Streuamplitude

Die Streuamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(p \to p')} ist über den S-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} definiert:

$\langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p')$

Dabei sind

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |p \rangle} der Anfangszustand und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |p'\rangle} der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p, \vec p'} die Impulse der Zustände,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E, E'} die Energie der Zustände,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Masse (Physik) der Zustände und
• $\delta$ die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $\theta$ zwischen ${\vec {p}}$ und ${\vec {p}}'$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

${\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}}$

Wenn für die eingehende Welle $\psi _{\mathrm {in} }$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

$\psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.$

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{tot} = \int_{4\pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} \cdot d \Omega= \frac{4\pi}{k}~\mathrm{Im} \, f(0)}

mit der Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} und dem Imaginärteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Im} \, f(0)} der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\vartheta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \; f_\ell(k) \; P_\ell(\cos \vartheta)}

wobei

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell(k)} die partielle Streuamplitude
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_\ell(\cos \vartheta)} das Legendre-Polynom
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell} der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_\ell} ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.}

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell} , das S-matrix Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\ell=e^{2i\delta_\ell}} und die Streuphase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_\ell} implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p = \hbar \vec k} ).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

$\sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.$

Die Streulänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_\ell} kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_\ell(p) \xrightarrow[p \rightarrow 0]{}-a_\ell \cdot p^{2\ell}}

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0} der s-Wellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\ell = 0)} als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.