Haarsches Maß

Das Haarsche Maß wurde von Alfréd Haar in die Mathematik eingeführt, um Ergebnisse der Maßtheorie in der Gruppentheorie anwendbar zu machen.

Es ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Das Lebesgue-Maß ist ein Maß auf dem euklidischen Raum, das unter Translationen invariant ist. Der euklidische Raum ist eine lokalkompakte topologische Gruppe bezüglich der Addition. Das Haarsche Maß ist für jede lokalkompakte (im Folgenden immer als hausdorffsch vorauszusetzende) topologische Gruppe definierbar, insbesondere also für jede Lie-Gruppe. Lokalkompakte Gruppen mit ihren Haarschen Maßen werden in der harmonischen Analyse untersucht.

Definition

Ein (linkes) Haarsches Maß einer lokalkompakten Gruppe $G$ ist ein linksinvariantes reguläres Borelmaß, das auf nichtleeren offenen Teilmengen positiv ist.

Ein Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} heißt dabei linksinvariant, wenn für jede Borelmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und jedes Gruppenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(gA) = \mu(A)} ,

oder in Integralschreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_G f(gx)\,\mathrm d\mu=\int_G f(x)\,\mathrm d\mu}

für integrierbare Funktionen $f$ und Gruppenelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} gilt.

Ersetzt man „linksinvariant“ durch den analogen Begriff „rechtsinvariant“, erhält man den Begriff des rechten Haar-Maßes. Das linke und das rechte Haarmaß existieren in jeder lokalkompakten topologischen Gruppe und sind jeweils bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt. Stimmen sie beide überein, so heißt die Gruppe unimodular. Abelsche (lokalkompakte) Gruppen sowie kompakte Gruppen sind unimodular.

Beweis der Existenz

Nach einer Variante des Darstellungssatzes von Riesz-Markow reicht es aus, die Existenz eines stetigen, positiven, linksinvarianten, linearen Funktionals auf den nicht-negativen, reellwertigen, stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf einer lokalkompakten Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} zu zeigen. Im reellen Fall wäre ein Beispiel für ein solches das Riemann-Integral, das sich zum Lebesgue-Integral fortsetzen lässt und damit das Lebesgue-Maß induziert. Der Beweis der Existenz ist nicht-konstruktiv über den Satz von Tychonoff möglich.

Hierzu definiert man zunächst für je zwei nicht-negative, stetige Funktionen mit kompaktem Träger Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f, \varphi)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi \neq 0} die Überdeckungszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f : \varphi)} als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f : \varphi) := \inf \left\{\sum_i c_i \mid c\in {\R^+}^n,\ n\in \N,\ \exist g \in G^n\ \forall h \in G\ f(h)\leq \left(\sum_i c_i L_{g_i} \varphi\right)(h)\right\}} ,

wobei $L_{g}f$ die Linksverschiebung bezeichne, das heißt $L_{g}f(h)=f(g^{-1}h)$. Für immer „feineres“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} wird die Überdeckung dann immer „genauer“, wobei jedoch die Überdeckungszahl üblicherweise immer größer wird. Dies lässt sich durch eine Normierung in den Griff bekommen, man definiert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\varphi(f) := \frac{(f : \varphi)}{( f_0 : \varphi)}}

für ein beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_0} ungleich null. Dieses Funktional ist jedoch im Allgemeinen immer noch nicht linear – es ist zwar homogen, aber im Allgemeinen nur subadditiv und nicht additiv. Entscheidend für den weiteren Beweis ist dann folgende Ungleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < (f_0 : f)^{-1} \leq I_\varphi (f) \leq (f : f_0)} .

Man betrachte nun den Umgebungsfilter des neutralen Elements in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und bilde den Bildfilter unter der Abbildung, die jedem $V$ die Menge aller Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\varphi} zuordnet, für die der Träger von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} enthalten ist. Dadurch erhält man dank der Abschätzung einen Filter im Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \prod_f[(f_0 : f)^{-1}, (f : f_0)]} und dieser Raum ist nach dem Satz von Tychonoff kompakt. Der Filter besitzt somit einen Berührpunkt, man rechnet nach, dass ein solcher Berührpunkt alle gewünschten Eigenschaften hat, insbesondere linear ist, also ein linkes Haar-Integral ist.

Eigenschaften

Das Haarsche Maß einer lokalkompakten topologischen Gruppe ist genau dann endlich, wenn die Gruppe kompakt ist. Diese Tatsache ermöglicht es, eine Mittelung über unendliche kompakte Gruppen durch Integration bezüglich dieses Maßes durchzuführen. Eine Folge ist beispielsweise, dass jede endlichdimensionale komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe unitär bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes ist. Eine einelementige Menge hat genau dann ein Haarmaß ungleich null, wenn die Gruppe diskret ist.

Beispiele

• Das Lebesguemaß auf $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {C} ^{n}$ ist das Haarsche Maß auf den additiven Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\R^n,+)} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Complex^n, +)} .
• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} die Kreisgruppe, also die kompakte Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 mit der üblichen Multiplikation komplexer Zahlen als Verknüpfung. Bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} das Lebesguemaß auf dem Intervall $[0,1]$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]\rightarrow T, x\mapsto e^{2\pi i x}} , so ist das Haarsche Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} gegeben durch das Bildmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda\circ f^{-1}} , das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A)\,=\,\lambda(f^{-1}(A))} für jede Borelmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset T} .
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GL(n,\R)} die allgemeine lineare Gruppe, so ist das Haarsche Maß durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(u)|^n}\,\mathrm{d}\lambda(u) } gegeben, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} das Lebesguemaß auf $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ist.
• Für eine diskrete Gruppe ist das Zählmaß Haarsches Maß.
• Das Haarsche Maß auf der multiplikativen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^\times = (\R \setminus \{0\}, \cdot)} ist durch die Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A) = \int_A \frac{1}{|x|}\,\mathrm{d}\lambda(x) } gegeben, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} das Lebesguemaß ist.

Die modulare Funktion

→ Hauptartikel: Modulare Funktion (harmonische Analyse)

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} ein (linksinvariantes) Haarsches Maß, dann ebenfalls die Zuordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \mapsto \mu(Ag)} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ein festes Gruppenelement ist. Wegen der Eindeutigkeit des Haarschen Maßes existiert eine positive reelle Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta(g)} , so dass

$\mu (Ag)=\Delta (g)\mu (A)$.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus von der Gruppe in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, der modulare Funktion genannt wird. $\Delta$ misst, wie sehr ein (linkes) Haarmaß auch rechtsinvariant ist; und eine Gruppe ist genau dann unimodular, wenn ihre modulare Funktion konstant ist.

Literatur

• Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co., Toronto u. a. 1953.
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1.