Diskussion:Trägheitssatz von Sylvester

verstaendlichkeit

Ein Einleitungssatz wäre nett, vielleicht auch eine Oma-taugliche Erklärung (ok, auf letzteres müssen wir wahrscheinlich verzichten). Danke! --Robert S. 16:05, 27. Mai 2006 (CEST)

Oma-tauglich wird's wohl nie werden, aber zumindest Erstsemestertauglichkeit sollte möglich sein. Anfang ist gemacht. Traitor 20:45, 27. Mai 2006 (CEST)

aber imho nur ein anfang. erst ist A beliebig hermitesch/symmetrisch und dann ploetzlich diagonal. die bezeichnungsweisen sollten ueberarbeitet werden. ebenso ist syntaktisch der kram hinter "anders ausgedrueckt" anscheinend noch nicht richtig. z.b.: warum haben die x_i und y_i in der zweiten formel auch striche? -- 141.3.74.36 14:20, 10. Jan. 2007 (CET)

Ersteres ist korrigiert. Beim "anders ausgedrückt" sollen es ja zwei verschiedene Darstellungen derselben Abbildung sein, also sind verschiedene Basen nötig, deshalb wohl die gestrichenen Koordinaten. Dann müsste aber auch links A'(x',y') stehen. Oder? Traitor 14:49, 10. Jan. 2007 (CET)

transponierte?

Müsste für den Basiswechsel nicht die Inverse anstatt der Transponierten von T vorkommen? Also $B=T^{-1}AT$ ? Für orthogonale Matrizen wäre das ja so in Ordnung, aber schon für unitäre würde es nicht mehr stimmen (da fehlt noch die Konjugation)... 84.63.109.54 15:20, 30. Sep. 2007 (CEST)

Nein das ist schon in Ordnung so; die Aussage gilt für alle regulären T. Wenn ^-1 dastünde, wäre die Aussage ja trivial (dann sind alle Eigenwerte sogar identisch). --78.53.226.4 19:31, 29. Apr. 2008 (CEST)

Es macht jedoch nicht so viel Sinn von Eigenwerten zu Sprechen. Symmetrische Bilinearformen haben keine Eigenwerte, sondern eben nur ihre darstellenden Matrizen. Man sollte eher davon sprechen, dass die Signatur invariant ist. --Christian1985 00:15, 23. Aug. 2008 (CEST)

Gilt auch für Sesquilinearformen!

Im Abschnitt "Aussage des Satzes" kann man den $\mathbb {R}$-Vektorraum durch einen $\mathbb {C}$-Vektorraum und die symmetrische Bilinearform durch eine hermitesche Sesquilinearform ersetzen, und die daraus neu entstandene Aussage ist ebenfalls gültig (also solche Formen definiert durch $<x,y>:=x^{*}Ay$ für hermitesche A).

Ich habe dazu auch einen Beweis in meiner recht alten Ausgabe des Buchs "Lineare Algebra" von Gerd Fischer, und im Buch "Lehrbuch der Algebra" von Günter Scheja, Uwe Storch kann der Beweis hier online bei google books in der Formulierung mit Matrizen nachgelesen werden.

Die Aussage im Abschnitt "Folgerungen und Bemerkungen", der Satz würde für hermitesche Bilinearformen nicht gelten ist wahr, ob er für hermitesche Matrizen auch nicht gilt ist dann allerdings Auslegungssache, ob man die Matrix als Bilinearform oder Sesquilinearform betrachtet. Im selben Abschnitt steht aber noch die Behauptung, dass zu einer hermiteschen Matrix A immer eine Matrix S existieren würde mit $S^{*}AS=diag(1,...,1,0,...,0)$. Ok, für S=0 stimmt das natürlich, hier muss noch ergänzt werden, dass S regulär sein soll. Im Falle von komplexen Matrizen ist mit $S^{*}$ allerdings wenn nicht anders vereinbart die komplex konjugierte Transposition gemeint, für diese gilt die Aussage aber nicht! (Betrachte A = (-1) als 1x1 Matrix, dann ist S = (s) für ein komplexes $s\neq 0$, also $S^{*}AS=-s^{*}s=-|s|^{2}<0$ ). Wohl aber gilt die Aussage für $S^{*}:=S^{T}$, dann kann man in vorigem Gegenbeispiel $S=(i)$ wählen, um $S*AS=diag(1)$ zu erhalten (und im n-dimensionalen folgt das leicht aus der Hauptachsentransformation).

