Modulare Funktion (harmonische Analyse)

Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Definition

Es sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß $\mu$ auf $G$. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass $\mu (tA)=\mu (A)$ für alle $t\in G$ und alle Borelmengen $A\subset G$. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass $\mu$ auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus $\mu (At)\not =\mu (A)$ gelten.

Für festes $t\in G$ ist die Abbildung $\mu _{t}\colon A\mapsto \mu (At)$ ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl $\Delta _{G}(t)\in \mathbb {R} ^{+}$ mit $\mu _{t}\,=\,\Delta _{G}(t)\mu$, das heißt $\mu (At)\,=\,\Delta _{G}(t)\mu (A)$ für alle messbaren $A\subset G$.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung $\Delta _{G}\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes $\mu$ erweist und ein stetiger Homomorphismus von $G$ in die multiplikative Gruppe $\mathbb {R} ^{+}$ ist. $\Delta _{G}$ heißt die modulare Funktion von $G$

Unimodulare Gruppen

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion $\Delta _{G}(t)=1$ für alle $t\in G$ ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
• Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in $\mathbb {R} ^{+}$ sein, und da kommt nur $\{1\}$ in Frage.
• Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe $GL(n,\mathbb {R} )$. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

$\mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|\det(u)|}}\,\mathrm {d} \lambda (u)$

gegeben, wobei $\lambda$ das Lebesguemaß auf $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ ist.

Beispiel

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei $G$ die lokalkompakte Gruppe aller $2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}$

mit $a,b\in \mathbb {R} ,a>0$. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch

$\mu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a^{2}}}\,\mathrm {d} a\mathrm {d} b$

gegeben, ein rechtsinvariantes durch

$\nu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a}}\,\mathrm {d} a\mathrm {d} b$.

Damit ergibt sich

$\Delta _{G}({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}})\,=\,{\frac {1}{a}}$.

Rechenregeln

Es sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß $\mu$. Für eine Funktion $f\colon G\rightarrow R$ sei $f_{s}(t)\,:=\,f(ts^{-1})$, die sogenannte Translation von $f$ um $s$.

Ist $\chi _{A}$ die charakteristische Funktion der Borelmenge $A$, so ist $(\chi _{A})_{s}=\chi _{As}$ und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

$\int (\chi _{A})_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int \chi _{As}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\mu (As)=\Delta _{G}(s)\mu (A)=\Delta _{G}(s)\int \chi _{A}(t)\mathrm {d} \mu (t)$.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede $\mu$-integrierbare Funktion $f$:

$\int f_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\Delta _{G}(s)\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)$.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für $\mu$-integrierbare Funktionen $f$ auf $G$ gilt

$\int f(t^{-1})\Delta _{G}(t^{-1})\mathrm {d} \mu (t)\,=\,\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)$.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra $L^{1}(G)$ vor. Auf dem $L^{1}$-Raum über $(G,\mu )$ definiere man für Funktionen $f,g\in L^{1}(G)$

$f\star g(t)\,:=\int f(s)g(s^{-1}t)\mathrm {d} \mu (s)$

$f^{*}(t):=\Delta _{G}(t^{-1}){\overline {f(t^{-1})}}$.

Dabei ist $f\star g$ nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch $\star$ definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung $f\mapsto f^{*}$ wird $L^{1}(G)$ zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution. Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.