Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element $a$ einer Menge $X$ ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von $a$ gibt, in der (außer $a$) keine weiteren Elemente von $X$ liegen. Ein Punkt $a\in X$ ist also genau dann isoliert, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} kein Häufungspunkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

• In der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0\}\cup [1, 2]} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ein isolierter Punkt.
• In der Menge $\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \}$ ist jedes der Elemente ${\tfrac {1}{n}}$ ein isolierter Punkt, aber $0$ ist kein isolierter Punkt.
• In der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.