Ich schlage daher vor:

1. Hinzufügen der Aussage für hermitesche Sesquilinearformen
2. Die Benutzung von $A^{T}$ für die Transponierte und $A^{*}$ für die komplex konjugiert Transponierte
3. und wenn gewünscht auch die häufig vorkommende Formulierung über symmetrische reelle und hermitesche komplexe Matrizen, ganz ohne Bilinearformen/Sesquilinearformen. Natürlich sollte dann darauf hingewiesen werden, dass Bilinearformen/Sesquilinearformen eindeutig mit symmetrischen/hermiteschen Matrizen korellieren, und es sich deshalb um dieselben Aussagen handelt.

-- Mejiwa 00:07, 23. Sep. 2010 (CEST)

Ich stimme dem gesagten zu 100% zu. Im Allgemeinen ist mit $A^{*}$ immer die komplex Konjungierte gemeint. Daher würde ich sogar die Aussage, dass zu einer hermiteschen Matrix A immer eine Matrix S existieren würde mit $S^{*}AS=diag(1,...,1,0,...,0)$ als schlichtweg falsch bezeichnen und ich denke nicht, das der Autor damit die Transponierte gemeint hat. Der Stern steht immer für die Adjungierte, und die ist nunmal im komplexen fall die transponierte, komplex konjungierte Matrix. -- Einsteins Hund 16:52, 26. Sep. 2011 (CEST)

unverständlich

Der Artikel ist komplett unverständlich. (nicht signierter Beitrag von 217.246.136.96 (Diskussion) 14:08, 29. Jun. 2014 (CEST))

Es wäre nett, wenn du etwas mehr ins Detail gehen könntest. Was genau ist unverständlich? In dieser Form ist die Kritik nicht wirklich hilfreich. --Digamma (Diskussion) 17:22, 29. Jun. 2014 (CEST)

Eindeutigkeit der Signatur

Kommt es mir nur so vor oder ist die Invarianz von $\dim V_{\pm }$ hier flöten gegangen? --Cgqyyflz^Diskussion 14:27, 3. Mai 2021 (CEST)

Steht doch da. Nur an anderer Stelle. --Digamma (Diskussion) 15:15, 3. Mai 2021 (CEST)

In der aktuellen Version steht im Einleitungssatz, dass "Koeffizientenmatrizen von Bilinearformen bestimmte Eigenschaften aufweisen die invariant unter einem Basiswechsel sind", aber nicht, welche Eigenschaften das sind. Unter "Signatur" steht, dass die Invarianz von $r_{\pm }(s)$ aus dem Trägheitssatz folge, obwohl dies eigentlich Teil des Satzes sein müsste. --Cgqyyflz^Diskussion 19:58, 3. Mai 2021 (CEST)

Da hast du wohl recht. Also am besten zurücksetzen. --Digamma (Diskussion) 20:41, 3. Mai 2021 (CEST)

Ich pinge mal den Autor der Änderung an: @Christian1985: --Digamma (Diskussion) 20:43, 3. Mai 2021 (CEST)

Der Trägheitsatz müsste über $\mathbb {R}$ formuliert sein und nicht über $\mathbb {C}$

In dem Artikel wird der Trägheitssatz für Sesquilinearformen über $\mathbb {C}$ wiedergegeben.

Über $\mathbb {C}$ lässt sich zwar ein äquivalenter Satz formulieren, es ist jedoch nicht der Trägheitssatz von Silverster, bzw. erlaubt nicht in gleicher Weise die definition der Signatur.

Deshalb weil über $\mathbb {C}$gilt:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}^{T}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$

Lässt sich also die Bilinearform ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigl )}$ gegenüber eines anderen Basis als die Matrix ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigl )}$ darstellen.

Also ist über $\mathbb {C}$ die definition einer Basisinvarianten Signatur der form $(r_{+},r_{-},r_{0})$ nicht möglich, sondern nur eine der Form $(r_{+},r_{0})$.

Das ist dann jedoch meines Wissens nach nicht mehr die aussage des Trägheitsatzes.

Es müsste in dem Artikel also denke ich von einer Bilinearform über $\mathbb {R}$ die rede sein und nicht über $\mathbb {C}$.

Viele Grüße --TheFibonacciEffect (Diskussion) 14:55, 1. Jul. 2021 (CEST)

Ich habe mich geirrt, in der Formulierung in dem Artikel wird die Aussage über Sesqilinearformen getroffen und nicht über Bilinearformen. Deshalb gilt der Trägheitssatz dennoch.

In dem Beispiel wäre das dann entsprechend, weil die Transformationsformel für Sesquilinearformen anders ist:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}^{H}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$

Es wird also die eine Basiswechselmatrix zusätzlich noch komplex konjugiert.

--TheFibonacciEffect (Diskussion) 14:49, 12. Jul. 2021 (CEST)