Wellenvektor

Der Wellenvektor oder auch Wellenzahlvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k}} ist in der Physik ein Vektor, der senkrecht auf der Wellenfront einer Welle steht und dessen Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2 \pi}{\lambda}} ist, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} die Wellenlänge ist. Die Maßeinheit der Komponenten ist 1/m. In den meisten Fällen gibt er die Ausbreitungsrichtung der Welle an, jedoch kann die Richtung des Poynting-Vektors für den Energiefluss bei elektromagnetischen Wellen in bestimmten Medien vom Wellenvektor abweichen.

Beschreibung

Eine ebene Welle, die sich in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} -Richtung ausbreitet, lässt sich schreiben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi (\vec r,t) = A \cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}}

mit

• Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A}
• Eulerschen Zahl $e$
• imaginären Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i}
• Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r}
• Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega}
• Zeit $t$.

Mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{k} = (k_x, k_y, k_z)}

zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen k-Raum, auch reziproker Raum genannt, in eine bestimmte Richtung.

Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = |\vec{k}| = \frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda},}

wobei

• $c$ die Phasengeschwindigkeit und
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} die Wellenlänge ist.

Wellenvektor und Quantenzahlen

Ohne weitere Randbedingungen, etwa im Vakuum, kann der Wellenvektor eines Teilchens kontinuierlich jeden Betrag und jede Ausrichtung annehmen. Unter bestimmten Umständen ist der Wellenvektor jedoch eine quantisierte Größe.

Die Beschränkung von Teilchen auf einen endlichen Raum, beispielsweise in einem Potentialtopf, oder das Gitter eines Festkörpers, führt dazu, dass der stationäre Zustand des Systems nur diskrete Werte annehmen kann. In diesem Fall ist der Wellenvektor quantisiert, auch wenn er streng genommen keine Quantenzahlen darstellt. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. seine möglichen Werte können durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien eines quantenmechanischen Problems mit einem diskreten Spektrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_n} zu sehen: der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.

Beispiel: Für die Lösungen der Schrödingergleichung eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs der Kantenlängen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z) \;=\; A \, \sin \left( k_x \, x \right) \, \sin \left( k_y \, y \right) \, \sin \left( k_z \, z \right)}

mit der Amplitude $A$ und der Abkürzung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle k_{i}={\frac {n_{i}\,\pi }{a}}} .

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_i} eine nichtnegative ganze Zahl und der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} kann die Werte $x$, $y$, oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} annehmen.

Die stationären Zustände des Teilchens, sind also durch die Quantenzahlen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n_{x}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_z} charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k = (k_x,k_y,k_z)} verwendet werden. Jedoch darf der Wellenvektor oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil er zum einen dimensionsbehaftet und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist.

Bei einem Potentialtopf mit $N$ Teilchen ergeben sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} Vektoren im reziproken Raum. Wenn es sich um Fermionen handelt, gibt es pro Wellenvektor nur eine begrenzte Anzahl von stationären Zuständen. Deren Anzahl ergibt sich aus dem Betrag des Spins der betrachteten Teilchen. Elektronen sind Teilchen bei denen der Betrag des Spins den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/2} hat. Ein solcher Spin kann in Bezug auf eine Quantisierungsachse nur zwei Ausrichtungen annehmen. Daher kann im Potentialtopf jeder Wellenvektor von maximal zwei Elektronen angenommen werden.

Wellenvektor und Impuls

Bei Photonen (Einstein-Gleichungen) sowie bei Materiewellen (De-Broglie-Relation) ist der vektorielle Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p} proportional zum Wellenvektor, mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ als Proportionalitätsfaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p = \hbar \vec k}

Literatur

• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 15. Auflage, Oldenbourg Verlag München, München 2013, ISBN 978-3-486-59755-4.
• Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: Grundlagen der Photonik. 1. Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40677-7.

Weblinks

• Herleitung des Photonen - Wellenvektors (abgerufen am 28. Dezember 2015)