Diskussion:Polarisationsformel

Vorschlag für Neuformulierung

Mir erscheint das alles teils doch stark unverständlich, auch etwas aufgebläht und zu viel des Guten. Hier mal ein Vorschlag:

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Die Polarisationsformel (auch Polarisationsidentität) beschreibt einen Zusammenhang zwischen der Norm und dem Skalarprodukt bestimmer mathematischer Räume.

In einem reellen Hilbertraum H mit der Norm $\|.\|$ und dem Skalarprodukt $s$ gilt die Formel

$s(x,y)={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})$.

Ist H ein komplexer Hilbertraum, dann gilt

$s(x,y)={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$.

Analoge Formeln gelten auch allgemeiner für Vektorräume $V$ mit Sesquilinearform $s$ und zugehöriger quadratischer Form $q$:

$s(x,y)={\frac {1}{4}}(q(x+y)-q(x-y)+iq(x+iy)-iq(x-iy))$.

Noch allgemeiner gilt für normierte Räume der Satz von Pascual Jordan und John von Neumann:

Ein normierter Raum $(V,\|.\|)$ ist genau dann unitär, wenn die Norm $\|.\|$ durch ein Skalarprodukt $s$ erzeugt wird. Es gilt dann für alle $x,y\in V$ die Polarisationsidentität:

$s(x,y)={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$.

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Vielleicht ist das ja etwas kompakter.

-- Jesi 06:04, 8. Jul. 2009 (CEST)

Es ist zwar kompakter, aber nicht ausreichend, da man auch ausgeartete und indefinite quadratische Formen zu Bilinearformen polarisieren kann. Das ist z.B. bei der Diskussion von Clifford-Algebren wichtig.--LutzL 11:33, 8. Jul. 2009 (CEST)

Oder vielleicht ist diese Allgemeinheit im dritten Teil des Vorschlages gemeint, es kommt aber dann nicht deutlich genug rüber, dass mit ${\sqrt {q(v)}}$ nicht unbedingt eine Norm definiert ist.--LutzL 11:36, 8. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe (mal wieder) herausgenommen: "Man kann also aus Bilinearformen quadratische Formen gewinnen, aber auch umgekehrt aus einer quadratischen Form eine Bilinearform erzeugen." Und zwar, weil es einfach nicht stimmt. Das Wort "symmetrisch" wäre hier wichtig. Und für Sesquilinearformen gilt das ja auch. Ich denke außerdem, dass der Satz (auch wenn er korrekt vervollständigt würde) redundant ist, da das Prinzip bereits dasteht. --WebFritzi 04:33, 13. Jul. 2009 (CEST)