Gruppenhomomorphismus

In der Gruppentheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Gruppen, die man Gruppenhomomorphismen nennt. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die mit diesen verträglich ist, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Definition

Gegeben seien zwei Gruppen $(G,*)$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (H, \star).} Eine Funktion $\phi \colon G\to H$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $g_{1},g_{2}\in G$ gilt:

$\phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).$

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft und das Ergebnis abbildet oder ob man erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknüpft.

Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element $e_{G}$ von $G$ auf das neutrale Element $e_{H}$ von $H$ abbildet:

$\phi (e_{G})=e_{H},$

denn für alle $g\in G$ gilt

$\phi (g)=\phi (g*e_{G})=\phi (g)\star \phi (e_{G}),$

also ist $\phi (e_{G})$ das neutrale Element in $H$.

Weiterhin folgt, dass er Inverse auf Inverse abbildet:

$\phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}$ für alle $g\in G,$

denn wegen

$e_{H}=\phi (e_{G})=\phi (g*g^{-1})=\phi (g)\star \phi (g^{-1})$

ist $\phi (g^{-1})$ das Inverse von $\phi (g).$

Bild und Kern

Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus $f\colon G\to H$ bezeichnet man die Bildmenge von $G$ unter $f$:

$f(G)=\operatorname {Bild} (f)=\operatorname {im} (f)\colon =\left\{f(u)\mid u\in G\right\}$

Der Kern (engl. kernel) von $f$ ist das Urbild des neutralen Elements $e_{H}$:

$f^{-1}(e_{H})=\operatorname {Kern} (f)=\operatorname {ker} (f)\colon =\left\{u\in G\mid f(u)=e_{H}\right\}$

Genau dann, wenn $\operatorname {Kern} (f)=\left\{e_{G}\right\}$ gilt (der Kern von $f$ also nur das neutrale Element von $G$ enthält, das immer im Kern liegt), ist $f$ injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.

Der Kern von $f$ ist stets ein Normalteiler von $G$ und das Bild von $f$ ist eine Untergruppe von $H$. Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe $G/\operatorname {Kern} (f)$ isomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Bild}(f)} .

Beispiele

Triviale Beispiele

• Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und $H$ beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon G \to H} , die jedes Element auf das neutrale Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} .
• Für jede Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist die identische Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{id} \colon G \to G,\ \operatorname{id}(x) = x} , ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} eine Untergruppe der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , so ist die Inklusionsabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\colon H\hookrightarrow G} ein injektiver Gruppenhomomorphismus von $H$ in $G$.

Nichttriviale Beispiele

• Betrachte die additive Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Z, +)} der ganzen Zahlen und die Faktorgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Z/3\Z, +) = \{0 + 3\Z, 1 + 3\Z, 2 + 3\Z\}} . Die Abbildung $p\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,\ p(z)=z\,{\bmod {\,}}3=z+3\mathbb {Z}$ (siehe Kongruenz und Restklassenring), ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist surjektiv und sein Kern besteht aus der Menge $3\mathbb {Z}$ aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen. Dieser Homomorphismus wird kanonische Projektion genannt.
• Die Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe $(\mathbb {R} ,+)$ der reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} und der multiplikativen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\R^*, \cdot\right)} der reellen Zahlen ungleich 0, denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{exp}(x+y) = \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)} . Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
• Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den komplexen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} mit der Addition und den von 0 verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation. Dieser Homomorphismus ist surjektiv und sein Kern ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{ker}(\operatorname{exp}) = \left\{ 2\pi k i \colon k \in\Z \right\}} , wie man z. B. aus der Eulerschen Identität entnehmen kann.
• Die Abbildung, die jeder invertierbaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} -Matrix ihre Determinante zuordnet, ist ein Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GL(n,\mathbb{R})\to (\mathbb{R},\, \cdot)}
• Die Abbildung, die jeder Permutation ihr Vorzeichen zuordnet, ist ein Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_n\to(\{\pm 1\},\, \cdot)}

Verkettung von Gruppenhomomorphismen

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon G \to H} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \colon H \to K} zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\circ h \colon G \to K} ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Die Klasse aller Gruppen bildet mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie.

Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, Automorphismus

Ein Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon G \to H} heißt

• Monomorphismus, wenn er injektiv ist.
• Epimorphismus, wenn er surjektiv ist.
• Isomorphismus, wenn er bijektiv ist.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon G \to H} ein Gruppenisomorphismus, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \colon G \to G} ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er Gruppenautomorphismus genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Aut}(G)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} .

Die Automorphismengruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Z,+)} enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_2} .

In der Gruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{Q},+)} ist jede lineare Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\left(x\right) = m\cdot x} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}} ein Automorphismus.

Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} Gruppen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} abelsch ist, dann bildet die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Hom(G,H)} aller Gruppenhomomorphismen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(h + k\right)\left(x\right) \colon = h\left(x\right)+ k\left(x\right)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in G} .

Die Kommutativität von $H$ benötigt man, damit $h+k$ wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe $G$ bildet mit der Addition eine Gruppe, die als $End(G)$ bezeichnet wird.

Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind $f\in Hom(K,G),h,k\in Hom(G,H),g\in Hom(H,L)$, dann gilt

$\left(h+k\right)\circ f=\left(h\circ f\right)+\left(k\circ f\right)$ und $g\circ \left(h+k\right)=\left(g\circ h\right)+\left(g\circ k\right)$.

Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe $End(G)$ einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von $G$.

Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Siehe auch

• Homomorphe Verschlüsselung

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, ISBN 3-528-03217-0