Index (Gruppentheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $U$ eine Untergruppe. Dann sind die Menge $G/U$ der Linksnebenklassen und die Menge $U\backslash G$ der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von $U$ in $G$ und wird mit $(G\colon U)$, manchmal auch $[G\colon U]$ oder $|G\colon U|$, bezeichnet.

Eigenschaften

• Es gilt $(G\colon 1)=|G|$. (Dabei bezeichnet $|G|$ die Ordnung von $G$.)
• Der Index ist multiplikativ, d. h. ist $U$ eine Untergruppe von $G$ und $V$ eine Untergruppe von $U$, so gilt

  $(G\colon V)=(G\colon U)\cdot (U\colon V).$

• Der Spezialfall $V=1$ wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:

  Für eine Gruppe $G$ und eine Untergruppe $U$ gilt:

  $|G|=(G\colon U)\cdot |U|.$

  Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

  $(G\colon U)={\frac {|G|}{|U|}}$

  berechnen.

• Ist $N\vartriangleleft G$ ein Normalteiler, so ist der Index von $N$ in $G$ gerade die Ordnung der Faktorgruppe $G/N$, also

  $(G\colon N)=\left|G/N\right|$.

• Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
• Allgemeiner: Ist $U$ eine Untergruppe von $G$ und $p>1$ ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung $|G|$ ist, dann ist $U$ ein Normalteiler in $G$.

Topologische Gruppen

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

• Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
• Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch

• Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.
• In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.

Literatur

Index in der Gruppentheorie:

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff. 

In topologischen Gruppen:

• Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (russisch: Nepreryvnye gruppy. Übersetzt von Viktor Ziegler).