Wick-Theorem

Das Wick-Theorem, nach dem Physiker Gian-Carlo Wick, ist eine Aussage in der Quantenfeldtheorie. Es erlaubt, den Vakuumerwartungswert eines Produkts zeitgeordneter Feldoperatoren als Summe über den Vakuumerwartungswert eines Produkts von jeweils zwei Feldoperatoren zu schreiben. Die Bedeutung des Wick-Theorems liegt insbesondere darin, dass in der Berechnung von Streuamplituden solche Produkte auftreten und sie durch das Wick-Theorem in Form von Feynman-Diagrammen übersetzt werden können.

Wick-Kontraktion

Die Wick-Kontraktion zweier bosonischer Feldoperatoren $\phi$ ist als

$\phi ^{\bullet }(x)\phi ^{\bullet }(y)={\begin{cases}\left[\phi ^{+}(x),\phi ^{-}(y)\right]&{\text{wenn }}x^{0}>y^{0}\\\left[\phi ^{+}(y),\phi ^{-}(x)\right]&{\text{wenn }}x^{0}<y^{0}\end{cases}}$

definiert. Dabei ist die eckige Klammer der Kommutator und $\phi ^{\pm }$ bezeichnen die Anteile positiver bzw. negativer Frequenz des Feldes, also

$\phi ^{+}(x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a(p)e^{-\mathrm {i} px}\ ,\quad$ sowie $\quad \phi ^{-}(x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{\dagger }(p)e^{\mathrm {i} px}\ ,$

wobei $a$ der Vernichtungsoperator und $a^{\dagger }$ der Erzeugungsoperator ist.

Im Fall fermionischer Feldoperatoren $\psi$ und ${\bar {\psi }}$ beinhaltet die Wick-Kontraktion ein zusätzliches Minuszeichen und den Antikommutator statt des Kommutators:

$\psi ^{\bullet }(x){\bar {\psi }}^{\bullet }(y)={\begin{cases}\ \ \{\psi ^{+}(x),{\bar {\psi }}^{-}(y)\}&{\text{wenn }}x^{0}>y^{0}\ ,\\-\{{\bar {\psi }}^{+}(y),\psi ^{-}(x)\}&{\text{wenn }}x^{0}<y^{0}\ .\end{cases}}$

Mit dieser Definition für die Kontraktion von fermionischen Feldern gelten alle folgenden Aussagen sowohl für Fermionen als auch für Bosonen.

Der Vakuumerwartungswert einer Kontraktion zweier Feldoperatoren ist gleich dem Feynman-Propagator $D_{F}(x-y)$ eines Teilchens zwischen diesen beiden Raumzeitpunkten. Es gilt also

$\left\langle \phi ^{\bullet }(x)\phi ^{\bullet }(y)\right\rangle =D_{F}(x-y)\ .$

Kernaussage

Die Kernaussage des Wick-Theorems lautet:

$T\left(\prod _{i}\phi _{i}\right)\ =\ {\frac {1}{0!}}:\!\prod _{i}\phi _{i}\!:+{\frac {1}{1!}}\sum _{i<j}(\phi _{i}^{\bullet }\phi _{j}^{\bullet })\ :\!\prod _{k\not \in \{i,j\}}\phi _{k}\!:+{\frac {1}{2!}}\sum _{i,j,k,l{\text{ paarweise verschieden}} \atop {\text{und }}i<j,\ k<l}\left((\phi _{i}^{\bullet }\phi _{j}^{\bullet })(\phi _{k}^{\bullet }\phi _{l}^{\bullet })\ :\!\prod _{m\not \in \{i,j,k,l\}}\phi _{m}\!:\right)+{\text{ entsprechende Terme mit 3 oder mehr Kontraktionen}}$

Dabei ist $T$ der Zeitordnungsoperator und die Notation $:\!O\!:$ bezeichnet die Normalordnung, das heißt, dass in diesem Ausdruck alle Erzeugungsoperatoren links der Vernichtungsoperatoren stehen. Ferner wurde die Kurzschreibweise $\phi _{i}=\phi (x_{i})$ verwendet. Die Fakultäten in den Ausdrücken sind dabei statistische Faktoren, da in den Summen über verschiedene identische Konfigurationen summiert wird. Insbesondere ist die Reihenfolge der Feldoperatoren in allen Termen nicht von Bedeutung, da diese entweder durch die Zeitordnung oder die Definition der Kontraktion festgelegt wird beziehungsweise da Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren jeweils untereinander vertauschen.

Die Vereinfachungen durch das Wick-Theorem liegen darin begründet, dass der Vakuumerwartungswert eines jeden normalgeordneten Produkts von Feldoperatoren verschwindet, da die Wirkung des Vernichtungsoperators auf das Vakuum ebenfalls verschwindet:

$\langle :\!\prod \phi _{i}\!:\rangle =0$

Daher führt das Wick-Theorem dazu, dass nur vollständig kontrahierte Ausdrücke im Vakuumerwartungswert nicht von Null verschieden sind. Es ergibt sich daher für eine ungerade Anzahl an Feldoperatoren, zu der es keine vollständig kontrahierten Ausdrücke geben kann, direkt

$\left\langle T\left(\prod _{i=1}^{2n+1}\phi _{i}\right)\right\rangle =0$.

Der Vakuumerwartungswert über ein Produkt einer geraden Anzahl Feldoperatoren transformiert sich mittels des Wick-Theorems in eine Summe über ein Produkt von Feynman-Propagatoren, in der jede Kombination von Raumzeitpunkten genau einmal mit einem Propagator verbunden ist.

Beispiel

Für vier Feldoperatoren ergibt sich

${\begin{aligned}T\left(\phi _{1}\phi _{2}\phi _{3}\phi _{4}\right)&=:\!\phi _{1}\phi _{2}\phi _{3}\phi _{4}\!:+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{2}^{\bullet }):\!\phi _{3}\phi _{4}\!:+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{3}^{\bullet }):\!\phi _{2}\phi _{4}\!:+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet }):\!\phi _{2}\phi _{3}\!:+(\phi _{2}^{\bullet }\phi _{3}^{\bullet }):\!\phi _{1}\phi _{4}\!:+(\phi _{2}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet }):\!\phi _{1}\phi _{3}\!:+(\phi _{3}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet }):\!\phi _{1}\phi _{2}\!:\\&+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{2}^{\bullet })(\phi _{3}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet })+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{3}^{\bullet })(\phi _{2}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet })+(\phi _{1}^{\bullet }\phi _{4}^{\bullet })(\phi _{2}^{\bullet }\phi _{3}^{\bullet })\end{aligned}}$

und bei Bildung des Vakuumerwartungswerts fallen alle Terme weg, die nicht vollständig kontrahiert sind, also in diesem Beispiel die erste Zeile: $\left\langle T\left(\phi _{1}\phi _{2}\phi _{3}\phi _{4}\right)\right\rangle =D_{F}(x_{1}-x_{2})D_{F}(x_{3}-x_{4})+D_{F}(x_{1}-x_{3})D_{F}(x_{2}-x_{4})+D_{F}(x_{1}-x_{4})D_{F}(x_{2}-x_{3})$

Literatur

• Michael E. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Books, Reading 1995, ISBN 0-201-50397-2 (englisch).