groups