Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum $(\Omega ,{\mathfrak {P}}(\Omega ))$ definieren, wobei $\Omega$ eine beliebige Menge und ${\mathfrak {P}}(\Omega )$ ihre Potenzmenge ist. Ist $\Omega$ eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn $\Omega$ abzählbar ist.

Definition

Das Zählmaß einer Menge $A\subseteq \Omega$ ist wie folgt definiert:

$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{, falls }}A{\text{ endlich ist,}}\\+\infty &{\text{, falls }}A{\text{ unendlich ist.}}\end{cases}}$

Beispiele

Integral der Funktion $x\mapsto x^{2}$ auf dem Intervall $[-10,10]$ bzgl. des Zählmaßes über $\mathbb {N}$

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum $(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ))$, entspricht das Zählmaß der Abbildung

$\mu \colon {\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )\to [0,\infty ]{\text{, }}A\mapsto \sum _{k\in \mathbb {N} }\chi _{A}(k).$

Hierbei bezeichnet $\chi _{A}$ die charakteristische Funktion der Menge $A\subseteq \mathbb {N}$.

Mit Hilfe des Zählmaßes auf $\mathbb {N}$ lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$:

$\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ konvergiert absolut $\Longleftrightarrow$ $f$ ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf ${\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ).$

In diesem Fall gilt

$\int _{\mathbb {N} }f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 31.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 29.