Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen)

Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem Bereich der Stochastik. Sie ist eine Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Ungleichung und nach dem Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

→ Hauptartikel: Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine (eindimensionale) Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert außerhalb des Intervalls (μ-kσ , μ+kσ) annimmt, höchstens gleich 1/k² beträgt.

$1-P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )\leq {\tfrac {1}{k^{2}}}$

z. B. ergibt sich für $k=2$:

$1-P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\leq {\tfrac {1}{4}},$

d. h. außerhalb des 2σ-Intervalls sind bei einer Stichprobe höchstens 25 % der Werte von X zu erwarten.

Ungleichung der mehrdimensionalen Tschebyscheffschen Ungleichung

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable $X=(X^{1},...,X^{n})$ besitzt die Kovarianzmatrixeinträge $cov_{i,j}=E((X^{i}-\mu ^{i})(X^{j}-\mu ^{j}))$. Diese Kovarianzmatrix kann durch

${\hat {cov}}_{i,j}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{(x_{\text{k}}^{i}-\mu ^{i}))(x_{\text{k}}^{j}-\mu ^{j})}$

mit $i,j=1\ldots n$ geschätzt werden. Hochgestellte Indizes bezeichnen Komponenten eines Vektor, die tiefgestellten Indizes kennzeichnen die Werte einer Stichprobe, wobei $N$ der Stichprobenumfang ist.

Die Kovarianzmatrix $C$ ist somit

$C={\begin{pmatrix}cov(X^{1},X^{1})&...&cov(X^{1},X^{n})\\...&...&...\\cov(X^{n},X^{1})&...&cov(X^{n},X^{n})\end{pmatrix}}$.

Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass außerhalb dieser Konzentrationsellipse ( k=2 ) höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung. Dies bedeutet also:

Ist $X=(x^{1},...,x^{n})$ eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" $(\mu (x^{1}),\ldots ,\mu (x^{n}))$ zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

$1-P((x^{1},...x^{n})C^{-1}{\begin{pmatrix}x^{1}\\...\\x^{n}\end{pmatrix}}\leq k^{2})\leq {\frac {n}{k^{2}}}$.

Beachte, dass die quadratische Form $(x^{1},x^{2},x^{3})C^{-1}{\begin{pmatrix}x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}=k^{2}$ die Streuregion einer Normalverteilung beschreibt, siehe Mehrdimensionale Normalverteilung#Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung.

Literatur

• T. Arens und andere, Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-1758-9.
• R. Kurth, Introduction to Stellar Statistics, Pergamon Press, 1967, Library of Congress Catalog Card 66-24821