Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

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Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem Bereich der Stochastik. Sie ist eine Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Ungleichung und nach dem Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

→ Hauptartikel: Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine (eindimensionale) Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert außerhalb des Intervalls (μ-kσ , μ+kσ) annimmt, höchstens gleich 1/k² beträgt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - P(\mu -k \sigma \leq X \leq \mu+k \sigma ) \leq \tfrac{1}{k^2}}

z. B. ergibt sich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=2} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - P(\mu -2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma ) \leq \tfrac{1}{4},}

d. h. außerhalb des 2σ-Intervalls sind bei einer Stichprobe höchstens 25 % der Werte von X zu erwarten.

Ungleichung der mehrdimensionalen Tschebyscheffschen Ungleichung

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = (X^1,...,X^n)} besitzt die Kovarianzmatrixeinträge $cov_{i,j}=E((X^{i}-\mu ^{i})(X^{j}-\mu ^{j}))$. Diese Kovarianzmatrix kann durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{cov}_{i,j}\approx \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N{ (x_\text{k}^i-\mu^i) )( x_\text{k}^j-\mu^j )}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j=1 \ldots n} geschätzt werden. Hochgestellte Indizes bezeichnen Komponenten eines Vektor, die tiefgestellten Indizes kennzeichnen die Werte einer Stichprobe, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} der Stichprobenumfang ist.

Die Kovarianzmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} ist somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C = \begin{pmatrix} cov(X^1,X^1) & ... & cov(X^1,X^n) \\ ...&...&...\\cov(X^n,X^1) & ... & cov(X^n,X^n) \end{pmatrix}} .

Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass außerhalb dieser Konzentrationsellipse ( k=2 ) höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung. Dies bedeutet also:

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = (x^1,...,x^n)} eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mu(x^1), \ldots , \mu(x^n) )} zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - P( (x^1,...x^n)C^{-1}\begin{pmatrix}x^1\\...\\x^n\end{pmatrix}\le k^2 ) \leq \frac{n}{k^2}} .

Beachte, dass die quadratische Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^1, x^2, x^3)C^{-1}\begin{pmatrix}x^1 \\ x^2 \\ x^3\end{pmatrix} = k^2} die Streuregion einer Normalverteilung beschreibt, siehe Mehrdimensionale Normalverteilung#Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung.

Literatur

• T. Arens und andere, Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-1758-9.
• R. Kurth, Introduction to Stellar Statistics, Pergamon Press, 1967, Library of Congress Catalog Card 66-24821